Глава 4. Рекурсивные и рекурсивно перечислимые множества.

1. Характеристические функции множеств.

До сих пор понятия примитивной рекурсивности, общей и частичной рекурсивности были определены лишь для функций. Теперь эти понятии будут перенесены на подмножества натуральных чисел, а также на множества некоторых других объектов.

Характеристической функцией какого-нибудь множества натуральных чисел называется одноместная функция, равная нулю в точках множестваи равная “1” в точках, не принадлежащих:

Частичной характеристической функцией множества называется функция равная “0” в точках множества и не определенная в точках, не принадлежащих :

Например, характеристическая функция пустого множества есть функция, равная “1” для любого значения аргумента, а частичная характеристическая функция пустого множества есть нигде не определенная функция. Вообще легко понять, что характеристическая и частичная характеристическая функции совпадают лишь для множества всех натуральных чисел.

2. Рекурсивные и примитивно рекурсивные множества.

Подмножество множества натуральных чисел называется рекурсивным (примитивно рекурсивным), если характеристическая функция множества частично рекурсивна (соответственно примитивно рекурсивна).

Так как все примитивно рекурсивные функции частично рекурсивны, то каждое примитивно рекурсивное множество рекурсивно. Обратное неверно. С точки зрения теории алгоритмов из двух введенных понятий – рекурсивного множества и примитивно рекурсивного множества – основным следует считать первое благодаря следующему обстоятельству.

Проблемой вхождения для числового множества называется задача отыскания алгоритма, который по стандартной записи (например, десятичной) произвольного натурального числапозволяет узнать, входит числовили нет, то есть позволяет вычислить значения характеристической функции множества.В силу тезиса Чёрча существование такого алгоритма равносильно рекурсивности характеристической функции. Поэтому можно сказать, что рекурсивные множества - это множества с алгоритмически разрешимой проблемой вхождения.

Выведем теперь несколько основных свойств рекурсивных и примитивно рекурсивных множеств.

1. Характеристическими функциями пустого множества и множества всех натуральных чиселявляются постоянные одноместные функции “1” и “0”. Эти функции примитивно рекурсивные:

Поэтому множества итакже примитивно рекурсивные.

2. Характеристической функцией для конечного множества чисел , служит примитивно рекурсивная функция .

3. Поэтому каждое конечное множество натуральных чисел примитивно рекурсивно.

Теорема 1. Дополнение рекурсивного (примитивно рекурсивного) множества, а также объединение и пересечение любой конечной системы рекурсивных (примитивно рекурсивных) множеств — суть множества рекурсивные (примитивно рекурсивные).

Доказательство. В самом деле, пусть ,……,— характеристические функции множеств,……,. Тогда функции,;

будут характеристическими соответственно для дополнения множества , объединения и пересечения множеств,…,. Если,…, частично рекурсивны или соответственно примитивно рекурсивны, то такими же будут и функции: ,,для

Теорема 2.Если всюду определенная функциячастично рекурсивная (примитивно рекурсивная), то множестворешений уравнениярекурсивно (примитивно рекурсивно), т.е..

Доказательство. Действительно, характеристической функцией для множества служит функция, рекурсивная или примитивно рекурсивная вместе с функцией .

Совокупность всех значений, принимаемых некоторой примитивно рекурсивной функцией, в общем случае не будет ни примитивно рекурсивным, ни даже рекурсивным множеством. Эти совокупности будут изучены ниже под именем рекурсивно перечислимых множеств. Однако существует ряд простых признаков тoго, чтобы совокупность значений примитивно рекурсивной (рекурсивной) функции была примитивно рекурсивной (рекурсивной).

На некоторые из признаков указывает:

Теорема 3. Если примитивно рекурсивная (общерекурсивная) функция удовлетворяет условию:

,,

в частности, если монотонно возрастает, то совокупностьвсех значений этой функции есть множество примитивно рекурсивное (рекурсивное).

Доказательство. В самом деле, из неравенства следует, что функция

является характеристической для .