Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
"Ижевский государственный технический университет"
Кафедра "Прикладная математика и информатика"
Н.И. Калядин
Основы теории алгоритмов и нумераций
Ижевск 2006
УДК 519.1(07)
К17
Рецензенты: Г.Г. Исламов, д-р физ.-мат. наук, проф., зав. каф. "Вычислительная математика" УдГУ;
А.Н. Румянцев, д-р физ.-мат. наук, проф. кафедры "Экономическая кибернетика" Пермского гос. университета;
К
К17
В пособии излагаются основы теории алгоритмов и нумераций - нового и многообещающего раздела теории алгоритмов.
Пособие содержит многочисленные примеры, дополняющие изложение теоретического материала, составляющего фундамент современных компьютерных технологий.
Пособие предназначено для студентов, аспирантов, преподавателей и всех заинтересованных в изучении и применении теории алгоритмов на современном уровне.
© Калядин Н.И., 2006
© Издательство ИжГТУ, 2006
Оглавление
Предисловие 5
Введение 6
Глава 1. Рекурсивные и примитивно-рекурсивные функции 8
a. Обозначения 8
b. Примитивно рекурсивные функции 8
c. Функции Аккермана 14
d. Общерекурсивные и частично рекурсивные функции 19
Глава 2. машины тьюринга 22
§ 1. Определения 22
§ 2. Табличное и графическое задания машин Тьюринга 23
§ 3. Некоторые операции над машинами Тьюринга 27
§ 4. Композиция машин Тьюринга 29
§ 5. Разветвление машин Тьюринга 29
§ 6. Универсальная машина Тьюринга 30
§ 7. Тезис Черча. Связь рекурсивных функций с машинами Тьюринга 32
глава 3. вычислимость и разрешимость 35
§ 1. Обсуждение 35
§ 2. Нумерации алгоритмов 36
c. Некоторые теоремы в теории алгоритмов. 37
ГЛАВА 4. РЕКУРСИВНЫЕ И РЕКУРСИВНО ПЕРЕЧИСЛИМЫЕ МНОЖЕСТВА. 41
§ 1. Характеристические функции множеств. 41
§ 2. Рекурсивные и примитивно рекурсивные множества. 41
§ 3. Рекурсивно перечислимые множества. 44
d. Основная теорема. 45
ГЛАВА 5. ОСНОВНЫЕ НУМЕРАЦИИ В ТЕОРИИ АЛГОРИТМОВ 50
§ 1. Нумерация пар и -ок чисел. 50
§ 2. Кодирование всех -ок. 52
§ 3. Нумерация конечных множеств. 52
§ 4. Нумерации Клини и Поста. 53
§ 5. Нумерация семейства всех двухэлементных множеств. 54
ГЛАВА 6. Степени неразрешимости. 55
§ 1. - сводимость. 55
b. - степени. 56
c. Теорема о редукции. 57
ГЛАВА 7. НУМЕРОВАННЫЕ СОВОКУПНОСТИ. 59
§ 1. Нумерации множества. 59
§ 2. Некоторые теоремы о нумерациях множеств 59
ГЛАВА 8. ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ АЛГОРИТМОВ К РАЗРЕШИМОСТИ НЕКОТОРЫХ ПРОБЛЕМ. 62
§ 1. Теорема Райса. 62
b. Разрешимость проблем распознавания и классификации. 65
ЛИТЕРАТУРА 70
Предисловие
Понятие алгоритма является одним из основных понятий современной математики.
Теория алгоритмов призвана решать как внутренние проблемы в теоретической математике: математическая логика, основания математики, алгебра, анализ, геометрия и т.д., так и в ее приложениях - разработка и применение компьютеров и соответствующих им компьютерных технологий обработки информации.
В настоящем учебном пособии излагаются основы теории алгоритмов и нумераций - нового и многообещающего раздела теории алгоритмов.
Пособие возникло на базе курса лекций, читавшихся автором в 1975-1985 гг. в Ижевском механическом институте студентам, аспирантам, преподавателям и инженерам, специализирующимся по прикладной математике.
Примеры и задачи, дополняющие изложение теоретического материала, преследуют цель добиться более полного уяснения существа излагаемых понятий.
Как и принято в учебной литературе, большинство результатов приведено без указания авторов, зато список литературы позволяет заинтересованным лицам продолжить изучение теории алгоритмов и нумераций, а также выяснить вопросы об авторстве приведенных утверждений.
Автор благодарен В.А. Белоусову за квалифицированную редакционную помощь.