Раздел II. Упорядоченные множества.

§ 1. Изоморфизм (см. Н.И.Кондаков, «Введение в логику», стр. 111)

Рассмотрению вопросов, относящихся к упорядоченным множествам, мы предпошлем краткие замечания о понятии изоморфизм. Это понятие – одно из важнейших логических понятий, оно применяется во многих разделах математики. Сначала мы сформулируем вспомогательное определение:

Определение 1.1.

P (R) = D_ℓ (R) + D_p (R)

Определяемое множество называется полем отношений ( P(R) ).

Из этого определения непосредственно следует

Теорема 1.1.

С целью упрощения записи следующего определения мы будем считать, что Х=Р(S) и У=Р (Т).

Символы Х, S и Y, Т обозначает, таким образом, упорядоченные пары, в которых вторые элементы – отношения, а первые – поля этих отношений. Этим соглашением о символах типа Х, R мы будем пользоваться также и в дальнейших рассуждениях этого раздела.

Определение 1.2.

Определенное выражение читается: отношение R устанавливает изоморфизм множеств Х и У по отношению к S и Т.

Таким образом, для того, чтобы отношение R устанавливало изоморфизм множеств Х и У по отношению к S и Т, необходимо и достаточно для выполнения следующих условий:

a) отношение R взаимооднозначно;

b) множества Х и У есть соответственно поля отношений S и Т;

c) левая область отношения R совпадает с Х – полем отношения S, а правая – с У – полем отношения Т;

d) два предмета находятся в отношении S тогда, и только тогда, когда сопоставленные им отношением R предметы находятся в отношении Т.

Когда из контекста ясно, по каким отношениям два множества изоморфы или же это не существенно, то мы обычно будем говорить просто об изоморфизме множеств, не оговаривая особо, по каким отношениям эти множества изоморфы.

Очевидно, что если отношение R устанавливает изофорфизм двух множеств, то одновременно оно устанавливает и их равночисленность.

Пример 1. Пусть ⁺ - множество всех положительных действительных чисел; – множество всех отрицательных действительных чисел;

Легко проверить, что следующим образом определенное отношение

устанавливает изоморфизм множеств ⁺ и - по отношениям «меньше» и «больше».

Пример 2. Пусть Х – множество выражений некоторого языка, У – множество выражений другого языка. Будем считать, что эти множества переводимы, иначе говоря, для каждого слова одного из этих множеств существует равнозначное ему слово другого множества. Будем считать также, что в каждом из множеств Х и У нет равнозначных слов. Пусть отношение S имеет место между словами множества Х тогда и только тогда, когда эти слова принадлежат одной и той же части речи, и пусть отношение Т между выражениями множества У имеет аналогичный смысл. Очевидно, что отношение R, сопоставляющее словам множества Х равнозначные слова множества У, устанавливает изоморфизм этих множеств.

R – отношение

немецкий язык (Х) D_ℓ (R) русский язык (У) D_p (R)

1. gℓuk 1. умный

2. schade 2. жаль

3. ℓesen 3. читать

… …

n. genau n. точно

(нет равнозначных слов)

Определение 1.3.

Определение 1.3 читается: множества Х и У изоморфны по отношениям S и Т.

В определениях 1.2 и 1.3 речь идет об отношениях S и Т от двух аргументов. Легко, однако, так обобщить эти определения, чтобы они относились к отношениям от большого числа аргументов.

Нетрудно также определить изоморфизм двух множеств по большому числу отношений. В частности, обобщенные определения могут относиться у множествам, в которых определены такие операции, как например, сложение и умножение (двухаргументные операции – частные случаи трехчленных отношений).

Пусть Ф обозначает произвольное выражение, в которое кроме символов исчисления предложений и предикалов, входят лишь символы.

(1) х, у, ……. и, Х, S отношение Х=Р(S)

Будем считать, что var х,у…., и пробегают фиксированное множество Х, - поле отношения S и что в выражении Ф кванторы, могут связывать лишь эти var, но также, что она может входить в выражение Ф лишь в контекстах:

Обозначим через Φ^* выражение, которое получается из выражения  заменой символов (1) соответствующими символами:

х^*, у^*, …… и^*, Х^*, S^*

Лемма 1.1.

Доказательство. (1)

(2)

Доказательство леммы разбиваем на 3 части.

а) Допустим сначала, что в выражение  не входят кванторы. Очевидно, тогда кванторы также не входят в выражение ^*.

Из допущений (1) и (2), а также D 1.2 следуют эквивалентности:

;

;

…

;

;

…

.

Из этих эквивалентностей, а также из допущений относительно выражения  и по правилу экстенсиональности для выражений исчисления предложений следует утверждение леммы.

b) Допустим, что в выражение  из кванторов входят лишь кванторы существования. Доказательство в этом случае проводится индукцией по числу этих кванторов. Если их число равно нулю, то в силу части а) лемма верна.

Допустим, что для выражений лемма верна (заметим, что в эти выражения кроме х и х ^* могут входить также другие переменные).

Обозначим через x конъюнкцию всех допущений, кроме хRх^* доказываемой леммы. Очевидно, что лемма для случая, когда оно относится к выражениям ,эквивалентна выражению

Поэтому, если выполняются допущения доказываемой леммы, то истинно и выражение

Отсюда и из того, что в выражение х не входят var х и х^*, следует выражение

(3)

Допустим, что истинно также выражение (1.1).

(1.1) {добавочное дополнение}

{1.1}

(1.4) {определение 1.2, 1}

(1.5) {1.2, 1.4}

(1.6) {следствие 6.3а, разделI, 1.5}

{1.6}

(1.9) {1.7, 1.4}

(1.10) {3, 1.2, 1.9, 1.8, 1.3}

(1.11) {1.9, 1.10}

(4)

Аналогично доказывается обратная импликация:

Таким образом, эквивалентность

истинна.

Отсюда по правилу эквивалентности для выражений исчисления предложений уже легко следует, что в рассматриваемом случае лемма верна.

с) Пусть Φ и Φ^* - произвольные выражения. Эквивалентность этих выражений следует из части b) и из того, что квантор общности можно заменить последовательностью из двух знаков отрицания, между которыми находится квантор существования. Таким образом, лемма верна.

Заметим, что к лемме 1.1 можем слева прописать и. Если в выражении переменная х связана (тогда и переменная х^* в выражении Φ^* также связана), то на основании теорем 13^* и 16^* мы получаем в антецеденте леммы 1.1 вместо выражения хRх^* выражение

которое истинно, если только множества Х и Х^* непусты. Отсюда легко следует, что в допущениях леммы 1.1 мы можем вычеркнуть любые выражения вида хRх^* , если только var х и х^* связаны в выражениях  и ^*

Поэтому в частности, имеет место:

Следствие 1.1. В случае, когда в выражениях  и ^* нет свободных var, лемма 1.1 принимает вид:

В следующей теореме сохраняются допущения относительно выражений  и ^* так же, как и допущение, что множества Х и Х^* непусты.

Теорема 1.2.

Если Х,S изо Y,Т и выражение  истинно, то истинно и выражение ^*

Доказательство. Если в выражениях  и ^* имеются свободные var, то мы приписываем слева к данным выражениям кванторы общности, связывающие все эти переменные. Полученные таким путем выражения мы обозначим соответственно через ,Из допущения, что выражениеистинно, следует, что истинно и выражение_{1 .} Допустим также, что отношение, устанавливающее изоморфизм множеств Х и Y, есть отношение R₁. Отсюда

Из этой формулы, а также из истинности выражения иследствия 1.1 следует истинность выражения .

Опуская в начале этого выражения приписные кванторы общности, мы получаем снова выражение Φ^*.

Таким образом, теорема верна.

Доказанная теорема названа основной теоремой об изоморфизме.

Она может быть обобщена в различных направлениях. Например, она может быть распространена на выражения, которые содержат не одно, а несколько отношений. Эти отношения могут иметь произвольное число аргументов.

Основная теорема об изоморфизме принадлежит польским логикам А.Линденбауму и А.Танскому.

Из этой теоремы следует, что две теории, из которых первая относится к элементам множества Х – полю некоторых отношений, а другая – к элементам множества Y – полю того же числа отношений, формально не различаются, если множества Х и Y изоморфны по данным отношениям.

Если, например, некоторое множество Y, в котором определены две двухаргументые операции и одна одноаргументная операция, изоморфно по этим операциям алгебре Буля, то теория, относящаяся к предметам множества Y, формально не отличается от этой алгебры.