§5. Множества бесконечные в смысле Дедекинда.

Обычно понятие бесконечности понимается так, что бесконечными считаются те, и только те, непустые множества, мощность которых отлична от любого натурального числа.

Мы сформулируем определение бесконечного множества, не пользуясь понятием натурального числа (значение того факта, что понятие бесконечного множества может быть определено без ссылки на понятие натурального числа, делают очевидным рассуждения §6 «Приложения»). Это определение принадлежит немецкому математику Р. Дедекинду.

Определение 11.1.

X есть множество бесконечное в смысле Дедекинда

Множество ≡

Таким образом, необходимым и достаточным условием бесконечности в смысле Дедекинда множества является равночисленность данного множества и некоторой его собственной части.

Определение 11.2.

Мощности бесконечных в смысле Дедекинда множеств называются трансфинитными кардинальными числами.

Очевидно, что мощность произвольного бесконечного в смысле Дедекинда множества отлична от нуля и любого натурального числа. Возникает вопрос, вено ли обратное, то есть является ли произвольное множество, мощность которого отлична от нуля и любого натурально числа, бесконечным в смысле Дедекинда. Эта теорема представляется в норме очевидной. Но для ее доказательства необходима новая аксиома (так называемая аксиома выбора), о которой речь будет идти в §14.

В доказательства следующей леммы мы воспользуемся четырьмя теоремами алгебры множеств (ср. упражнения b, c, d, e, f §1):

I.

II.

III.

IV.

Лемма 11.1.

Доказательство.

(1) {доп.}

(2){доп.}

Из (2) и теоремы 7.3: (множество А есть запас последовательности {a_n}) следует существование бесконечной последовательности

(а) p₁, p₂, p₃, …

запас которой – множество P и в которой ни один член не повторяется.

Обозначим через P₁ запас последовательности

(b) p₂, p₄, p₆, …

Oчевидно, что

(3)

Легко видеть, что отношение, сопоставляющее каждому элементу последовательности (а) элемент последовательности (b) с индексом в два раза большим, устанавливает равночисленность множеств P и P₁.

Таким образом, верна формула (4):

(4) P ~ P₁

(5) Z = X − P {обозначения}

(6) X₁ = Z + P {обозначения}

(7) X = Z + P {I, 1, 5}

(8) P∙Z = 0 {III, 5}

(9) P₁∙Z = 0 {IV, 3, 8}

(10) Z + P ~ Z + P₁ {лемма 7.5a, теорема 7.1a, 4, 8, 9}

(11) X ~ X₁ {10, 6, 7}

(12) X₁X {II, 3, 8, 6, 7}

{11, 12}

Лемма 11.2.

Доказательство.

(1) {доп.}

(2) {1}

(3) {1}

(4) {определение 7.2 (), 3}

(5) {определение 7.1, 4}

(6) R₁ функц. {определение 6.6 (R 1-1 ≡ R, R^-1 функц.), 5}

Заметим, что для каждого х Х символ R₁(x) имеет смысл {определение 6.3, 5, 6}. Обозначим через p₁ произвольный элемент, такой, что:

(7)

Существование этого элемента гарантирует формула (2).

(8){следствие 6.3с, 6}

(9) x X → R₁(x) Y₁ {8, 5}

Последовательность:

(а) р₁, р₂, р₃, …

мы определяем так: член р₁ уже был определен {ср. (7)}.

(10) k > 1 → p_k = R₁ (p_k-1)

Из формул (7), (9), (10) и (2) несложной индукцией мы получаем (11):

(11) р_i X i = 1, 2, 3, …

(12) r > S S = 1 → p_r ≠ p_s {7, 9, 10, 11}

(2.1) r > S S > 1 {доб. доп.}

(2.1) p_r-1 ≠ p_s-1 {доб. доп.}

(2.3) R₁(p_r-1) ≠ R₁(p_s-1) {лемма 6.3b, 11, 5, 2.2}

(2.4) p_r ≠ p_s {2.1, 2.2, 10}

Из (12) и из того, что из формул (2.1) и (2.2) следует формула (2.4), мы получаем индукцией:

(13) r > S → p_r ≠ p_s

Таким образом, в последовательности (а) члены не повторяются. Обозначим через Р запас этой последовательности. Тем самым по теореме 7.3 мы получим:

(14)

(15) {11}

{14, 15}

Теорема 11.1.

Множество Х бесконечно в смысле Дедекинда ≡

{лемма 11.1 (), лемма 11.2 (), определение 11.1 (X есть бесконечное в смысле Дедекинда множество ≡ )}

Таким образом, необходимым и достаточным условием того, чтобы множество было бесконечным в смысле Дедекинда, является наличие в нем счетного подмножества.

Из теоремы 11.1, определения 11.2: (Мощности бесконечные в сонном Дедекинда множеств называется трансфинитными кардинальными числами) и следствия 9.1: () следует:

Следствие 11.1. Кардинальное число m трансфинитно ≡ ≤ m

Отсюда и из теоремы 9.5а следует:

Следствие 11.2. Кардинальные числа и f трансфинитны.

Лемма 11.3.

Доказательство. Для доказательства леммы достаточно принять, что Х – множество всех нечетных натуральных чисел, а Y – множество всех четных натуральных чисел.

Лемма 11.4.

(n – означает здесь произвольное натуральное число).

Доказательство. Для доказательства леммы достаточно, принят, что элементы множества Y – числа 1, 2, …, а элементы множества Х – числа n+1, n+2, … .

Теорема 11.2. Если Х – бесконечное в смысле Дедекинда множество, (n – произвольное натуральное число) или , то

(1)

Доказательство. Из теоремы 11.1 следует существование счетной части Р множества Х. Из лемм 11.3 и 11.4 следует, что:

(2) Р ~ P + Y

очевидно, имеет место такие соотношения:

(3) Х – Р ~ Х – Р

Мы можем считать, что:

(4) Х∙Y = 0

из формул (2), (3) и (4), а также из леммы 7.5a следует, что:

(Х – Р) + Р ~ (X – P) + (P + Y)

Отсюда легко следует, что:

Таким образом, формула (1) имеет место.

Теорема 11.3. Если (или )и Х–Y – есть бесконечное в смысле Дедекинда множество, то

(1) (n N)

Доказательство.

Из теоремы 11.2 и соответствующих допущений следует, что:

(2)

Очевидно, что:

Отсюда и из следствия 9.1 мы получаем:

Из этой формулы и из формулы (2) следует, что:

(3)

Ссылаясь еще раз на следствие 9.1, мы получаем:

Отсюда, а также из формулы (3) и теоремы 9.2 мы получаем равенство (1).

Последние две теоремы можно словесно сформулировать так:

(1) Мощность бесконечного в смысле Дедекинда множества не изменяется, если к нему добавляется конечное или счетное множество элементов.

(2) Мощность множества не изменяется в результате изъятия из него произвольной конечной или счетной части при условии, что полученное таким путем множество бесконечно в смысле Дедекинда.

Очевидно, что тогда и множество, из которого изымается конечная или счетная часть бесконечно в смысле Дедекинда.