§4. Степенное множество.

Определение 10.1.

Множество 2^Y называется степенным множеством. Таким образом, элементами степенного множества 2^Y являются все подмножества множества Y.

Лемма 10.1.

Доказательство. Пусть М₁ – семейство всех одноэлементных множеств {m}, единственный элемент которых m принадлежит М, и только таких множеств. Тогда:

{m} M₁ ≡ m M.

Очевидно, что любое из множеств {m} есть подмножество множества М. Отсюда: М₁ 2^M (1);

Обозначим через R₁ отношение, сопоставляющее любому элементу m множества М одноэлементное множество {m}. Легко видеть, что это отношение устанавливает равночисленность М и М₁. Отсюда из формулы (1) и определения 9.1: () следует лемма.

Пусть R – произвольная функция, сопоставляющая индивидам множества индивидов.

Мы определим множество Z(R), зависящее от функции R:

Определение 10.2.

R функц. → [x Z(R) ≡ x D_ℓ(R) x R(x)].

Таким образом, элемент х левой области отношения принадлежит множеству Z(R) тогда, и только тогда, когда х не является элементом множества, которое ему сопоставляет функция R. Этим определением мы будем пользоваться в доказательствах дальнейших лемм.

Лемма 10.2.

R функц.→ Z(R) D_p(R)

Доказательство.

(1) R функц. {доп.}

(2) Z(R) D_p(R) {доп. к. д.}

Из формулы (2) следует существование элемента х₁ левой области отношения R, которому сопоставляется множество Z(R). Таким образом, формулы (3), (4) имеют место.

(3) х₁ D_ℓ(R)

(4) Z(R) = R (x₁)

(5) x₁ Z(R) ≡ x₁ R(x₁) {определение 10.2, 1, 3}

(6) x₁ Z(R) ≡ x₁ Z(R) {5, 4}

Очевидно, что из формулы (6) следует противоречие.

Лемма 10.3.

Доказательство.

(1) {доп. к. д.}

(2) {аксиома 7.1, определение 7.2, 1}

(3) R₁ функц. {определение 7.1, 2}

(4) D_ℓ(R₁) = M {определение 7.1, 2}

(5) D_p(R₁) = 2^M {определение 7.1, 2}

(6) Z(R₁) D_ℓ(R₁) {определение 10.2, 3}

(7) Z(R₁) M {6, 4}

(8) Z(R₁) 2^M {определение 10.1, 7}

(9) Z(R₁) D_p(R₁) {8, 5}

(10) Z(R₁) D_p(R₁) {лемма 10.2, 3}

Противоречие. {9, 10}

Теорема 10.1.

Таким образом, мощность произвольного множества меньше мощности множества всех его подмножеств.

Сформулируем определение, которое потребуется в доказательстве следующей теоремы.

Определение 10.3.

Пусть М – произвольное множество, и пусть АМ. Функцияφ_А^(m) называется характеристической функцией множества А тогда, и только тогда, когда эта функция для каждого m M удовлетворяет условию:

φ_А^(m) = 1, если m A

0, если m A

Теорема 10.2.

Доказательство.

Из определения 8.3 ()и определения 10.3 следует, что любая характеристическая функция множества АМ есть отображение множества М в множество {0,1} и обратно: любое отображение множества М в множество {0,1} есть характеристическая функция некоторого подмножества М. Приведем в соответствие каждому отображению множества М в множество {0,1}, то подмножество, характеристической функцией которого будет это отображение. Легко видеть, что данное соответствие устанавливает равночисленность множества {0,1}^M всех отображений множества М в множество {0,1} и множества 2^М всех подмножеств множества М. Таким образом, имеет место формула (1):

(1) {0, 1}^M ~ 2^M

(2) {аксиома 7.1, 1}

(3) {определение 8.4}

{2, 3}

Теорема 10.3.

{теорема 10.1, теорема 10.2}

Эту теорему можно записать в виде:

m < 2^m

Теорема 10.4.

Существует бесконечно много (различных) кардинальных чисел, среди которых нет натуральных чисел.

Доказательство. Для доказательства этой теоремы достаточно заметить, что по теореме 10.3 каждый элемент последовательности: ,,, …менее следующего за ним.