§3. Неравенства.
Лемма 9.1. 
Доказательство.
(1) X~X1 {доп.}
(2) Y~Y1 {доп.}
(3)
{доп.}
(4) R1
1-1 {определение 7.2, 2}
(5) Y~R1Y1 {определение 7.2, 2}
(6) Y1 = R1 (Y) {лемма 7.2, 5}
(7) 
{4}
(8) 
{4}
(9) 
{теорема
6.1, 7}
(10) 
{9, 6}
(11) Y = Dℓ (R1) {определение 7.1, 5}
(12) Z1 = Dℓ (R1) {7, 11}
(13) 
{лемма 7.3, 4, 12}
(14) 
{лемма
7.2, 4, 13}
(15) 
{теорема
7.1b,
c,
1, 8, 14}
{10, 15} 
Определим отношения слабого и сильного неравенства. Эти отношения будем обозначать символами, заимствованными из арифметики «обычных» чисел.
Определение 9.1
« ≤
» − слабое
неравенство
Таким образом,
необходимым и достаточным условием
того, чтобы мощность множества Х была
меньше или равно мощности множества Y,
является равночисленность множества
Х и некоторого подмножества Y.
Заметим, что из леммы 9.1 следует: если
,
,
,то и
.
Точная формула определения 9.1 следующая:
Из определения 9.1 и теоремы 7.1а следует:
Следствие 9.1.
«
< » −
слабое
неравенство
Заметим еще, что
замена под квантором выражения 
выражением
не позволила бы заменить знак ≤
знаком <,
потому что, например, множество всех
натуральных чисел, превосходящих
некоторое определенное число, есть
собственная часть можества всех
натуральных чисел, но мощности этиъ
множеств равны.
Определение 9.2.
« < » – сильное
неравенство
Легко видеть, что оба определенных отношения являются обобщениями соответствующих отношений арифметики натуральных чисел.
Лемма 9.2. 
Доказательство.
(1)
{доп.}
(2) X~Y {аксиома 7.1, 1}
(3) 
{теорема 1.4a}
(4) 
{2, 3}
{определение 9.1, 4}
Определение 9.2 и лемму 9.2 можно записать также в следующей форме:
m
< n
≡
m
n
m
n
m
=
n
→ m
n
На основании этих формул и теоремы исчисления предложений:
мы устанавливаем истинность.
Теорема 9.1.
m
n
≡ m
= n
m
< n
Следующая теорема называется теоремой Кантора-Бернштейна:
Теорема 9.2.
m
n
m
= n
m
< n
Мы не будем приводить трудного доказательства этой теоремы, а ограничимся лишь указанием, в чем состоит основная мысль этого доказательства.
Пусть
=m
и
=n.
Из условий теоремы следует существование
подмножества Z
множества X
и подмножества U
множества Y,
а также отношений R
и S,
таких, что Х~RU
и Y~SZ.
На основании этих допущений можно показать, что сущесвует взаимнооднозначное отношение T, левая область которого – х, а правая – y.
Теорема 9.3.
a) m
<
n
→
m
n
b)
n
< m
→
m
n
c) m = n → ~(m < n)
d) m = n → ~( n < m)
e)
m <
n
→
~(n
m)
Доказательство. Формулы а и b следуют из определения 9.2. Из этих формул с помощью контрапозиции мы получаем формулы с и d.
Приводим доказательство формулы е:
(1) m < n {доп.}
(2) n
m
{доп.}
(3) m
n
{определение 9.2, 1}
(4) m
n
{определение 9.2, 1}
(5) m = n {теорема 9.2, 2, 4}
Противоречие. {3, 5}
Теорема 9.4. m
n
n
m
Мы снова опускаем доказательство этой теоремы и ограничиваемся указанием его основной мысли.
=m
и
=n.
Чтобы доказать теорему 9.4, следует
показать, что всегда существует такое
подмножество U
множества Y
и такое отношение R,
что X~RU,
или существует такое подмножество Z
множества Х и такое отношение S,
что Y~SZ.
Однако для доказательства этого,
недостаточно принятых до сих пор аксиом;
возникает необходимость в принятии
новой аксиомы − так называемой аксиомы
выбора, формулировка которой будет дана
в §14.
m
n
n
m
→
m
= n
Из теорем 9.4 и 9.1 следует, что для любых двух кардинальных чисел имеет место одно из следующих соотношений:
m < n n < m m = n
Из теоремы 9.3 следует, что может иметь место не более одного из этих отношений. Этот факт мы сформулируем кратко: для кардинальных чисел имеет место принцип трихатолии.
Из того, что
=
иf
=
,
а также из следствия 9.1 и определения
9.2 следует:
Теорема 9.5. a)
f
b)
Если n
– натуральное число, то n
< 
.
Следующей леммой мы будем пользоваться в дальнейших параграфах:
Лемма 9.5.
a)
m <
n
→m∙f
n∙f
b)
m
< n
→mk
nk
Доказательство. a.
(1) m < n {доп.}
(2)
1
= m
1
=
n
1
=
f {теорема
7.2c}
(3) Z1
Y1
X1
~
Z1 {определения
9.2, 9.1, 1, 2}
(4)
1
= m {аксиома
7.1, 3, 2}
(5)
{теорема 5.1d,
3}
(6)
{следствие
9.1, 5}
m∙f
n∙f {определение
8.2, 2, 4}
b.
В аналогичном доказательстве формулы
b
используется следствие 8.1
(Z
Y→ZX
YX).