§5. Преобразование lj-вывода в эквивалентный ему lhj-вывод.

Предварительное заключение: в исчислении LJ нет сокращений и перестановок в сукцеденте, т.к. эти фигуры заключения имеют в сукцеденте не менее двух S-формул.

5.1. Прежде всего вводят вместо фигур заключения UEA, OES, AEA, EES, NEA и FEA новые основные секвенции, которые строятся по следующим схемам (правила замещения те же, что и в III, 1.2; это же имеет место всюду в дальнейшем; впрочем, мы будем употреблять для обозначения формулы, кроме букв U, B, D, (э) также C(цэ), h(ха), I(и)):

(гэ) Gf₁: UB→U Gf₂: UB→B

Gf₃: U→UB Gf₄: B→UB

Gf₅: xFx→Fa Gf₆: Fa→xFx

Gf₇: U, U→ Gf₈: UB, U→B

Мы преобразуем соответствующие фигуры заключения в рассмотренном LJ-выводе следующим образом:

UEA преобразуется в:

Соответственно мы преобразуем и другую форму UEA и каждую AEA. Симметрично этому мы поступаем с OES и EES. NEA преобразуется в

Gf₇

возможно, несколько перестановок

FEA преобразуется в

Gf₈

перестановка

сечение

сечение

возможно несколько перестановок

5.2. Теперь всем H-секвенциям, имеющим пустой сукцедент, мы напишем в сукцедент формулу AA.

При этом остаются неизменными основные секвенции видов: D→D, Gf₁ – Gf₆ и Gf₈, а также фигуры заключения UES, AES, FES. Остальные основные секвенции и фигуры заключения переходят в основные секвенции и фигуры заключения по следующим схемам:

Gf₉:

f₁: f₂:

f₃: f₄:

f₅: f₆:

f₇: f₈:

(для f₇ существует ограничение на var: свободная предметная var, обозначается посредством a, не должна входить в нижнюю секвенцию).

5.3. Далее фигуру заключения f₄ можно заменить фигурой следющим образом (такое возможно, по существу, обусловлено общим содержанием схемы f₉).

f₂ f₉

Подобным образом мы заменяем фигуру заключения f8 (всюду, где она входит в вывод), но этот раз применяется фигура заключения , построенная по схема

f₉: .

Замена производится следующим образом: на место f8 ставится

f₁ ₂

5.4 Введем теперь еще две новые схемы фигур заключения:

f₁₀: и ее обращение,f₁₁: эти фигуры вводятся для того, чтобы с их помощью заменить в выводе ряд других фигур заключения их частными случаями (5.4.2, 5.4.3).

5.41 Прежде всего фигуру заключения FES можно удалить из вывода с помощью f10, преобразовав ее следующим образом:

возможно, несколько f₃

f₁₀

5.42 После этого преобразуем следующим образом фигуры заключения σf₁ – σf₃, σf₅ – σf₇.

В качестве примера мы возьмем σf₂, которое мы преобразуем в следующую фигуру (считая, что Г имеет вид I₁,…,I_ρ):

σƒ₁₀

несколько раз σƒ₁₀

σƒ₁₃

несколько раз σƒ₁₁

Совершенно аналогично мы поступаем с каждой из остальных перечисленных фигур заключения; в результате, используя σƒ₁₀ и σƒ_11, мы заменяем их фигурами заключения, построенными по следующей схеме:

σƒ₁₂ : σƒ₁₃ : σƒ₁₃ :

σƒ₁₅ : σƒ₁₆ : σƒ₁₇ :

(для σƒ₁₇ имеется ограничение на переменные: свободная предметная переменная, а не должен входить в нижнею секвенцию).

5.43. сходным образом заменяем далее фигуры замещения σƒ₉, σƒ₁₃, σƒ₁₅ следующим (используя σƒ₁₀ и σƒ₁₁):

σƒ₁₈ : σƒ₁₉ :

σƒ₂₀:

Таким же образом можно заменить основания основных секвенций σƒ₈ и σƒ₈ на UB→UD; эта формула подпадает под схему D→D, а также σƒ₁₀ на: U→Uh.

5.5 После этого делаем последний шаг:

Заменяем каждую H-секвенцию U₁,…,U_m→B формулой (U₁&…&U_m)=B. (Если все U пусты, то этой формулой будет просто B. Сукцедент не может быть пустым, согласно 5.2).

В результате все основные секвенции (а именно, D→D, sf₁ - sf₆, sf₁₀) становятся основными секвенциями исчисления LHJ.

Из фигур заключения фигуры AES и sf17 также становятся фигурами заключения исчисления LHJ. (Для первой из них исключение составит не случай, когда Г пуст. В этом случае мы сначала выведем (в исчислении LHJ) формулу (AÉA) ÉFa из Fa с помощью 2.1.2, а затем применяем фигуры заключения LHJ и получаем в конце концов с помощью 2 формулу "xFx).

188