§4. Преобразование nj-вывода в эквивалентный ему lj-вывод.

4.1. Это преобразование производится так:

сначала каждая H-формула NJ-вывода заменяется на секвенцию следующего вида (ср.III., 1.1):

в сукцеденте ее стоит только сама заменяемая формула, а в антецеденте стоят все допущения, от которых эта формула зависит, причем эти допущения располагаются слева направо в той последовательности, в которой они входят в NI-вывод.

После этого заменяем знак всюду, где он входит, формулойA&A. Формулу, полученную при этом из формулы U, мы обозначим посредством U^*).

4.2. Таким образом мы уже получили систему секвенций, расположенных в виде дерева. Конечная секвенция имеет пустой антецедент (II., 2.2) и, очевидно, эквивалентна конечной формуле NJ-вывода. Исходные секвенции все имеют вид D^*D^* (II., 2.2), т.е. уже являются основными секвенциями LJ-вывода.

Фигуры, полученные из NJ-фигур заключения, преобразуются в части LJ-вывода по следующим схемам:

4.2.1. Фигуры заключения ОЕ, АЕ, ЕЕ при замещении уже превратились в LJ-фигуры заключения.

(В случае АЕ LJ-ограничение на переменные выполняется в силу выполнения NJ-ограничения на переменные в исходном NJ-выводе).

4.2.2. Фигура заключения UE приняла вид

Ее перестраивают так:

Г

возможно, несколько перестановок и уточнений

возможно, несколько уточнений

U^* B^*

возможно, несколько перестановок возможно, несколько

Г, U^{* и утончений,} Г, B^{* утончений}

UES

Г, U^*& B^*

4.2.3. Фигура заключения FE приняла вид

Г₁, U^*, Г₂,…, U^*, Г B^*

Г₁, Г₂,…, ГU^*B^*

Ее перестраивают так:

Г

возможно, несколько перестановок, сокращений, а также потребуются уточнений

₁, U^*, Г₂,…, U^*, Г B^*

возможно несколько перестановок, сокращений,

U^*, Г₁, Г₂,…, Г B^{* и, если потребуется, утончений}

FES

Г₁, Г₂,…, ГU^*B^*

4.2.4. С фигурой заключения NE поступают так же, после чего надо рассмотреть фигуру .

Секвенцию А&Aвыводим в исчислении LI следующим образом:

АА

NEA

A, A

UEA

А&A, A

перестановка

A, А&A

UEA

А&A, А&A

сокращение

А&A

Присоединяя эту секвенцию, перестраиваем рассматриваемую фигуру следующим образом:

4.2.5. NJ-фигура заключения примет после замещений (4.1) следующий вид:

Делаем следующее ее преобразование:

При этом над секвенцией А&Aпишется ее вывод, приведенный в 4.2.4.

4.2.6. Фигура заключения АВ принимает вид

Преобразуем ее так:

4.2.7. С фигурой заключения UB поступаем совершенно так же.

4.2.8. Фигура заключения FB принимает вид:

Преобразуем ее так:

возможно несколько перестановок

4.2.9. Фигура заключения NB принимает вид:

Преобразуем ее так:

возможно, несколько перестановок

4

возможны перестановки и утончения

возможны перестановки и утончения

.2.10.Фигура заключения OB: сначала применяем как это делалось для FE и NE, к обеим правым верхним секвенциям перестановки, сокращения и утончения (если это необходимо) таким образом, чтобы в результате получать секвенции, в которых формулы, обозначенные посредством U^* и соответственно B^*, стоят в начале антецедента (в то время как из остальной части антецедента упомянутые допущения удалены). После этого следует

ОЕА

сечение

U^*B^* U^*B^*, Г, С^*

, Г, С^*

4.2.11. С фигурой заключения ЕВ поступаем аналогично; сначала формула Fa в правой верхней секвенции перемещается в начало антецедента (как в 4.2.3), а затем следует

LJ-ограничение на var для ЕЕА выполнены ввиду выполнения NJ-ограничений на var.

Этим преобразование NJ-вывода в эквивалентный ему LJ-вывод завершено.