Раздел V. Эквивалентность новых исчислений nj, nk и lj, lk некоторым исчислениям, которые можно отыскать с формализмом Гильберта.

§1. Понятие эквивалентности.

1.1. Мы введем следующее понятие эквивалентности между формулами и секвенциями (оно согласуется с указаниями, сделанными в I, 1.1 и I, 2.4 относительно содержательного смысла знака  и секвенций):

1) равные формулы эквивалентны;

2) равные секвенции эквивалентны.

Две формулы эквивалентны, если одна может быть получена из других в результате замены знака  всюду формулой А¬А.

Секвенция U₁, …, U_  В₁, …, В_ эквивалентна следующей формуле:

если все U и все В непусты, то

(U₁&…&U_)(В_…В₁)

(это форма удобнее для доказательства эквивалентности, чем с В₁…В_);

если все U пусты, а В непусты, то В_…В₁;

если все В пусты, а U непусты, то (U₁&…&U_) (А¬А);

если все U и В пусты, то А¬А.

Эквивалентность транзитивна.

1.2. (Разумеется, понятие эквивалентности можно было бы существенно расширить. Например, обычно считают две формулы эквивалентными если одна из них выводима из другой и обратно. Мы ограничимся введенным определением, достаточным для нашего доказательства эквивалентности.)

Два вывода мы будем называть эквивалентными, если конечная формула или секвенция одного эквивалентна таковой второго.

Два исчисления мы будем называть эквивалентными, если любой вывод в одном из них можно преобразовать в эквивалентный ему вывод в другом и обратно.

§2. Описание логического исчисления Гильберта и Гливленко.

Сначала мы определим интуиционистскую форму исчисления: LHJ-вывод состоит из формул, расположенных в виде дерева, исходными формулами которого являются основные формулы.

Основные формулы и фигуры заключения строятся по следующим схемам путем таких же замещений, как в II, 2.21, а именно:

1) U, B, C замещаются произвольными формулами;

2) (соотв.) – произвольной формулой, внешним знаком которой является(соотв.), причемx обозначает следующую за ними связанную предметную переменную.

3) замещается формулой, которая получается изв результате заменит связанной предметной переменнойx всюду, где она входит, на свободную предметную переменную а.

Схемы основных формул:

2.1.1.

2.1.2.

2.1.3.

2.1.4.

2.1.5.

2.2.1.

2.2.2.

2.2.3.

2.3.1.

2.3.2.

2.3.3.

2.4.1.

2.4.2.

2.5.1.

2.5.2.

Схемы фигур заключения:

Ограничение на переменные:

в фигурах заключения, получающихся по последним двум схемам, предметная переменная, обозначена посредством а, не должен входить в нижнюю форму (т.е. ни в U, ни в ).

(Исчисление LHJ, по существу, эквивалентно исчислению Гейтинга).

Исчисление LHK получается в результате присоединения к исчислению LHJ схемы основных формул .

§3. Преобразование lhj–выводы в эквивалентный ему nj-вывод.

Из LHJ-вывода (V,2) мы получаем NJ-вывод (II,2) с той же конечной формулой в результате следующего преобразования LHJ-вывода (при этом все H-формулы этого вывода становятся Н-формулами NJ-вывода, причем они не будут зависеть ни от каких допущений. Кроме них, в строящийся NJ-вывод будут входить некоторые другие H-формулы, зависящие от тех, или иных допущений).

3.1. Все LHJ-основные формулы заменяются теперь выводами этих формул, построенными по следующим схемам:

2.1.1.

2.1.2.

2.1.3.

2.1.4.

2.1.5.

2.2.1.

Совершенно аналогично 2.2.1. выводятся 2.2.2., 2.3.1., 2.3.2., 2.5.1., 2.5.2.

2.2.3.

2.3.3.

2.4.1.

2.4.2.

3.2 Все LHJ-фигуры заключения заменяются теперь частями NJ-вывода, построенными по следующим схемам:

Как легко видеть, что ограничение на переменные в фигурных заключениях АЕ и ЕВ выполнено вследствие существующего для LHJ-фигур заключения ограничения на переменные.

На этом преобразование LHJ-вывода в эквивалентный ему NJ-вывод заканчивается.