§2. Арифметика кардинальных чисел.

Определим сложение, умножение и возведение в степень кардинальных чисел. Для обозначения каждой из этих операций мы будем пользоваться символами, которые обозначаются в арифметике «обычных» чисел, например, в арифметике натуральных чисел или в арифметике действительных чисел. Мы сохраним также терминологию этих арифметик, называя, например, результат сложения кардинальных чисел − суммой, а складываемые кардинальные числа − слагаемыми.

Определение 8.1.

X∙Y = 0 →

Это сокращенная форма определения сложения кардинальных чисел. Точная форма такого определения следующая:

m+n = f ≡

Определения остальных операций мы приведем только в сокращенной форме.

Определение 8.2.

Сформулируем вспомогательное определение:

Определение 8.3.

Выражение читается: функция R есть отображение множества Х в множество Y.

Из определения 8.3 следует:

А~A₁ B~B₁ → B^A~B₁^A1 (*)

Доказательство (*) аналогично лемме 7.5а.

Из определения 8.3 легко следует также:

Следствие 8.1.

Определение 8.4.

Таким образом мощность множества Х, возведенная в степень, равную мощности множества Y в множество X.

Покажем, что определение 8.1 − корректное определение. С этой целью нужно доказать, что для любых двух кардинальных чисел m и n существует только одно кардинальное число, равное их сумме.

По теореме 7.2с существует такие множества А и А₁, что и. По лемме 7.4 мы можем считать, что эти множества не пересекаются. Ссылаясь на теорему 7.2b, мы устанавливаем:

Существование кардинального числа f

Следовательно, для любых двух кардинальных чисел существует их сумма. Пусть теперь В и В₁ – произвольные множества, удовлетворяющие условиям:

Из леммы 7.5 легко следует, что А + А₁ ~ В + В₁. Отсюда и из аксиомы 7.1 следует, что f=f₁.

Таким образом, существует единственная сумма данных кардинальных чисел. Аналогично можно показать корректность определения остальных операций.

Покажем теперь, что операции на натуральных числах – это частные случаи операций на кардинальных числах.

Пусть X = {x₁, x₂, … , x_m}, Y = {y₁, … , y_n}.

Предположим, что среди элементов x₁, x₂, … , x_m нет тождественных, а также, что среди y₁, … , y_n нет тождественных элементов.

Тогда .

Допустим далее, что каждый элемент множества Х отличен от каждого элемента множества Y. Очевидно, .

Таким образом, сложнее натуральных чисел – частный случай множеств кардинальных чисел.

Покажем, что . Декартову произведению принадлежитXY принадлежит любая упорядоченная пара , гдеi = 1, 2, …, m; y = 1, 2, …, n. Очевидно, что таких пар . Таким образом, умножение натуральных чисел – частный случай умножения кардинальных чисел. Далее заметим, что всякое отображение множестваY в множество Х однозначно определит n-численную последовательность

(1) x₁, x₂, … , x_m,

члены которой – элементы множества Х. (Очевидно, что члены последовательности (1) с различными индексами могут быть тождественны.) Легко видеть, что таких последовательностей mⁿ. Таким образом, и возведение в степень натуральных чисел – частный случай возведения в степень кардинальных чисел.

В качестве примеров мы приведем теорему арифметики кардинальных чисел.

Теорема 8.1. а. ,

b.

Эту теорему можно записать в таком виде:

а) m+n = n+m

b) m∙n = n∙m

Доказательство. a. По лемме 7.4 мы можем считать, что множества X и Y не пересекаются. Тогда имеет место равенство (1):

(1) X∙Y = Y∙X = 0

(2) {определение 8.1, 1}

(3) {определение 8.1, 1}

(4) {теорема 2.2a}

(5) {4}

{5,2,3}

b. По определение 8.2 имеют место следующие равенства:

(1)

Определим отношение, которое потребуется дальше в доказательстве:

z, t, R, x, y ≡ x = t y = z x X y Y.

Очевидно, что и это отношение устанавливает равночисленность множеств. Отсюда из определения 8.2 и аксиомы 7.1 следует равенство:

(2)

Из (1) и (2) следует:

Теорема 8.2.

Доказательство. По лемме 7.4 мы можем считать, что равенство (1) имеет место:

(1) X∙Y = 0

(2) {определение 8.1, 1}

(3) {определение 8.2, 2}

(4) {теорема 5.1b, 1}

(5){определения 8.1, 8.2, 4}

(6) {теорема 5.1a}

(7){6}

{7, 3, 5}

Теорема 8.3.

Доказательство. Пусть ₁={1, 2, …, n}. Отсюда ₁=n.

Обозначим через X_i (i = 1, 2, …, n) декартово произведение одноэлементного множества {i} и множества Х.

Легко видеть, что имеют место следующие равенства:

Из этих формул, теоремы 5.1с и определений 8.1 и 8.2 следуют равенства:

Таким образом, теорема верна.

Теорема 8.4.

Доказательство. Пусть ₁={1, 2, …, n}. Отсюда ₁=n. Из определения 8.3 следует, что множество Х^1 есть подмножество всех последовательностей х₁, х₂, …, х_n, члены которых – элементы множества Х, а по определению 5.1 множество – это множество всех упорядоченныхn-ок <х₁,х₂,…,х_n>, причем х₁, х₂, …, х_n Х. Очевидно, что отношение, сопоставляющее последовательности х₁, х₂, …, х_n и упорядоченную n-ку <х₁,х₂,…,х_n>, устанавливает равночисленность множеств Х^1 и

Отсюда и из определений 8.2 и 8.4 следует теорема.

Теорема 8.5.

Доказательство, которое здесь приводится, содержит много сокращений.

Доказательство. По лемме 7.4 можем считать, что:

(1) Y∙Z = 0.

Пусть R – произвольная функция, отображающая множество Y+Z в множество Х. Отсюда и из формулы (1), а также определений 6.7 и 8.3 следуют формулы:

R_Y X^Y

R_Z X^Z

Пусть отношение S сопоставляет функции R упорядоченную пару <R_Y, R_Z>. Отношение S устанавливает равночисленность множеств X^Y+Z и X^Y∙X^Z. Отсюда уже легко следует теорема.

Следующую теорему приведем без доказательства:

R_Y X^Y

Теорема 8.6.

Теоремы арифметики кардинальных чисел, которые приведены в этом параграфе, аналогичны теоремам арифметики натуральных чисел. Однако в дальнейших параграфах мы познакомимся с теоремами, не имеющими этого свойства. Заметим еще, что не было надо определений обратных операций: вычитания и деления.

Причины, по которым в теории множеств эти операции не определяются, также будут выяснены в дальнейших параграфах.