§5. Некоторые замечания об исчислении nj. Исчисление nk.

5.1. Исчисление NJ имеет много формальных недостатков. Но им противостоят следующие достоинства.

5.1.1. Далеко идущее приближение к действительным рассуждениям, к чему мы с самого начала стремились. Поэтому это исчисление особенно пригодно для формализации математических доказательств.

5.1.2. Выводы истинных формул в этом исчислении почти всегда короче, чем в логических исчислениях. Это существенно связано с тем, что в логических выводах одна и та же формула в большинстве случаев появляется несколько раз (как часть других формул), тогда как в NJ-выводах это имеет место гораздо реже.

5.1.3. Введенные выше обозначения отдельных фигур заключения (см. 2.2.1) показывает, что имеется заслуживающая внимания систематизация их.

С каждым из логических знаков: , , , , , ¬ связана одна фигура «введения» и одна фигура «удаления» его, как внешнего знака формулы.

Наличие двух фигур заключения UB и OE представляет собой незначительное, чисто внешнее отклонение. Введения представляют собой, так сказать, «определения» соответствующих знаков, а удаления являются в конце концов лишь следствиями этих определений, что может быть выражено так:

при удалении некоторого знака формула, которой это касается, и знак, о котором идет речь, могут «использоваться лишь в том значении, которое они получают при введении данного знака».

Следующий пример мог бы пояснить сказанное: формула UB может быть введена, если имеется вывод В из допущения U. Применяя же затем к этой формуле удаление  (конечно, возможны и другие использования этой формулы, например, построение из нее более длинной формулы (UB)С, а это возможно именно вследствие того, что UB регистрирует факт существования вывода В из U.

Уточняя эти соображения, можно было бы, введя определенные требования, доказать, что правила введения являются однозначными функциями правил удаления.

5.2. Отрицание можно исключить из нашего исчисления, если рассматривать ¬U как сокращение для U.

Это допустимо, т.к. если в некотором NJ-выводе уничтожить все знаки ¬, заменив каждую формулу вида ¬U формулой U, то получится снова NJ-вывод (при этом фигуры заключения NE и NB станут частными случаями FE и FB), и обратно: если в некотором NJ-выводе каждые U заменить на ¬U, то получится опять NJ-вывод.

Схема фигур заключения занимает среди схем особое место, она относится не к логическому знаку, а к знаку высказывания .

5.3. «Закон исключенного третьего» и исчисление NK.

Если к исчислению NJ присоединить «закон исключенного третьего» (tertium non datur), то получится полное классическое исчисление NK. Иными словами, кроме допущений, в качестве исходных формул вывода разрушается такую брать «основные формулы» вида U¬U, где U – произвольная формула.

Таким образом, мы совершенно внешним образом представляем «закону исключенного третьего» особое место, т.к. мы считаем такую формулировку наиболее истественной.

Можно было бы вместо силы аксиом U¬U допустить новую схему фигур заключения, а именно (аналогично тому, как это сделано Гильбертом и Гейтингом). Однако это фигура заключения выпадает из рамокNJ-фигур заключения, т.к. представляет собой новое удаление отрицания, допустимость которого никак не следует из способа введения знака отрицания.