§3. Содержательный смысл nj-фигур заключения.

Мы хотим пояснить содержательный смысл некоторых из схем фигур заключения и тем самым попытаться показать, что описанное исчисление на самом деле воспроизводит «действительные рассуждения».

FE (введение следования). Словами это заключение можно выразить так:

«Если В доказано с использованием допущения U, то (уже без этого допущения) из U следует В».

(Естественно, могли быть сделаны другие допущения, от которых этот результат остается зависимым.)

ОВ (удаление или). Если доказано UB, то можно вести доказательство разбором случаев. Предположим сначала, что имеет место U, и из него выведем С. Если далее их предположения о том, что имеет место В, снова вывести С, то С вообще имеет место уже независимо от обоих допущений (ср. 1.1).

АЕ (введение всеобщности). Если Fa доказано « для произвольного а», то имеет место xFx.

Предположим, что а «совершенно произвольно может быть точнее выражено так: Fa не зависит на от какого допущения, в которое входит предметная переменная а. И это вместе с само собой разумеющимся требованием, чтобы в Fx все вхождения а в Fa были заменены на х, составляет в точности ту часть приведенного выше ограничения на переменные, которая относятся к АЕ.

ЕВ (удаление существования). Имеем xFx. Далее рассуждаем так:

пусть а – именно такой объект, для которого имеет место F, т.е. допустим, что имеет место Fa. (Естественно, при этом в качестве а надо брать такую предметную переменную, которая не входит в xFx.) Если, опираясь на это допущение, мы докажем некоторое высказывание С, которое уже не содержит а и не зависит ни от каких других допущений, содержащих а, то С доказано независимо от допущения Fa. В этом рассуждении уже высказана та часть ограничения на переменные, которая относится к ЕВ. (Существуют известная аналогия между ЕВ и ОВ; это объясняется тем, что знак существования является обобщением знака , а знак всеобщности – знака &.)

NВ (удаление отрицание). U и ¬U означает противоречие, а таковое не может соответствовать в действительности (закон противоречия).

Это формально отражено в фигуре заключения NB, где знак  означает «противоречие», «ложность».

NE (введение отрицания) (reduction ad absurdum – приведение к нелепости). Если из допущения U следует нечто ложное (), то U не является истинной, т.е. имеет место ¬U.

Схема . Если имеет место нечто ложное, то имеет место любое высказывание.

Остальные схемы фигур понимаются в аналогичном (выше изложенном) плане.

§4. Запись трех примеров из §1 в виде nj-выводов.

1-й пример (1.1): XYZXYXZ.

OB1

В этом примере расположение в виде дерева должно показаться несколько искусственным, поскольку при нем, например, пропадает преемственность между разбором случаев X, Y&Z и установлением XYZ.

2-й пример (1.2):

Здесь также при линейном расположении было бы естественно начать с введения в качестве допущения левой верхней формулы фигуры заключения ЕВ, как это имело место в данном примере в §1.

3-й пример (1.3):