§3. Фигуры.
Мы употребили фигуры заключения и фигуры доказательства. Они состоят из формул или из секвенций; мы будем говорить в дальнейшем лишь о формулах, но все сказанное справедливо и для секвенций, надо лишь слово «формула» заменить везде словом «секвенция».
3.1. Фигуру заключения можно записать в виде
(
1),
где U1,
…, U
,
В - формулы.
U1,
…, U
называют
верхними формулами,
В - нижней формулой фигуры заключения.
(Совершенно аналогично надо понимать термины: верхняя секвенция и нижняя секвенция фигуры заключения, состоящей из секвенций).
Мы будем рассматривать лишь частные виды фигур заключения, которые будут введены в отдельных исчислениях.
3.2. Фигура доказательства, называемая кратко выводом, состоит из некоторого числа формул (по меньшей мере из одной формулы), которые образуют между собой фигуры заключения следующим образом:
каждая формула является нижней формулой не более, чем одной фигуры заключения;
каждая формула, кроме одной конечной формулы, является верхней формулой по крайней мере одной фигуры заключения;
совокупность фигур заключения не содержит кругов, т.е. формулы, входящие в вывод, не образуют циклов (рядов, в которых первый член следует за последним, если считать, что нижняя формула каждой из фигур заключения следует за каждой из верхних формул этой фигуры заключения).
3.3. Исходными формулами вывода называются такие формулы вывода, которые не являются нижними формулами никаких фигур заключения.
Вывод называется древовидным, если все его формулы являются верхними формулами не более, чем одной фигуры заключения.
Отсюда следует, что все формулы, за исключением конечной формулы, являются верхними формулами в точности одной фигуры заключения.
Мы будем рассматривать только древовидные выводы.
Формулы, из которых, в соответствии с определением, состоит вывод, мы называем H-формулами (т.е. формулами вывода (Herℓeitung – вывод)), выражая этим ту мысль, что мы подразумеваем не формулу как таковую, а формулу, связанную с ее местом в выводе. Т.е. иными словами H-формула – это вхождение формулы в вывод.
В этом смысле мы употребляем выражения:
«Формула входит в вывод в качестве H-формулы»,
«Две различные (т.е. стоящие на разных местах в выводе) H-формулы формально равны, т.е. равны одной и той же формуле».
Т.о., выражение «U является той же H-формулой, что и В» означает, что U и В не только являются одинаковыми формулами, но и, кроме того, занимают одно и то же место в выводе. Говоря о совпадении формул безотносительно к занимаемым ими местам, мы употребляем слова «формально равные».
Для предметной переменной мы не будем вводить никакого особого наименования, связывающего ее с местом, на котором она стоит в формуле.
Например, мы говорим: «Одна и та же предметная переменная входит в две различные H-формулы».
3.4. Фигуры заключения, входящие с вывод, мы называем H-фигурами заключения.
S-формулы H-секвенций некоторого вывода, состоящего из секвенций, мы называем H-S-формулами (т.е. секвенциальными формулами вывода).
3.5. Нитью в данном выводе мы называем (следуя Гильберту) любую последовательность H-формул этого вывода, удовлетворяющую следующим 3 условиям:
1) первая формула этой последовательности является исходной формулой;
2) последняя формула этой последовательности является конечной формулой;
3) каждая из формул этой последовательности, кроме последней, является верхней формулой той H-фигуры заключения, нижняя формула которой непосредственно следует за ней в нити.
Мы говорим: «Данная H-формула стоит выше (соответственно ниже) другой данной H-формулы», когда существует нить, в которой первая предшествует (соответственно следует за) второй.
При этом мы подразумеваем, что вывод записан в виде древовидной фигуры с исходными формулами наверху и колесной формулой внизу.
Далее, мы говорим: «Данная H-фигура заключения стоит выше (соответственно, ниже) данной H-фигуры», если все формулы этой H-фигуры заключения стоят выше (соответственно, ниже) данной H-формулы.
Вывод с конечной формулой U мы будем называть также «выводом формулы U».
Исходные формулы некоторого вывода могут быть основными формулами или допущениями, о сущности которых мы будем говорить подобнее при описании отдельных исчислений.