Раздел I. Обозначения.

Понятиям «объект», «функция «, «предикат», «высказывание», «теорема», «аксиома», «доказательство», «вывод» и т.д. в логике и математике при их формализации сопоставляются определённые знаки и комбинации этих знаков.

Мы их делим на:

1. знаки,

2. выражения – конечные последовательности знаков,

3. фигуры – каким - либо образом упорядоченные конечные множества знаков.

Знаки являются частным случаем выражений и фигур, выражения – частным случаем фигур.

В дальнейшем будем рассматривать знаки, выражения и фигуры следующих видов.

§1. Знаки.

Знаки делятся на знаки для постоянных и для переменных.

1.1. Знаки для постоянных.

Знаки для постоянных объектов: 1, 2, 3, …

Знаки для постоянных функций: +, –, ∙.

Знаки для постоянных высказываний: Υ («истинное высказывание»),  («ложное высказывание»).

Знаки для постоянных предикатов: =, <.

Логические знаки: & «и»,  «или»,  «из … следует»,  «эквивалентно» (), «не», «для всех»,  «существуют». Мы допускаем также следующие наименования: и-знак, или-знак, знак следования, знак эквивалентности, знак отрицания, знак всеобщности, знак существования.

Вспомогательные знаки: (, ), .

1.2. Переменные.

Предметные переменные:

а) свободные: a, b, c, …, m.

б) связанные: n, …, x, y, z.

Переменные высказывания: A, B, C, …

Необходимо иметь в распоряжении сколь угодно много переменных; когда алфавит оказывается недостаточным, мы приписываем к буквам цифровые индексы, например, a₇, c₃.

1.3. Готические и греческие буквы служат нам в качестве «информационных знаков» и являются, следовательно, не знаками формализованной логики, а переменными в наших рассуждениях о ней. Их значения будут разъясняться там, где они применяются.

§2. Выражения.

2.1. Понятие высказывательного выражения, называемого кратко формулой (определяется индуктивно).

Понятие формулы употребляется нередко и в более общем смысле; определяемый в дальнейшем частный случай мы могли бы поэтому называть «чистой логической формулой».

2.1.1. Знак для постоянного высказывания есть формула. Это знаки  и .

Переменное высказывание с некоторым числом (возможно, равным нулю) следующих за ним свободных предметных переменных есть формула. Например, Abab.

Предметные переменные называются аргументами переменного высказывания.

Формулы описанных двух видов мы называем также элементарными формулами.

2.1.2. Если U является формулой, то ¬U тоже является формулой.

Если U и В являются формулами, то (UВ), (UВ), (UВ) тоже являются формулами.

(Знак  в нашем исследовании не вводится; это излишне, т.к. UВ может рассматриваться как сокращение для (UВ)&(ВU)).

2.1.3. Из формулы, в которую не входит связанная предметная переменная х, возникает новая формула, если перед ней ставится х или х, причем одновременно можно заменить на х некоторую входящую в формулу свободную предметную переменную на некоторых местах.

2.1.4. С помощью скобок следует обеспечивать возможность однозначно видеть построенные формулы.

Пример формулы:

x(((Abxa)Bx)(z(A&B))).

Введя специальные соглашения, можно опускать скобки; мы не будем прибегать к этому (за исключением случая, описанного в пункте 2.4), т.к. не придется выписывать много формул.

2.2. Степенью формулы будем называть число входящих в нее логических знаков (элементарная формула имеет, таким образом, степень 0).

Внешним знаком формулы, не являющейся элементарной, будем называть тот логический знак, который был введен последним при построении формулы в соответствии с 2.1.2 и 2.1.3.

Подформулами данной формулы будем называть те формулы, которые строятся в процессе построения данной формулы в соответствии с 2.1.2 и 2.1.3, включая и саму данную формулу.

Пример. Подформулами формулы A&xBxa являются:

A

xBxa

A&xBxa

а также все формулы виды Ba, где посредством  обозначена любая свободная предметная переменная (например,  может и совпадать с a). Степень A&xBxa равна 2 (&,), внешним знаком ее является .

2.3. Понятие секвенции.

Секвенция есть выражение вида

U₁, …, U_  В₁, …, В_

где U₁, …, U_, В₁, …, В_ ­­–­­ произвольные формулы. Знак  и запятые являются не логическими, а разделительными знаками. Знак «» читается: «приводит к».

Формулы U₁, …, U_ образуют антецедент, формулы В₁, …, В_ ­­­­­­­­­– сукцедент секвенции. Оба выражения могут быть пустыми.

Секвенция обладает свойствами, сходными со свойствами логического следования.

2.4. Секвенция U₁, …, U_  В₁, …, В_ содержательно означает в точности то же самое, что формула

(U₁&…&U_)(В₁…В_)

Если антецедент пуст, то подразумевается формула В₁, …, В_.

Если сукцедент пуст, то секвенция означает то же самое, что формула

(U₁&…&U_).

Если и антецедент и сукцедент оба пусты, то секвенция означает то же, что , т.е. ложное высказывание.

Обратно, для каждой данной формулы существует эквивалентная секвенция, например та, антецедент которой пуст, а сукцедент состоит из одной данной формулы.

Формулы, из которых состоит некоторая секвенция, будем называть S-формулами (т.е. секвенциальными формулами), выражая этим ту мысль, что мы подразумеваем не формулу как таковую, а формулу, связанную с ее листом в секвенции.

Так, например, утверждение: «Данная формула входит в данную секвенцию в нескольких местах в качестве S-формулы» можно выразить следующим образом: «Несколько различных (что должно означать: стоящих на различных местах в секвенции) S-формул являются формально равными».