Г. Генцен, «Исследование логических выводов» в сб. «Математическая теория логического вывода», пер. Под ред. А.В. Идельсона, г.Е. Минца, изд-во «Наука», м., 1987.

Эта работа является классической и служит теоретической базой построения многих алгорифмов машинного доказательства теорем В этой работе описаны две формализации исчисления предикатов.

Первая – формализация общеупотребительного в математике метода построения логических выводов с введением допущений (формализация «натурального» типа).

Вторая – формализация, особенно удобная для использования самого аппарата логического вывода (формализация «логического» типа).

Основным результатом работы является теорема об устранимости правила «сжатия» в формализации логического типа. Эта теорема служила и служит отправным пунктом для многих исследований по теории логического вывода, а также теоретической базой для построения многих алгоритмов машинного доказательства теории.

Обзор работы.

Исследования в данной работе относятся к области логики «узкого исчисления предикатов». Эта логика охватывает такие выводы, которые постоянно применяются во всех разделах математики. К ним могут присоединяться ещё аксиомы и правила вывода, которые можно причислить собственно к отдельным разделам математики, таковы, например, в арифметике аксиомы натуральных чисел, сложения, умножения и возведения в степень, а также правило полной индукции; в геометрии – геометрические аксиомы.

Наряду с классической логикой в работе рассматривается и интуиционистская логика в том виде, как она формализована, например, Гейтингом.

Настоящие исследования классической и интуиционистской логики предикатов распадаются, по существу, на две лишь слабо связанные друг с другом части.

1. Исходная точка зрения автора заключается в следующем: формализация логических выводов, проведённая, в частности, Фреге, Расселом и Гилбертом, очень далёких от тех способов рассуждений, которые применяются в действительности при математических доказательствах.

Автор хотел, прежде всего, построить такой формализм,который был бы как можно ближе к применяющимся в действительности рассуждениям. Так возникло «исчисление натуральных выводов» («NJ» – для интуиционистской логики предикатов, «NK» – для классической логики предикатов).

Далее устанавливается, что исчисление обладает некоторыми особыми свойствами и что отвергаемый интуиционистский «закон исключённого третьего» занимает по отношению к этим свойствам особое место.

Исчисление натуральных выводов рассматривается в разделе 2 данной работы.

2. Более тщательное исследование особых свойств натурального исчисления привело автора к установлению очень общей теоремы, которую он называет «основной теоремой».

В основной теореме утверждается, что каждое чисто логическое доказательство может быть приведено к некоторой определённой, хотя и неоднозначно, нормальной форме. Наиболее существенное свойство такого нормального доказательства можно выразить так: оно не содержит окольных путей. В него не вводится никаких понятий, кроме тех, которые содержатся в конечном результате и поэтому с необходимостью должны быть использованы для получения этого результата.

Основная теорема справедлива как для классической, так и для интуиционистской логики предикатов.

Для того чтобы сформулировать её в соответствующей форме, пришлось ввести особое, подходящее для этого целей логическое исчисление. Натуральное исчисление оказалось непригодным для этих целей.