§10.Теорема Цермело. Альфы. Гипотеза континуума.

Следующая важная и имеющая применение во многих математики теорема называется теоремой Цермело.

Теорема 10.1. Для любого множества А существует высшее упорядоченное множество, запас которого есть множество А.

Иначе эту теорему можно сформулировать так:

Для любого множества А существует также отношение R, что упорядоченная пара <А,R> есть вполне упорядоченное множество.

Данную теорему часто формулируют в краткой, но неточной форме: Любое множество можно вполне упорядочить.

Доказательство этой теоремы мы опускаем.

Определение 10.1.

Это определение корректно, потому что в силу следствия 2.2 множества, порядковые типы которых равны, имеют мощность.

Таким образом, символ обозначит мощность вполне упорядоченного множества, имеющего порядковое число α. Будем говорить, что- кардинальное число порядкового числа α.

Из определения 10.1 и следствия 5.2 следует:

Следствие 10.1. =<>= ₀

Определение 10.2. Z(m)=m.

Таким образом, множество Z(m) есть множество всех порядковых чисел, кардинальное число которых равно m.

Теорема 10.2. mKЧZ(m)0.

Доказательство. Из теоремы 7.2с раздела I следует существование множества, удовлетворяющего условию

Из теоремы 10.1 следует существование вполне упорядоченного множества A⁺ с запасом А.

Из теоремы 2.2 в следует существование порядкового числа , такого что

=^+.

Отсюда, а также из определения 10.1 и условия (1) мы получаем, что

=m.

Тем самым по определению 10.2 Z(m).

Таким образом, множество Z(m) непусто.

Определение 10.3. а. – есть начальное число множества Z(m) тогда и только тогда, когда m₀ и есть наименьшее порядковое число множества Z(m);

b. - есть начальное число тогда и только тогда, когда существует такое m, что есть начальное число множества Z(m).

Из теорем 10.2 и 8.3 следует:

Следствие 10.2. Если m₁, то существует начальное число множества Z(m).

Определение 10.4. =тогда и только тогда, когда есть начальное число, и множество всех начальных чисел меньше , упорядоченное отношением «меньше», имеет тип .

Легко видеть, что w – начальное число множества Z(₀). Это наименьшее начальное число.

Таким образом, из определения 10.4 и в силу замечания, что нуль есть порядковый тип пустого множества.

(1) w=w₀.

Заметим еще, что начальное число w₁ обозначается обычно символом .

Определение 10.5. m=тогда и только тогда, когда начальное число множества Z(m) есть .

Кардинальные числа, которые можно обозначать буквой с индексами, называются алефами.

Рассмотрим, согласуется ли смысл символа , следующий из определения 10.5, с его прежним смыслом.

По определению 10.5 начальное число множества Z() есть числоw₀=w.

Таким образом, по определениям 10.3а и 10.2 =. Отсюда и из следствия 10.1 следует, что смысл, какой символимеет по определению 10.5, согласуется с его прежним смыслом.

Теорема 10.3. Для любого кардинального числа mсуществует такое порядковое число ,что

m=.

Иначе эту теорему можно сформулировать так:

Любое трансфинитное кардинальное число есть алеф.

Доказательство. Пусть – начальное число множества Z(m). Существование этого числа гарантируется следствием 10.2 и условием, что m. Обозначим черезпорядковое число множества всех начальных чисел <.

По определению 10.4 =. Отсюда и из определения 10.5m=.

Таким образом теорема верна.

Из определений 10.2, 10.3а, 10.4 и 10.5 легко следует

Следствие 10.3. =.

Теорема 10.4. .

Таким образом, кардинальное число можно определить как мощность множества всех порядковых чисел меньше.

Доказательство. Допустим, что множество упорядочено отношением «меньше». Из теоремы 8.2 следует поэтому формула:

Отсюда и из определения 10.1 мы получаем

Из этой формулы и следствия 10.3 следует теорема.

Теорема 10.5. <

Доказательство. Из определения 10.4 следует, что . Отсюда

(1)

Из формулы (1) и следствия 9.1 раздела I следует

.

Отсюда и из теоремы 10.4 следует в свою очередь

<.

Если бы <, то по определению 10.5 числоравнялось бы+1, что, очевидно, не может иметь места.

Таким образом, верно только

<.

Теорема 10.6. f

Доказательство опускаем.

Проблемой континуума называется вопрос, равны ли числа иf или же первое из них меньше второго, а гипотезой континуума называется предположение, что имеет место первая из этих возможностей. Очевидно, что данная гипотеза следует из допущения существования отношения R, вполне упорядочивающего множество K всех действительных чисел, и такого, что

K, R==

Заметим, что проблема континуума эквивалентна вопросу, существует ли кардинальное число m, удовлетворяющее неравенству

<m<f,

а тем самым вопросу, существует ли бесконечное и несчетное множество действительных чисел, неравночисленное множеству K.

Проблема континиума была сформулирована создателем теории множеств Кантором и до сих пор еще не решена. Известно лишь (К. Гёдель, 1940 г.), что гипотеза континуума не может быть источником противоречий в теории множеств.