§9. Принцип индукции.

В этом параграфе ты обобщим принцип индукции, который является законом арифметики натуральных чисел.

Принцип индукции формулируется или в качестве арифметической Теоремы, или в качестве правила доказательства теорем.

В первой формулировке этот принцип имеет вид:

(1) 0ZNZ

При формулировке принципа индукции в качестве правила используется символ W(n), который обозначает произвольную формулу (или более обще, произвольную теорему), записанную с помощью переменной, пробегающей множество всех натуральных чисел N. Правило индукции мы запишем так же, как мы записывали логические правила в части I:

I. W(0) [W(k)W(k+1)]

W(n)

Пользуясь правилом I, можно доказать теорему (1), и обратно: на основании (1) можно показать, что правило I производно относительно логических правил.

В доказательствах математических теорем часто применяется правило, отличное от правила I, называемое, однако, также правилом индукции. Схема этого правила имеет вид:

II. [[m<kW(k+1)] W(m)]

W(n)

Арифметическая теорема – аналог правила II в том смысле, в каком теорема (1) есть аналог правила I, – имеет вид:

(2) (kZmZ) NZ.

В арифметике натуральных чисел правила I и II эквивалентны. Но только правило II можно распространить на арифметику порядковых чисел вследствие того, что не всякое порядковое число можно получить из нуля прибавлением единицы, в то время как любое натуральное число, очевидно, можно получить таким способом.

К порядковым числам, которые нельзя получить из нуля прибавлением единицы, относятся, например, числа

w, w+1, w+w, ww.

Схема обобщенного правила индукции имеет вид:

III. [W(β) W(α)]

W()

где пробегают множество всех порядковых чисел.

Для того, чтобы установить, что формула W() верна для любого порядкового числа , достаточно показать, что данная формула верна для произвольного числа α, если только она верна для любого β<α.

Теорема 9.1. Правило индукции, схема которого есть схема III, производно относительно логических правил.

Доказательство. Пусть W() – произвольная формула, содержащая переменную , которая пробегает множество всех порядковых чисел.

Пусть

(1) [W(β) W(α)]

и далее пусть – вопреки тому, что требуется доказать, - формула W() не выполняется для некоторого порядкового числа , а потому истинно предложение

(2) ~ W()

Обозначим через Ф множество всех порядковых чисел, для которых не выполняется формула W().

Из (2) следует, что данное множество непусто.

Значит, то теореме 8.3 в нём существует наименьшее число ₀.

Таким образом, имеют место формулы:

(3) ~ W();

(4) W(β).

Из формул (1) и (4) следует W(). Однако это заключение противоречит формуле (3). Таким образом, косвенное доказательство теоремы закончено.

Доказательство, которое мы провели, аналогично доказательству правила II на основании так называемого принципа наименьшего числа, который имеет следующую словесную формулировку:

в произвольном непустом множестве натуральных чисел существует наименьший элемент.

Обобщением этого принципа является теорема 8.3.

Подобно тому как в данном параграфе были обобщены некоторые теоремы арифметики, можно обобщить метод определения, который называется методом определения по индукции и часто применятся в арифметике и других разделах математики.

Здесь мы ограничимся нестрогим описанием определения этого метода.

Некоторое свойство, которым обладает каждый предмет данного вполне упорядоченного множества, определяется так:

Сначала это свойство определяется для первого элемента рассматриваемого множества, а затем в предположении, что свойство определено уже для всех элементов, предшествующих некоторому произвольному элементу a данного множества, свойство определяется для элемента a.

Примером индуктивного определения является определение возведения в степень порядковых чисел:

Определение 9.1. a. =1.

b. =.

c. В случае, когда ПрЧ, а значит, в случае, когда нельзя представить в виде+1, тоопределяется как наименьшее порядковое число, которое больше любого числа , где - порядковое число меньше.

Можно обобщить также понятие бесконечной последовательности.

Определение 9.2. Трансфинитная последовательность типа есть функция, левая область которой – множество всех порядковых чисел меньше , где w.

В случае = w мы получаем обычную бесконечную последовательность.

Индексы членов последовательности типа α – это порядковые числа меньше числа α. Последовательность типа α обозначается

α₀, α₁, α₂, …, α_ξ, …, где ξ < α или же кратко

{α_ξ}_{ξ < α}

Опуская в определении 9.2 условие α ≥ ω, получаем наиболее общее понятие последовательности, также содержащее в качестве частного случая понятие бесконечной последовательности.

Последовательности часто определяются интуитивно.