§8. Неравенства. Предельные числа.

Рассуждения этого параграфа аналогичны во многих отношениях рассуждениям §9 предыдущего раздела (раздел общей теории множеств).

Определение 8.1. A⁺ < B⁺ A⁺B(b).

Таким образом, для того, чтобы порядковое число множества A⁺ было меньше порядкового числа множества B⁺, необходимо и достаточно, чтобы множество A⁺ было подобно некоторому начальному отрезку множества B⁺.

Заметим, что из определения 8.1 и леммы 7.8 следует:

если =,=и<, то<.

Из определения 8.1 и теоремы 2.1а следует:

Следствие 8.1. (a) < ⁺.

Для упрощения записи дальнейших доказательств мы введем следующие обозначения:

α =

β =

γ =

Таким образом, буквы α, β, γ в дальнейшем будут обозначать порядковые числа.

Из определения 8.1 и леммы 7.3 следует:

Лемма 8.1. α < β αβ.

Лемма 8.2. αβ α<β β<α. Эта лемма следует из теоремы 7.2 и определения 8.1.

Лемма 8.3. α < β β < γ α < γ.

Доказательство. Из определения 8.1 и условий леммы следует, что для некоторого элемента b множества B⁺ и некоторого элемента c множества C⁺ имеют место соотношения:

(1) A⁺B(b);

(2) B⁺C(c).

Из леммы 7.1 и (2) следует существование такого элемента множества C⁺, что B(b)С(с₁). Отсюда и из (1) следует

A⁺C(c₁).

Таким образом, по определению 8.1 α < γ.

Лемма 8.4. α < β~(β < α).

Доказательство. Пусть – вопреки тому, что требуется доказать, – β < α. Отсюда и из леммы 8.3 следует, что α < α. Однако данное заключение противоречит лемме 8.1.

Из лемм 8.2, 8.3, 8.4 следует

Теорема 8.1. Отношение «меньше» упорядочивает множество порядковых чисел.

Теорема 8.2. Если множество (β < α) упорядочено отношением «меньше», то

α= (β < α).

Доказательство. Пусть α = A⁺. Для доказательства теоремы достаточно показать, что

(β < α).

Отношение, устанавливающее подобие данных множеств, есть отношение , определяемое эквивалентностью

αββ =A(a).

Из теоремы 8.2 и следствия 6.1 вытекает:

Следствие 8.1. Множество (β < α) есть упорядоченное множество.

Теорема 8.3. Произвольное непустое множество порядковых чисел, упорядоченное отношением «меньше», имеет первый элемент.

Доказательство. Пусть – вопреки тому, что требуется доказать, - множество не имеет первого элемента, и пусть α – произвольный элемент данного множества. Отсюда легко следует, что множество (ββ<α) непусто.

Допустим, что данное множеств упорядочено отношением «меньше». Поэтому оно есть непустое подмножество множества (β<α) и по определению 6.1 и следствию 8.1 имеет первый элемент. Легко видеть, что данный элемент есть одновременно и первый элемент множества .

Таким образом, допущение, что данное множество не имеет первого элемента, приводит к противоречию.

Теорема 8.4. Произвольное множество порядковых чисел, упорядоченное отношением «меньше», есть вполне упорядоченное множество.

Доказательство. Непосредственно следует из определения 6.1 и теоремы 8.3.

Согласимся обозначать множество всех порядковых чисел, упорядоченное отношением «меньше», символом ПЧ⁺, а начальный отрезок данного множества, определяемый элементом α – символом ПЧ(α).

Таким образом, теорему 8.2 мы можем записать:

α ПЧ⁺ ПЧ(α) = α.

Определение 8.2. α ПрЧ α ПЧα0αβ+1.

Выражение «α ПрЧ» читается: α есть предельное число.

Например, предельные числа – это числа ,+,, но ни одно натуральное число, а также ни одно число вида+n, где nN не есть предельное число.

Теорема 8.5. α0αПрЧαN α=β+n.

Доказательство. Пусть

(1) α0αПрЧαN

а также вопреки тому, что требуется доказать, -

(2) α= β+n.

Обозначим через α₀ наименьшее порядковое число, удовлетворяющее условиям (1) и (2).

Существование такого числа гарантируется теоремой 8.3 и принятыми допущениями. Поэтому существует такое порядковое число β₀, что

(3) α₀=β₀+1.

Если бы β₀ПрЧ, то число α₀ не удовлетворяло бы – вопреки допущенному – условию (2).

Поэтому имеет место соотношение

(4) β₀ПрЧ

Из (1) и (3) легко следует, что

(5) β₀0β₀N.

Из формулы (3) и определения 8.1 следует, что β₀<α₀. Отсюда, из допущения, что α₀ – наименьшее порядковое число, удовлетворяющее одновременно условиям (1) и (2), а также из формул (4) и (5) следует существование такого предельного числа β₁ и такого натурального числа n₁, что

β₀= β₁+ n₁.

Из этой формулы, формулы (3) и теоремы 3.1а следует:

α₀= β₁+ (n₁+1).

Полученная формула противоречит допущению, что α₀ удовлетворяет условию (2).

Следовательно, исходная формулировка теоремы верна.