Пусть Ао, Во, Со – упорядоченные множества, удовлетворяющие условиям:

(1) ,,

Существование таких множеств гарантирует теорема 2.2с. На основании леммы 2.1 мы можем допустить, что

(2) А·В=А·С=В·С=0

Введем обозначения:

(3) D^о=А^о+В^о, Е^о=В^о+С^о;

Х^о=(А^о+В^о)+С^о, Y^о=А^о+(В^о+С^о)

Из определения 3.1, (2) и (3) следуют равенства:

Х = (А+В)+С, Y=А+(В+С)

Отсюда:

(4) Х=Y

Из определения 3.1, (2) и (3) следует ниже равенство:

;

.

Отсюда:

(5)

Из определения 2.4, а также из (4) и (5) следует, что отношение тождества, ограниченное множеством Х, устанавливает подобие множеств Х^оиY^о. Отсюда, из определения 2.5 и аксиомы 2.1 следует

(6)

Cдругой стороны, из определения 3.3, (2) и (3) следует равенство:

,

Из этих равенств, а также из формул (6) и (1) следует формула а). Приведем еще следующую теорему:

Теорема 3.2.а)

b)

Таким образом, умножение порядковых типов дистрибутивно относительно сложения. Некоммуникативность умножения порядковых типов приводит к тому, что фигурируют два закона дистрибутивности.

Доказательство теоремы 3.2 опускаем.

§ 4. Сечения. Плотные и непрерывные множества.

Понятием сечения множеств всех рациональных чисел пользовался Дедекинд, строя арифметику действительных чисел.

Определяемое ниже понятие сечения является обобщением понятия, введенного Дедекиндом.

Определение 4.1. есть сечение упорядоченного множества;

Таким образом, сечения– это упорядоченные пары упорядоченных множеств с непустыми и непересекающимися запасами. Множество А^о– нижний класс сечения, В^о– высший класс.

Из определений 4.1 и 3.1 легко следует, что

Поэтому сечение определяетразбиение всех элементов данногоупорядоченного множества на два таких класса, что каждый элемент первого класса предшествует каждому элементу второго класса.

Определение 4.2.а) х есть первый элемент упорядоченного множества

b) х есть последний элемент упорядоченного множества

Определение 4.3. а) Сечение есть скачок тогда, и только тогда, когда существует последний элемент множества А^о и первый элемент множества В^о.

b) Сечение есть предел тогда и только тогда, когда не существует последнего элемента множества А^о и не существует первого элемента множества В^о.

Легко видеть, что любое сечение множества – скачок. Можно показать ниже, что сечениемножества всех положительных рациональных чисел, упорядоченного отношением «меньше», которое определяется эквивалентностями

,

есть пробел.

х

2

х²<2 х²>2

А В

Существуют, очевидно, сечения, которые не являются ним скачками, ни пробелами. К таким сечениям относится, например сечение множества,<, в котором множеству А^о принадлежат все неположительные, а множеству В^о – все положительные числа. Последний элемент множества А^о есть число 0, но множество В^о не имеет первого элемента.

Определение 4.4. а) Упорядоченное множество плотно тогда, и только тогда, когда ни одно его сечение не есть скачок.

b) Упорядоченное множество непрерывно тогда, и только тогда, когда ни одно его сечение не есть ни скачок, ни пробел.

Множество N,< не является, очевидно, ни плотным, ни непрерывным. Множество всех рациональных чисел, упорядоченное отношением «меньше», плотно, но не непрерывно, потому что, как следует из приведенного выше примера, существуют его сечения, являющиеся пробелами.

Однако, множество ,<непрерывно.(- действительные числа:,).

Введем понятие включения для упорядоченных множеств, которым мы в дальнейшем будем пользоваться:

Определение 4.5.

Таким образом, множество А^овключается (содержится) в упорядоченное(м) множество(е) В^отогда, и только тогда, когда запас первого из этих множеств включается (содержится) в смысле установленном в алгебре множеств – в запасе второго и когда элементы множества А^оупорядочены в нем так же, как и в множестве В^о. Тем самым символ «» имеет два смысла. Но это не грозит путаницей, потому что обозначения аргументов этого символа будет всегда указываться в каком смысле он употребляется. Заметим, что если А^оВ^о,то множество А^оназываетсячастью,или подмножествоммножества В^о.

Из определений 4.5 и 4.1 непосредственно следует:

Следствие 4.1.а)

b)есть сечение множества

Теорема 4.1..

Таким образом, отношение включения упорядоченных множеств, как и отношение включения неупорядоченных множеств, транзитивно.

Доказательство.

(1)

(2)

(3)

(1.1)

(1.2)

(1.3)

(1.4)

(1.5)

Теорема 4.2. а) Если А^оВ^о и существует первый элемент множества А^о, то существует и первый элемент множества В^о;

b) Если А^оВ^о и существует последний элемент множества А^о, то существует и последний элемент множества В^о;

с) Если А^оВ^о и множество А^о плотно, то плотно и множество В^о;

d) Если А^оВ^о и множества А^о непрерывно, то непрерывно и множество В^о.

Доказательство. Эта теорема – непосредственное следствие основной теоремы об изоморфизме, сформированный в §1.

Однако это доказательство теории является трудным. Потому мы проводим доказательство теорем 4.2а, b, с, d, не опирающиеся на основную теорему об изоморфизме; эти доказательства не представляют трудностей.

Докажем сначала часть а) теоремы. Допустим, что взаимооднозначное отношение R устанавливает подобие множеств А^о и В^о, а также, что а₁ – первый элемент множества А^о. Покажем, что b₁=R(а₁) – первый элемент множества В^о.

В самом деле, если бы существовал такой элемент b₂ множества В^о, что , то существовал бы также и элемент а₂ множества А^о, удостоверяющий условию b₂=R(а₂); причем по определению 2.4 имела бы место эквивалентность

Таким образом, элемент а₁ не был бы – вопреки условию – первым элементом множества А^о.

Доказательство части b) теоремы аналогично. Докажем теперь часть c) теоремы.

Допустим вновь, что взаимооднозначное отношение R устанавливает подобие множеств А^о и В^о, а также, что множество А^о плотно.

Допустим также – вопреки тому, что мы хотим доказать, - что некоторое сечение множества В^о – скачок. Обозначим через Z^о и U^о подмножества множества А^о, удовлетворяющие условиям

,

Легко выдать, что ,и что упорядоченная пара- сечение множества А^о. Поэтому из допущения, что сечение - скачок, из теоремы 4.2а,b следует, что в в множества Z^о имеется последний элемент, а в множества U^о – первый элемент. Поэтому сечение - скачок. Однако это заключение противоречит допущению, что множество А^о плотно.

Доказательство части  теории аналогично.

Теорема 4.3. Упорядоченное множество А⁰­_­ плотно

________________________

* – выражение - конъюнкция выраженийи

Доказательство.

Допустим вначале, что множество А^о плотно, и пусть х и у – его произвольные элементы, удовлетворяющие условию

(1)

Пусть подмножества Х^о и Y^о множества А^о удовлетворяют условиям

(2) ;

(3) ;

Если бы не существовало элемента Z, удовлетворяющего условию

(4) ,

то как легко видеть – упорядоченная пара была бы сечение множества, и притомскачком. Это заключение, однако, противоречит допущению, что множество А^о плотно.

Значит, из этого допущения следует, что для любых двух элементов х, у множества А^о, удовлетворяющих условию (1), существует элемент, удовлетворяющий условию (4).

Допустим теперь, что множество А^о не плотно. Поэтому существует сечение этого множества, являющиеся скачком. Легко видеть, что тогда существуют элементы х и у множества А^о, удовлетворяющие условиям (1), (2) и (3).

Если бы некоторый элемент z множества А^о удовлетворял бы условию (4), то этот элемент не принадлежал бы ни множеству Х^о, ни множеству Y^о и упорядоченная пара не была бы – вопреки допущению – сечением множества А^о.

Тем самым доказательство теоремы закончено.