- •Конспект лекций
- •«Теория множеств и математическая логика»
- •(Часть II. Математическая теория логического вывода)
- •Содержание.
- •Условные обозначения.
- •§1. Равночисленность множеств (равномощность). Кардинальные числа.
- •§2. Арифметика кардинальных чисел.
- •§3. Неравенства.
- •§4. Степенное множество.
- •§5. Множества бесконечные в смысле Дедекинда.
- •§6. Кардинальные числа и f.
- •§ 7. Канторовское доказательство существования трансцендентных чисел.
- •§ 8. Аксиома выбора.
- •Раздел II. Упорядоченные множества.
- •§ 1. Изоморфизм (см. Н.И.Кондаков, «Введение в логику», стр. 111)
- •Из этого определения непосредственно следует
- •§ 2. Подобные множества. Порядковые типы.
- •Следствие 2.3.
- •§ 3. Арифметика порядковых типов.
- •Отмеченные на рисунке точки поэтому упорядочены следующим образом:
- •Пусть Ао, Во, Со – упорядоченные множества, удовлетворяющие условиям:
- •§ 4. Сечения. Плотные и непрерывные множества.
- •§ 5. Конечные упорядоченные множества. Порядковые типы ω, η, λ. Обратные типы.
- •§6. Вполне упорядоченные множества. Порядковые числа.
- •§7. Начальные отрезки вполне упорядоченного множества
- •§8. Неравенства. Предельные числа.
- •§9. Принцип индукции.
- •§10.Теорема Цермело. Альфы. Гипотеза континуума.
- •Г. Генцен, «Исследование логических выводов» в сб. «Математическая теория логического вывода», пер. Под ред. А.В. Идельсона, г.Е. Минца, изд-во «Наука», м., 1987.
- •Обзор работы.
- •Раздел I. Обозначения.
- •§1. Знаки.
- •1.1. Знаки для постоянных.
- •1.2. Переменные.
- •§2. Выражения.
- •§3. Фигуры.
- •Раздел II. Исчисление натуральных выводов.
- •§1. Примеры натуральных выводов.
- •§2. Построение исчисления nj.
- •§3. Содержательный смысл nj-фигур заключения.
- •§4. Запись трех примеров из §1 в виде nj-выводов.
- •§5. Некоторые замечания об исчислении nj. Исчисление nk.
- •Раздел III. Исчисления способов заключений lj, lk и основная теория.
- •§1. Исчисления lj и lk (логическое истуиционистское и классическое исчисления).
- •§2. Некоторые замечания об исчислениях lj и lk. Основная теорема.
- •§3. Доказательство основной теоремы.
- •Раздел IV.
- •§1. Применение основной теоремы в логике высказываний.
- •§2. Усиление основной теоремы для классической логики предикатов.
- •§3. Применение усиленной основной теоремы (2.1) к новому доказательству непротиворечивости арифметики без полной индукции.
- •Раздел V. Эквивалентность новых исчислений nj, nk и lj, lk некоторым исчислениям, которые можно отыскать с формализмом Гильберта.
- •§1. Понятие эквивалентности.
- •§2. Описание логического исчисления Гильберта и Гливленко.
- •§3. Преобразование lhj–выводы в эквивалентный ему nj-вывод.
- •§4. Преобразование nj-вывода в эквивалентный ему lj-вывод.
- •§5. Преобразование lj-вывода в эквивалентный ему lhj-вывод.
Калядин Н.И. Теория множеств и математическая логика (часть II. Математическая теория логического вывода). Конспект лекций: Учебно-методическое пособие – Ижевск: Изд-во ИМИ, 1978г. – 193с.
Пособие является обработкой лекций, прочитанных автором в 1975 – 1985гг. студентам, аспирантам, инженерам - исследователям по специализации «инженер-математик» на кафедре «Прикладной математики» в Ижевском механическом институте.
Пособие предназначено для студентов, аспирантов, преподавателей, изучающих дискретную математику по специальностям 230101, 230401, 075500, а также всем заинтересованным в изучении и применении компьютерной математики на современном уровне.
Компьютерный набор и верстка выполнены студентами:
1. Пустовойт М. В. (с. 1 - 2, 102 - 134)
2. Русских В. В. (с. 3 - 4, 163 - 193)
3. Шишкин В. И. (с. 69 - 101)
4. Огальцев Д. С. (с. 5 - 36)
5. Вострецов А. А. (с. 135 - 162)
6. Валиев Т. Р. (с. 37 - 68)
Конспект лекций
«Теория множеств и математическая логика»
(Часть II. Математическая теория логического вывода)
Содержание.
|
Раздел I. Предпосылки к формализации доказательств.............................. |
|
|
Условные обозначения ....................................................................................... |
3 |
|
§1. Равночисленность множеств (равномощность). Кардинальные числа .... |
5 |
|
§2. Арифметика кардинальных чисел ............................................................... |
15 |
|
§3. Неравенства ................................................................................................... |
21 |
|
§4. Степенное множество ................................................................................. |
26 |
|
§5. Множества бесконечные в смысле Дедекинда ........................................ |
29 |
|
§6. Кардинальные числа 0 и f ........................................................................ |
35 |
|
§7. Канторовское доказательство существования трансцендентных чисел |
46 |
|
§8. Аксиома выбора .......................................................................................... |
47 |
|
Раздел II. Упорядоченные множества .............................................................. |
52 |
|
§1. Изоморфизм ................................................................................................... |
52 |
|
§2. Подобные множества. Порядковые типы ................................................... |
59 |
|
§3. Арифметика порядковых типов ................................................................... |
67 |
|
§4. Сечения. Плотные и непрерывные множества ........................................... |
71 |
|
§5. Конечные упорядоченные множества. Порядковые типы ω, η, λ. Обратные | |
|
типы ...................................................................................................................... |
77 |
|
§6. Вполне упорядоченные множества. Порядковые числа ........................... |
92 |
|
§7. Начальные отрезки вполне упорядоченного множества ........................... |
95 |
|
§8. Неравенства. Предельные числа .................................................................. |
103 |
|
§9. Принцип индукции ....................................................................................... |
107 |
|
§10.Теорема Цермело. Альфы. Гипотеза континуума ..................................... |
111 |
|
|
|
|
Часть II. Математическая теория логического вывода.................... |
116 |
|
Раздел I. Обозначения .......................................................................................... |
118 |
|
§1. Знаки ............................................................................................................... |
119 |
|
§2. Выражения ..................................................................................................... |
120 |
|
§3. Фигуры ........................................................................................................... |
123 |
|
Раздел II. Исчисление натуральных выводов ................................................. |
126 |
|
§1. Примеры натуральных выводов .................................................................. |
126 |
|
§2. Построение исчисления NJ .......................................................................... |
127 |
|
§3. Содержательный смысл NJ-фигур заключения ......................................... |
131 |
|
§4. Запись трех примеров из §1 в виде NJ-выводов ........................................ |
133 |
|
§5. Некоторые замечания об исчислении NJ. Исчисление NK ....................... |
134 |
|
Раздел III. Исчисления способов заключений LJ, LK и основная теория |
136 |
|
§1. Исчисления LJ и LK (логическое истуиционистское и классическое |
|
|
исчисления) .......................................................................................................... |
136 |
|
§2. Некоторые замечания об исчислениях LJ и LK. Основная теорема ........ |
141 |
|
§3. Доказательство основной теоремы .............................................................. |
144 |
|
Раздел IV ................................................................................................................. |
163 |
|
§1. Применение основной теоремы в логике высказываний .......................... |
163 |
|
§2. Усиление основной теоремы для классической логики предикатов ....... |
167 |
|
§3. Применение усиленной основной теоремы (2.1) к новому доказательству | |
|
непротиворечивости арифметики без полной индукции ................................ |
173 |
|
Раздел V. Эквивалентность новых исчислений NJ, NK и LJ, LK некоторым | |
|
исчислениям, которые можно отыскать с форманизмом Гильберта ........ |
179 |
|
§1. Понятие эквивалентности ............................................................................ |
179 |
|
§2. Описание логического исчисления Гильберта и Гипвитко ...................... |
180 |
|
§3. Преобразование LHJ–выводы в эквивалентный ему NJ-вывод ............... |
182 |
|
§4. Преобразование NJ-вывода в эквивалентный ему LJ-вывод .................... |
185 |
|
§5. Преобразование LJ-вывода в эквивалентный ему LHJ-вывод ................. |
189 |