книги / Прочность, устойчивость, колебания. Т. 3

ченной

поверхности

необходимо

в уравнении теории жестких пла­

стинок

[см. т.

1,

гл. 17, уравнение

(19)] принять

<7=0. Одновременно

при исследовании смежных состоя­

ний изгиба необходимо учесть про­

екции

повернутых внутренних уси­

лий, показанных на рис. 1, где изоб­

ражен

элемент

пластинки

йх йу

в изогнутом состоянии.

Нормальные усилия ох, Су счи­

тают положительными

при сжатии,

Рис.

1

касательные усилия т считают поло­

рис.

1.

Определяя

жительными, если их направления соответствуют

сумму проекций усилий в срединной поверхности

на ось г и вводя

эту величину в правую

часть

уравнения теории

жестких

пластинок

[см. т. 1, гл. 17, уравнение (19)], получим

Вместо уравнения (24) гл.

17 т.

1 получим следующее окончательное

соотношение (уравнение устойчивости) [1 ]:

В

д2т

+ 2х

д2и)

д~ьи

(2)

~ ^

+ <Ух-ш

дх ду

+ 0 у ' щ ?

= 0 -

Устойчивость пластинок в пределах упругости

93

94

Устойчивость пластинок

Коэффициент /\

имеет следующие значения:

■д-.

0,5

0,75

1,0

1,5

2,0

3,0

К

17,68

11,96

8,17

5,27

4,73

4,6

Для длинной пластинки

(а > Ь) критические

усилия

находят по

формулам:

7^777Т77777: --------------- -------------------

при шарнирном опирании

длинных

краев

а>

Щ

в)

4лО

Рк р —

5 - 1

Рис. 2. Обозначения способов закрепления

при

защемленных длин­

краев пластинок: а — защемленный край;

б — шарнирно опертый край;

в—свобод­

ных

краях

касательное напряжение находят по формуле

, пЮ

(9)

тКР= К ЬЧ

96

Устойчивость пластинок

4. Значения коэффициента К в формуле (9)

—

X

\

/С Л 8,98 + 5 .6^ -|-у .

■«а

ц .

где Ь — длина короткой стороны

У

^ __

А

1

Крн вал / но рис. 5

<1

!г

I

_____

^_

А5

\

Кривая 2 па рис. 5

■с»

||г

1;

к р а я м ,

п о д в е р г а е т с я о д н о в р е м е н н о м у с ж а т и ю

в д в у х

н а п р а в л е н и я х (рис. 6).

и

*»

Рис.

5

Рис. 6

Обозначим

Ох

(П )

Критические напряжения

Ох, кр

я 2/)

Оу, кр — 1Ку -ущ-

— фОх, кр,

(12;

= Адг

,

98

Устойчивость пластинок

ж

и

и

и

а == 1

А, = 1.6

А — 3,2

" II

1 5 6*

**

*т

А .

—1,0

10,57

-2,0

8,46 -1,0

7,45

0

9,42

0

7,0

0

6,75

И

М

И

М

1

1.0

8,15

2.0

5,31

1,7

5,4

2,0

6,67

2,83

4,46

2,5

4,66

*

3.0

4,72

3.6

2,95

3,0

4,14

3,6

3,02

3,9

2,09

3,7

3,29

4,0

0

4.2

0,06

4,017

2,19

Рис. И

т а я п о к р а я м ,

п о д в е р г а е т с я

с ж а т и ю ( р а с т я ­

ж е н и ю ) в д в у х

н а п р а в л е н и я х

и

с д в и г у (рис.

11).

Критические напряжения определяют исходя

из зависимости

[3]

Устойчивость пластинок в пределах упругости

99.

где

0.823Е / /I \*

(18)

С~~[— у2 \ Ь ) ;

ох и Оу отрицательны при

растяжении.

П р я м о у г о л ь н а я

п л а с т и н к а , у к о т о р о й в с е

имеет вид [3]

*кр = |Л (2'311/ 4-^

+

Т - ^

г ) х

х ( 2 , 3 1 1 / 4 - ^

+ 8

- ^ ) ,

(19)

цательны

при

растяжении.

П р я м о у г о л ь н а я

п л а с т и н к а , ш а р н и р ­

но о п е р т а я по к ра я м,

п о д в е р г а е т с я

д е й ­

с т в и ю к а с а т е л ь н ы х

у с и л и й

по всем

к р а я м

и н о р м а л ь н ы х у с и ­

л и й и з г и б а

(рис.

12).

Распределение

нормальных

усилий

по

краям

х — О,

х — а отвечает уравнению

Критические

напряжения

лЮ

лЮ

(21)

01, КР =

Ко ЬУг

Ь*Н

100

Устойчивость пластинок

Коэффициенты Ка и Кх связаны приближенным соотношением

( * )

' + ( & ) ■ - •

где

Ко. о> Кх%о — значения

коэффициентов Ко и Кх при раздельном

к г

а

от?1 = —г- даны в табл. 6 и на

Р 3

о

4«*

рис. 13.

0,8

> <

Анизотропные и подкрепленные

0,67} ' У /

пластинки

Рис.

13

+

«

При

= 1)2 =

^ з уравнение (23) переходит в уравнение

(2).

принять

( 7 ^ = т = 0

(направление координатных осей см. табл. 1).

Приняв

выражение

для прогиба

Ш=

.

. тлх .

плу

,0„.

/

51П ------- 81П

о

(24)

а

(т, п — числа полуволн по направлениям осей

у), из уравнения (23)

получим

ной пластинки (а > Ь):

Ы \Г Щ Р ъ

(

Оз \

(26)

V

+ 7 Ш

у