книги / Основы прикладной теории упругих колебаний

а2= 4,08 -8 ,6 4 . 10~ 6 • 104а1 + 4,0817,92- К Г 6 • 104с2 + + 4,08 •8,64 ■ ЮГ6 . 104а3+ 600 • 17,92 - 1СГ6;

а3= 4,08 •3,76 • 1(Г 6 - 104а1 + 4,08 •8,64 - 1(Г 6 . 104а2+ + 4.08 - 5 .53 - И Г 6 - 104я3 + 600 •8,64 • К Г 6.

у% т= ^ 2 6 2 2 = 600 •17,92 •IQ" 6 = 0,0107 см,

что объясняется близостью частоты возмущения к собственной частоте рг, действительно, пользуясь данными, полученными в примере 12, находим, что собственная частота незначительно отличается от частоты со:

Для построения эпюры динамических изгибающих моментов нужно рас­ смотреть нагружение скелета балки амплитудными значениями возмущающей силы и сил инерции mia,и2, развиваемых сосредоточенными массами (рис. 135,6). При этом следует учесть, что инерционные силы находятся в фазе, противоположной заданному возмущению (так как ® > p i) .

Подсчет дает

m1a1w?= — 2610 кг;

тга^%= — 5220 кг; msas(o* —— 2610 кг.

Эпюра моментов, соответствующая указанному нагружению, показана на рис. 135, в. Для сравнения на рис. 135, г -приведена эпюра изгибающих моментов, возникающих в условиях статиче­ ского нагружения той же балки силой 600 кГ (обе эпюры соот­ ветствуют нагружению, дополнительному к чисто статическому нагружению грузами mg).

Гасители колебаний

Динамические гасители колебаний. Вернемся к схеме на рис. 114 и рассмотрим решение (399) в случае, когда возмущаю­ щая сила действует только на первую массу, т. е. Р\ ф 0; Р2 = 0:

(ci + са —/nj®2) (с2 — т 2ю2) —с|

263

Из этих формул видно, что в частном случае, когда

амплитуды а,\и а2получают следующие значения:

С*>

т. е. первая масса остается неподвижной, хотя именно к ней при­ ложена возмущающая сила (антирезонанс первой массы).

Этот любопытный результат положен в основу устройста ди­ намического гасителя колебаний. Пусть, например, имеется систе­ ма (рис. 136, а), испытывающая действие возмущающей силы Psinoot. Чтобы «погасить» ко­ лебания этой системы, доста­ точно присоединить к ней дополнительную массу на уп-

%%ругой связи (рис. 136, б), под­ чинив параметры присоединяе­ мой системы условию (424). Тогда колебания основной

ние дополнительной массы к основной конструкции меняет чис­ ло степеней свободы системы и, соответственно, число собствен­ ных частот. Если система без динамического гасителя имела од­ ну степень свободы (рис. 136, а) и одну собственную частоту

Ро =

/- 2 т •

то после присоединения гасителя число степеней свободы стано­ вится равным двум, для определения частот служит уравнение (1176). Обозначим через ___

частоту гасителя при неподвижности основной массы. Тогда урав­ нение (1176) можно переписать в виде

гасителя равна частоте возмущения to. Так как согласно формуле

264

лы (424), собственная частота гасителя ро, подсчитанная при неподвижном его креплении, должна быть равна частоте со, т. е.

где с — коэффициент жесткости вала гасителя; / р — полярный момент инерции массы диска гасителя.

Очевидно, что настроенный на одну определенную частоту до­ полнительный упруго прикрепленный диск окажется гасителем колебаний только этой частоты, а при других частотах возмуще­ ния может оказаться неэффективным или даже стать причиной резонанса. Это особенно важно для валов двигателей внутренне­ го сгорания, поскольку с изменением числа оборотов пропорцио­ нально меняется и частота возмущения.

Поэтому в подобных случаях желательно обеспечить гаситель следящей настройкой, чтобы при изменении частоты возмущения соответственно менялась и собственная частота гасителя. Так как упругое крепление дополнительного диска не в состоянии обес­ печить следящую настройку, то для гашения колебаний вращаю­ щихся валов применяют маятниковые гасители.

Выше (см. стр. 33) было показано, что маятник, подвешен­ ный к вращающемуся диску, имеет собственную частоту, пропор­ циональную угловой скорости вращения:

(428)

где R — расстояние от центра диска до точки подвеса маятника; I— длина маятника.

С другой стороны, в двигателях внутреннего сгорания часто­ та всякой гармоники возмущения также пропорциональна угло­ вой скорости вращения со. Поэтому такой маятник может слу­ жить динамическим гасителем колебаний, вызываемых одной оп­ ределенной гармоникой при любой скорости вращения.

В первую очередь должна быть устранена наиболее опасная гармоника. Пусть, например, решено исключить колебания, вы­ зываемые гармоникой возмущения, имеющей частоту Зш. Тогда

из формулы (428) следует a j / ’ у-=3ю , т. е. R : I = 9. Для га­

шения колебаний, вызываемых какой-либо иной гармоникой, по­ требовалось бы иное отношение R : I.

Так как размер R ограничен, то величина I оказывается очень малой; это делает затруднительным конструктивное оформление маятника, показанного на рис. 20.

Выход из положения представляет, в частности, система двой­ ного подвеса маятника (см. рис. 21). В этой системе, согласно формуле (21), расчетная длина I может быть сделана сколь угод­

266

но малой; для этого нужно лишь соответственно уменьшить раз­ ность между диаметрами роликов и отверстий.

Хотя изложенная выше теория предполагает линейный ха­ рактер колебаний, но линейность системы не следует считать у с ловием успешного гашения колебаний; напротив, нелинейность,

го заполнения полости 2.

В поглотителе сухого трения (рис. 138, б) система пружин 3 прижимает к стенкам кольцевой полости 4 диски 2. Если сила прижатия слишком велика, то диски будут двигаться вместе с диском и из-за отсутствия проскальзывания энергия не будет рассеиваться; если лее прижатие будет очень слабым, то рассеи­ вание будет мало из-за незначительности силы трения дисков о стенки. Поэтому такая конструкция поглотителя требует специ­ ального выбора оптимальной силы прижатия дисков.

В схеме на рис. 138, в с диском связано демпфирующее коль­ цо 2, на которое напрессован бандаж 3; при колебаниях диска происходит интенсивное рассеяние энергии в кольцевой проклад­ ке 2, которая выполняется из материала с большим внутренним трением.

В ряде случаев вредные колебания могут быть уменьшены или полностью устранены путем устройства поглотителей убарно-

267

го действия (например, конструкции Д. И. Рыжкова); в этих по­ глотителях энергия рассеивается вследствие соударений грузов, имеющих определенную свободу перемещений в корпусе, со спе­ циальными ограничителями.

22. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

Указанные на стр. 248 три способа решения задачи о вынуж­ денных колебаниях систем с несколькими степенями свободы пригодны и для анализа колебаний систем с распределенной массой. Выбор способа подсказывается характером возмущаю­ щих сил; ври гармоническом возмущении удобнее первый способ, а при произвольно заданном возмущении — третий.

Продольные колебания стержней

Гармоническое возмущение; непосредственное решение. Рас­ смотрим случай, когда стержень испытывает действие одной со­ средоточенной продольной силы, изменяющейся по гармониче­ скому закону

Стационарные вынужденные колебания происходят с часто­ той возмущения и, следовательно, описываются законом

где U(х) — подлежащая определению функция абсциссы (фор­ ма вынужденных колебаний) . Для элемента стержня (см. рис. 61) получим уравнение (157); подставив в него выражение (430), придем к обыкновенному дифференциальному уравнению для функции U(х):

СС

Постоянные С и D должны быть определены из граничных ус­ ловий, которые формулируются следующим образом.

З а к р е п л е н н ы й к о н е ц с т е р ж н я . В этом случае и = 0 при любом t\это требует, чтобы в этом сечении U = 0.

268

ной частоте. Резонанс с высшими частотами соответствует частотам возмуще­ ния

Если стержень имеет переменное сечение, меняющееся по сту­ пенчатому закону, решение (432) должно быть записано отдель­ но для каждого из участков:

2 (п— 1) условий сопряжения. Последние выражают равенство перемещений и продольных сил на границе двух участков:

£/*_! (/,_!) = С/,(0);

Аналогично следует поступать и в тех случаях, когда возму­ щающая сила приложена в ряде промежуточных сечений.

270