книги / Математические методы принятия решений

при условии, что

Y l Xj i - T l Xi j = d V ’

Описанная модель может быть использована для определения необходимой пропускной способности каналов, при которой задан­ ные требования выполняются с минимальными затратами. В этом

использования этой модели является задача минимизации стоимо­ сти передачи информации при фиксированных пропускных способ­

§ 5.7. Эвристический алгоритм решения задачи синтеза сети связи

Как уже отмечалось, сетевые задачи большой размерности ре­ шают, в основном, приближенными эвристическими методами. Рас­ смотрим один из эвристических методов на примере задачи синтеза некоторой сети связи.

Одна из основных задач при разработке схемы сети связи — это определение наивыгоднейшей конфигурации и распределения кана­ лов на сети. При этом могут решаться и другие задачи:

1)выбор типа линий связи (кабельные, радиорелейные, воздуш­ ные и т. п.) с соответствующими системами передачи;

2)последующее распределение стандартных каналов на сети. Структура сети —ее топология —это совокупность пунктов

(узлов, станций и т. п.) и соединяющих их линий связи или каналов в их взаимном расположении. По структуре можно понять потенци­ альные возможности обеспечения связью отдельных пунктов этой сети.

Экономически оптимальный выбор сетки линий, их емкостей и плана распределения каналов при заданном наборе пунктов се­ ти называют задачей оптимального синтеза структуры сети. Ее

решение существенно зависит от того, насколько тщательно ото­ браны допустимые направления.

В качестве основных критериев оптимальности построения сети обычно рассматривают объем капитальных затрат, расход кабель­ ной продукции и т. д. Минимум расхода кабельной продукции обес­ печивается при минимуме общей протяженности трасс кабельных и радиорелейных линий связи. Иногда в качестве критерия опти­ мальности может рассматриваться и объем строительно-монтажных работ.

Реальная сеть должна отвечать одновременно в той или иной мере всем критериям оптимальности, т. е. задача определения наи­ выгоднейшей конфигурации и распределения каналов сети является многокритериальной. Однако в связи со сложностью решения мно­ гокритериальных задач обычно в качестве оптимальной принимают сеть, отвечающую одному, какому-либо заранее заданному, крите­ рию оптимальности. Очевидно, что сеть будет зависеть от выбран­ ного критерия оптимальности и в общем случае будет различной в зависимости от используемого критерия оптимальности.

Рассмотрим задачу синтеза сети при следующих требованиях.

1.Каждый пункт сети должен иметь два независимых пути (прямой и обходной) к центральному узлу (ЦУ). Прямой путь должен обеспечивать передачу по 70-75% каналов от их расчет­ ного числа, а обходной путь —по 25-30% каналов. Это соотно­ шение может измениться, а поэтому должно задаваться на входе задачи.

2.Должен существовать путь, соединяющий каждый пункт се­ ти с дополнительным узлом (ДУ) связи, не совпадающим с ЦУ. На некоторых участках этот путь может совпадать с прямым и об­ ходным путями.

Всетях связи налагают следующие дополнительные требо­

вания.

3.На линиях связи «пункт—ЦУ» число транзитов по высокой частоте (ВЧ) должно быть не более двух в случае применения ана­ логовых систем передачи.

4.Суммарная емкость (число каналов) на любом участке зоно­ вой сети должна быть кратна 12 для аналоговых систем передачи

и30 для цифровых систем.

5. Иногда требуется предусмотреть возможность того, чтобы че­ рез некоторые пункты проходило минимальное число путей. Эти пункты отмечают в исходных данных.

Задача синтеза структуры сети может быть наиболее адекватно представлена (в силу нелинейного ступенчатого изменения целе­ вых функций, в частности функции стоимости линии связи) как задача целочисленного нелинейного программирования в различ­ ных формах.

Рассмотрим задачу выбора оптимального варианта построения сети с двумя независимыми путями к единственному узлу (цен­ тральному узлу), к которому передается информация со всех других узлов сети. В качестве целевой функции рассматривается функция стоимости сети.

Задан неориентированный граф (сеть) G с N + 1 вершинами. Все вершины, кроме (N + 1)-й, являются источниками информации. Вершина N + 1 является стоком (центральным узлом). Путем ytk от вершины к к стоку N + 1 будем называть последовательность

даны потоки информации Pi и Рг, которые требуется передать от вершины к к стоку соответственно по первому и второму путям. Дугам графа G приписаны веса, равные их длинам. Для общно­ сти рассмотрения заданный граф G дополним до полного дугами с достаточно большим весом.

Цель задачи — выбор топологии сети и маршрутов передачи ин­ формации на ней, минимизирующих общую стоимость сети. Об­ щая стоимость сети определяется как сумма стоимостей входящих

Конкретный вид функции стоимости не имеет принципиально­ го значения и может быть произвольным. В дальнейшем предпо­ лагается, что функция стоимости возрастает с ростом расстояния и не убывает с ростом суммарного потока. Известно, что оптималь­ ная сеть при различных минимизируемых величинах может быть

получена по одному и тому же алгоритму при соответствующем выборе величины Су.

Введем следующие обозначения: x\j — булева переменная, рав­ ная 1, если вершина j непосредственно следует за вершиной г на первом пути [if от вершины к к стоку, и равная 0 в против­ ном случае, г = 1 ,2,..., N, j = 1,2,..., N + 1, г ф j, к = 1 ,2,..., N; x\j —булева переменная, равная 1, если вершина j непосредствен­ но следует за вершиной г на втором пути (if от вершины к к стоку, и равная 0 в противном случае, г = 1,2,..., N, j = 1,2,..., N + 1,

Тогда рассматриваемую задачу можно сформулировать следую­ щим образом. Необходимо найти значения булевых переменных х £1 , минимизирующих общую стоимость сети:

i — 1 j=i+\

где Qij вычисляют по формуле (5.15), при следующих ограниче-

г=12=i 2фТ

Ограничение (5.17) означает, что /г —начало как первого, так и второго путей к стоку. Ограничение (5.18) предопределяет, что все пути должны оканчиваться в вершине N + 1. Ограничение (5.19) указывает на условия сохранения потока (равенство) и на запрет существования петель в путях от вершины к стоку (неравенство). Заметим, что если функция стоимости монотонно возрастает с ро­ стом суммарного потока, то ограничение (5.19) в виде неравенства можно исключить. Ограничения (5.20) реализуют условие непересечения в вершинах первого и второго путей от каждой вершины к стоку.

Данная математическая постановка предполагает наличие 27V3 булевых переменных и 5N 2 + 6N ограничений, что в практически интересных случаях (N > 20) не позволяет рассчитывать на точное решение.

Исключение составляет случай, когда функция стоимости ли­ нейна относительно суммарного потока. Поскольку целевая функ­ ция (5.16) становится линейной по переменным х 1£ , это позволяет осуществить декомпозицию исходной задачи на N независимых за­ дач булевого программирования с целевой функцией

Последняя задача (при фиксированном к) может быть сформу­ лирована достаточно просто: найти два пути от вершины к к вер­ шине N + 1, не имеющих общих вершин, кроме к и N + 1, и дви­ жение по которым обеспечивает минимум суммарной стоимости путей. При этом стоимость пути равна стоимости входящих в него дуг, а стоимость дуги (г, j ) равна для 1-го пути, 1 = 1 ,2 .

Математическую постановку задачи с двумя независимыми пу­ тями к центральному узлу и одним путем к дополнительному узлу можно записать в следующем виде.

Пусть вершина с номером N является дополнительным узлом. Через [ij обозначим путь от вершины к к ДУ, к = 1 ,2,..., N — 1.

II — построение вторых путей от всех вершин к стоку; III — улучшение сети, полученной на первых двух этапах. I. Построение первых путей от всех вершин к стоку.

Ш аг 1. Строят начальную звездообразную сеть, в шторой каж­ дая вершина непосредственно, без промежуточных узлов, соедине­ на со стоком, и считают стоимость такой сети согласно заданной функции стоимости. Если для какой-то вершины связь со стоком отсутствует в исходном графе, то стоимость такой несуществую­ щей дуги полагают равной достаточно большому числу.

Ш аг 2. Для каждой вершины к, путь от которой является ра­ диальным путем:

t f = ( k , N + I),

вычисляют экономию стоимости Т£, которая будет получена при замене пути р f на путь

=(к, г, р?),

иравна разности их стоимостей. При этом промежуточная верши­ на г принимает значения всех вершин, инцидентных вершине к (т. е. связанных с вершиной к разрешенными дугами), и вершин пути р*. Пути от вершины до стока не содержат несуществующих дуг. Затем

увеличиться стоимость дуг пути р р где pj = (г, гь гг, N + 1), р* =

= (к,г,ц, i2, N + 1).

Шаг 3. Выбирают максимальное значение Tfc* из всех эконо­ мий стоимости Т/с, к = 1,2,..., N . Если Tfc* ^ 0, то этап I считают завершенным.

Шаг 4. Для выбранного Tfc* осу­

=( j u k , N + l).

Шаг 5. Экономию стоимости Т* полагают равной нулю для

всех к = 1,2, ... , N . Переход к шагу 2.

Шаги 2-5 выполняют до тех пор, пока может быть достигнута экономия при замене какого-либо радиального пути на путь, прохо­ дящий через промежуточную вершину. Пересчет экономии стоимо­ сти T*, осуществляется после каждой замены радиального пути.

Поскольку каждый раз происходит уменьшение на единицу чис­ ла радиальных путей, то этап I конечен.

И. Построение вторых путей от всех вершин к стоку. Идея ал­ горитма на данном этапе та же — замена радиального второго пути на путь, проходящий через промежуточную вершину.

Ш аг 1. Этот шаг аналогичен шагу 1 этапа I. Отличие состо­ ит в следующем: если первый путь от некоторой вершины после завершения этапа I оставался радиальным, то радиальный второй путь прокладывают по несуществующей второй дуге к стоку и его стоимость полагают вдвое большей, чем стоимость просто несуще­ ствующей дуги. Смысл этого состоит в том, что именно такие пути выгоднее заменять, а значит, они будут заменены в первую очередь. Кроме того, при расчете стоимости сети учитывают первые пути от всех вершин к стоку.

Ш аг 2. Этот шаг аналогичен шагу 2 этапа I. Только теперь существует две возможности замены радиального второго пути от вершины к на путь, проходящий через промежуточную верши­ ну г, а именно:

Р2Л (г) = (к, г, pï), р£’2(г) = г>Нг)>

т. е. новый путь идет от вершины к к вершине г, а затем либо по первому, либо по второму пути от вершины г к стоку (конеч­ но, при этом второй путь р2 должен быть «реальным»).

Обозначим через V(k) множество вершин, вторые пути которых проходят по дуге (к, N + 1), при этом keV (k) . Тогда путь и мож-

любого j е V(k)

n u * ’1e ( k , N + 1) или [i{ n (ij’2 e (k, N + 1)

соответственно. Сказанное выше схематично представлено на рис. 5.7.

с маршрутами удовлетворяет всем условиям задачи, т. е. является допустимой. Кроме того, она обладает следующими особенностями.

1. Каждая вершина к = 1,2, . . . , N имеет не менее двух инци­ дентных вершин сети, поскольку осуществляет два непересекающихся по вершинам, а следовательно, и по дугам пути. Инцидент­ ными вершинами называют вершины, связанные разрешенными ду­ гами.

2. По каждой дуге (г, j) сети согласно выбранным маршрутам обоих путей происходит передача информации либо только в одну сторону, например от вершины г к вершине j, либо в обе стороны. В первом случае дугу (г, j) ориентируем от вершины г к вершине j, а во втором случае дуга (г, j) будет ориентирована в обе стороны. После ориентации сети описанным образом получим, что каждая вершина сети имеет ровно две выходящих из нее дуги (кроме, ко­ нечно, стока). Входящих дуг может быть произвольное число. Это следует из алгоритма замены радиального пути на путь, проходя­ щий через промежуточную вершину.

3. Если по дуге (г, j ) от вершины i к вершине j идет поток ин­ формации Pij, то в дальнейшем он полностью проходит по первому