книги / Математические методы принятия решений

Нарушение условия оптимальности зависит от конкретных значений последнего слагаемого в выражении (2.17): если Дс,- — —(До,, a,j) ^ 0 для всех j = 1,2, ... , п, то оптимальное решение не изменяется; при наличии хотя бы одного неравенства A cj —

—(До,, dj) > 0 возможно изменение оптимального решения. Система неравенств

(cj (сь, ûj)) (Дс,- (До>> ûj)) ^ О,

(2.18)

3 = 1, 2 ,

определяет то множество значений элементов Acj, j = 1,2, .. . , n , в которое входят и элементы вектора Ась, не нарушающие условия оптимума в данной точке.

Пример 1. Рассмотрим задачу ЛП о выпуске продукции пред­ приятием (см. §2.4). Математическая модель этой задачи имеет

+а?2 ^ 150,

Х\ + Х 2 ^ ПО,

lO x i+ 20x2 ^ 1400, Xj, Х2 ^ 0.

Оптимальное решение задачи приведено в следующей симп­ лекс-таблице (табл. 2.29).

Элементы строки z для переменных Xj, j = 1,2, ... ,7 , взятых с противоположным знаком, и есть значения с,- —Zj = Cj —(сь, dj), по которым судят об оптимальности решения. Различие в знаках обусловлено правилами заполнения симплекс-таблиц.

По условию неопределенность Acj содержится только в ко­ эффициентах исходной целевой функции, поэтому Acj # 0 для j = 1,2, Acj = 0 для j = 3 , ... , 7, Д сь = {0; 0; 0; Д с1; Д с2}.

Рассчитаем значения Д j = A Cj —(Дс&, а; ) для различных j :

Таким образом, на выбор оптимальной точки в данном случае оказывают влияние только коэффициенты при j = 3 и j = 5. Точка оптимума не изменится для тех значений Д с1 и Дс2, при которых согласно (2.18) имеем

—6 —- Д с1+ - Дс2 ^ 0.

Множество D значений Д сь Дс2 представляет собой часть плоскости, заключенную между двумя лучами, выходящими из точ­ ки (—10, —20) в направлениях векторов vi = {1; 1} и v2 = (1; 3,5}.

Проблему устойчивости точки оптимума в задаче линейного программирования при неопределенности только в коэффициентах целевой функции можно рассмотреть геометрически, на плоскости. Плоскость, вектор нормали которой определен коэффициентами це­ левой функции, в точке оптимума можно повернуть таким образом, чтобы она коснулась граней выпуклого многогранника, содержащих эту точку. Диапазон изменения углов поворота плоскости и будет

и cos Pi, cos YO и cos Yi, не изменит положение оптимальной точ­ ки. Анализируя таким образом все грани, которым принадлежит оптимальная точка, найдем диапазоны отношений параметров (ко­ эффициентов) a, b и с, которым должны удовлетворять плоскости, проходящие через оптимальную точку и не изменяющие оптималь­ ное решение задачи. Отсюда легко получить возможный диапазон неопределенностей Д с, в значениях коэффициентов целевой функ­ ции, не влияющих на решение задачи.

Пример 2. Рассмотрим задачу, описанную в примере 1. Определим грани многоугольника, которым принадлежит точка

оптимума. Подставим оптимальное решение задачи х\ = 70, хг = = 80 в исходную модель (2.19) и получим, что оптимальной точкой является точка пересечения прямых х\ + 3 ,5x 2 = 350 и х\ + хг = = 150.

Вектор нормали целевой функции имеет координаты {10; 20}, вектор нормали первой прямой— {1;3,5}, вектор нормали второй прямой — {1; 1}. Вектор нормали целевой функции можно повер­ нуть так, чтобы он совпал либо с вектором нормали первой прямой, либо с вектором нормали второй прямой, т. е. согласно (2.20) имеем

Таким образом, если отношение коэффициентов целевой функ­ ции лежит в пределах от 1 до 3,5, то координаты оптимальной точки не изменятся.

Полученный результат полезно сравнить с приведенным выше аналитическим расчетом.

В точке оптимума столбец свободных членов не содержит отри­ цательных элементов. Таким образом, неопределенность в коорди­ натах вектора правой части до тех пор не влияет на оптимальное решение, пока не появятся отрицательные элементы в столбце сво­ бодных членов.

Представим матрицу полного ранга А из условий (2.16) в ви­ де двух блоков N и В: А = (N; В), где N состоит из небазисных столбцов А, &В — из базисных. Аналогично, векторы с и а; состо­ ят из базисных и небазисных координат: с = (сдг; св), х = (хдг; хв). Следовательно, имеем

А х = Ь,

N X N + В х в = Ь,

B - 1N X N + В - гВ х в = В ~ 1Ь,

х в = В - \

так как х ^ = 0. Отсюда следует, что столбец свободных членов b + Ab на любой итерации может быть получен умножением мат­ рицы В ~ х на вектор b в исходной постановке задачи (2.16). Сам же блок В формируется из тех столбцов исходной матрицы А из усло­ вий (2.16), номера которых на данной итерации определяют ба­ зисные переменные. С другой стороны, j - й столбец в матрице А (матрица А после преобразований становится матрицей У) для дан­ ной итерации имеет вид

yj = B ~ laj ,

где a.j — j - й столбец исходной матрицы А из условий (2.16). Столбцы матрицы В ~ 1— это столбцы тех переменных текущей

матрицы Y , которые были базисными в исходной таблице (как пра­ вило, это последние т столбцов), так как Y = В ~ 1А, а столбцы А, относящиеся к базису исходной таблицы, образуют единичную мат­ рицу, т. е. матрица В ~ 1 всегда присутствует в процессе решения. Исходный вектор b и неопределенность его значения Д6 задают­ ся по условию задачи. Таким образом получают новый столбец свободных членов. Если исходный вектор равен b + Ab, то можно найти новый столбец свободных членов:

В ~ \Ь + АЪ) = В~'Ь + В ~ 1АЬ = х в + В ~ 1АЬ.

Поскольку в столбце свободных членов оптимального решения из симплекс-таблицы не должно быть отрицательных элементов, то условие стабильности примет вид

х в + В -1 ДЬ ^ 0.

Пример 3. Рассмотрим описанную в примере 1 задачу, предпо­ лагая, что исходный вектор правой части Ъ= {350; 240; 150; —ПО; -1400} имеет неопределенность АЬ = {Д61; Д 62; АЬз; Д 64; Д&5}> т. е. необходимо рассматривать вектор

{350 + Д 61; 240 + Д62; 150 + Д Ь з ; —110 + ДЬ4; -1400 + Д65}.

и определить диапазон значений АЬ\ , ..., Д 65, при которых опти­ мальное решение не изменится.

Матрица В -1 занимает пять последних столбцов симплекс-таб­ лицы оптимального решения (см. табл. 2.29):

рицы У оптимального решения определяются через матрицу В -1

и исходную матрицу А из условия (2.16):

нимается соответствующее решение. Этот подход приемлем для небольшого числа элементов матриц, имеющих неопределенность.

Рассмотрим более общий метод учета неопределенностей в эле­

их с неопределенностями Д6*. В таком случае надо вычислить

неопределенность г-й линейной комбинации 2 a>ijXj и добавить

з

ее к неопределенности правой части Д6*. Теперь возникает вопрос, каким образом (согласно какой гипотезе) вычислить неопределен­ ность линейной комбинации и согласно какой гипотезе присоеди­ нить ее к неопределенности правой части. От выбора этих гипотез зависит конкретный алгоритм вычисления неопределенностей ли­ нейной комбинации.

Рассмотрим две гипотезы. В первом случае неопределенность Aciij является детерминированной величиной (например, показыва­ ет изменение цены некоторого ресурса); во втором (в задачах ЛП с другим физическим содержанием) неопределенность Д а^ будет случайной величиной, для шторой известны математическое ожи­ дание и дисперсия. Тогда в первом случае неопределенность г-й ли­ нейной комбинации 2 dijXj будет равна 2 AaijXj, а полная неопре-

Во втором случае мы будем исходить из того, что все участвующие в расчете неопределенности носят случайный характер и мож­

с известными дисперсиями D(aÿ), а затем суммировать дисперсию линейной комбинации и неопределенности правой части Д6*, пола­ гая величину (Abi)2 равной дисперсии bi, т. е. D(6*) = (Abi)2.

Таким образом, дисперсию линейной комбинации определяем по формуле

а полную неопределенность Д^Ь* (погрешность) г-й координаты вектора правой части системы (2.16) —по формуле

из симплекс-таблицы оптимального решения. Далее анализируем ситуацию так же, как в случае существования неопределенности только в правой части. Очевидно, что исследование можно прово­ дить подобным образом и для случая Abi = 0, i = 1,2,..., т.

Г л а в а 3

СЕТЕВЫЕ И ПОТОКОВЫЕ ЗАДАЧИ

§3.1. Основные определения и приложения сетевых и потоковых моделей

Многие задачи линейного программирования могут быть сфор­ мулированы как сетевые. Примером таких задач является транс­ портная задача (см. ранее рис. 1.2). Однако можно указать и такие сетевые задачи, которые нельзя сформулировать в виде задачи ЛП. Например, таковой является задача коммивояжера.

Вследствие специальной структуры сетевых задач для них получено много эффективных алгоритмов и изящных теорем, обес­ печивающих решение широкого круга практических задач. В боль­ шинстве сетевых задач оптимальные решения являются целочис­ ленными, в отличие от решения общей задачи линейного програм­ мирования.

Основные определения в сетевых и потоковых задачах

Введем основные определения и понятия. Сеть состоит из мно­ жества узлов Ni, i = 1, 2, . . . , к (называемых также вершинами, или

точками соединения), и множества дуг A y, i , j = \ , 2 , . . . , k (назы­ ваемых также звеньями или ребрами), которые связывают узлы Ni и Nj. Если дуга имеет определенную ориентацию (направление), то ее называют ориентированной, или направленной.

Сеть называют связной, если при любом разбиении множества узлов сети на подмножества X и X найдется дуга Ац или ду­ га Aji, связывающая г-й узел N , принадлежащий подмножеству X , Ni 6 X , и j -й узел Nj, принадлежащий подмножеству X , Nj е X .

Будем рассматривать только связные сети и будем считать, что между любыми двумя узлами N и N j имеется не больше одной ориентированной дуги Aij и одной ориентированной дуги Aji либо

имеется только одна неориентированная дуга А ^ . Одну неориенти­ рованную дугу можно заменить двумя ориентированными. Суще­ ствование петель (дуг, ведущих из некоторого узла в тот же узел) исключается.

Последовательность узлов и дуг N\, А \2, N2, А 23, • • Nk~\,

Ak- 1,ь Nk сети называют цепью (ориентированной цепью), веду­ щей из узла Ni в узел TV*.. Если N\ = Nk, то такую последова­ тельность называют ориентированным циклом. Цепь называют про­ стой, если она не содержит циклов.

Путем называют последовательность N \,A \2,N 2,A 23,...,N k -i, А к-\,ь N k, где N \, N2, ■■-, N k —узлы сети и либо A iti+l, либо A i+iti, г= 1,2, ...,к — 1, — дуга сети. Путь отличается от цепи тем, что при движении от узла N\ к узлу N k можно пройти дугу сети и в направ­ лении, противоположном ее ориентации. Для неориентированных сетей понятия цепи и пути совпадают. В частности, циклами явля­ ются контуры.

Контуром называют конечную цепь, начальный и конечный уз­ лы которой совпадают. Очевидно, что циклы являются замкнутыми путями, а контуры замкнутыми цепями. Вырожденный цикл назы­ вают петлей. Петля образуется одним узлом и одной дугой и по­ этому является как контуром, так и циклом.

В связной сети для любых двух различных узлов существует по крайней мере один соединяющий их путь (или цепь). Частным случаем связных ориентированных и неориентированных сетей яв­ ляются деревья. Если множество всех узлов и дуг задать в виде графа G = (TV, А), где N — множество узлов, А — множество дуг, то дерево определяют как связное подмножество {подграф) G\ мно­ жества (графа) G, не содержащее циклов, т. е. для любых двух узлов дерева существует единственный путь, соединяющий их. В сети, содержащей п узлов, подграф из к узлов (к ^ п) является деревом, если выполнены любые два из следующих условий:

1)подграф является связным;

2)подграф не имеет циклов;

3)число дуг в подграфе равно к — 1.

Остовным связующим деревом (остовом) называют дерево, содержащее все узлы сети. Если сеть содержит п узлов, дере­ во с п узлами и п — 1 дугами является остовом. Кратчайшим