Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Флуктуации в динамических системах под действием малых случайных возмущений

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

21.91 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 438 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

§ 1]

НУЛЕВОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ

хаотических интегралов:

< 4 6 V ] 2 JM [a] (X®)]2ds = е2б 2a2(t). (1.8)

Из оценок (1.6)—(1.8) вытекает последнее утверждение теоремы.

В теореме 1.2 мы в некоторых отношениях делаем более сильные предположения, чем в теореме 1 .1 ,— счи таем, что коэффициенты удовлетворяют условию Лип шица, а не просто непрерывны. При этом мы получаем и более сильный результат — не только доказываем схо

димость XBi к xt, но получаем и некоторые оценки скорости этой сходимости. Если сделать еще более сильные пред положения относительно гладкости коэффициентов, то

м >жно более точно оценить разность Хв — x t. Мы вер немея к этому вопросу в следующем параграфе, а сейчас приведем один результат о нулевом приближении для дифференциального уравнения с правыми частями до

вольно	общего		вида.
Рассмотрим			в Rr дифференциальное уравнение
			Х\|	= Ь (е ,/,.М .со ) 1			X
Здесь	Ь(е,	f, х,	со)	—	(Ьг(г, U х,	со),	. . .,		Ьг(е, t, х,	со))—
r-мерный		вектор,		определенный		при			х е Rr,	t ^	О,
в > О,	со е= Q.			что	поле Ь(е, £, х,			со)	непрерывно по		t
Предположим,
и х цри почти всех со для любого е >								О,
			sup		М\|6 (е, t, Xj(o) \|2 <				оог
		1>о,бе(0,1)
п при некотором				К >	0 почти наверное
	\|Ь(е, /, х,			со)	— Ь(е, tt у,	со)\| <		К\х — у\|

для любых х} у е Rrt 02 е *> 0. Заметим* что непре

72 ВОЗМУЩЕНИЯ НА КОНЕЧНОМ ОТРЕЗКЕ ВРЕМЕНИ [ГЛ. 2

рывность по е при фиксированных t, хг со не предпола

гается.

Т е о р е м а 1.3. Предположим, что существует такая

непрерывная функция b(t, a:),			t >	0 , х е	й г,	что	/г/ш лю
бых б > О, Г >	02 i e	i i r	равномерно		по t0^		О
			/о+Г			=	0. (1.9)
	со)	—	J	5(f,a;)d/	> 6	=	0. (1.9)
Тогда уравнение
xt *=b(t,xt)9				= *			(1.10)
имеет единственное решение,			и для всяких Т >				О, б > 0
П т Р { max		\| X f —		1> б} = 0.
е»о	ко<г<т			;

Д о к а з а т е л ь с т в о . Прежде всего заметим, что

функция Ь(£, а:) обязана удовлетворять условию Липшица по а: с той же постоянной, что и функция Ь(е, t, а:, со).

Действительно, так как функция b(t, х) непрерывьа, то по теореме о среднем

«+д _

j Ъ(s, x)ds — Ъ(tx х) Д + о (Л), Д—►0. t

Отсюда, с учетом (1.9), получаем

Ib(t,x) — b (*, у) I = <+А

	Л	J b (s,x )d s — j b(s, i/) ds
		t	(
			t+A	i	о (Д)	j	£
< 4- j	b (e, Sj x, со) ds —		j 6 (e, s, у, со) ds	i	о (Д)	j	£
< 4- j	b (e, Sj x, со) ds —		j 6 (e, s, у, со) ds	+	- д “	+	°e <
					оШ
			< K \ x-y\ + ° - ^ + S l
где бе =	бe(£,	со) -+ 0 по	вероятности при	e	0 ,

§ ti	Нулевое приближений	ft
	Так как это неравенство справедливо при произволь
но малых е и Д, то
	\|b(tt х) — b(t, у)\| < К\х — у\.	(1 .11)

Из (1.11) вытекает* что уравнение (1.10) имеет единствен ное решение.

По определению			X]	п xt имеем
t
XJ — xt = j* [b (e,		X*, со) — b (s, xs)] ds =»
6
	f
e	I [b (e, sx X*S1со) — b (e, s, x8, со)] ds +
					t
				-f	j[b (e , s, xs, со) — b(c, xs)]ds.
					0
Обозначим	m(t) =	m*{t) =			max \|Xf — x0\. Из предыдущей
формулы вытекает			неравенство
»					£i
т (t) < К •	m (s) ds +			max	l [b (e, s, xe, со) — b (s* x8)]d,
Отсюда при помощи леммы 1.1						получаем
			f
т (Т) ^	ект max		[ [b (е, s,			со) — Ъ(s, х3)] ds , ( 1. 12)
			6
где Т — любое положительное						число.
Покажем теперь, что максимум в правой части (1.12)
стремится к нулю		по вероятности при е —►0. Пусть п —

большое натуральное число, которое мы выберем позже. Используя условие Липшица при t е [0* Т]1будем иметь

I	[ь (е, s, xs, со) — Ъ(s, х3)] ds =
о
	п -1 (*+1М/п
	= 2	J	[* (ei	со) — 5 (s, xs)]cfs=s

h=0 ktJn

74	ВОЗМУЩЕНИЯ НА КОНЕЧНОМ ОТРЕЗКЕ ВРЕМЕНИ										(ГЛ. й
	=	2		f	b(e,s,	"	— b /s ,^ ]\ d s +
		ft=o		ktm	1 V	"	/	V	» /i
	71—1(Ь-И)*/п г				_		/	_	\Л
	+ 2		м/«	Ь(е, в.Я .ы ) — Ые, s,;r*,,to						ds +
	*=о		м/«	1			4		п п
			п— 1 (Л+14/n - .			ч	_	_	-I
		+	2		bis, агА,		— b(s, ze)\|£?s =
			* = 0	hi/П	L V	П 7			J
	n^_l (fc+ l)f/n			,	_	\	/ _	\1
	=2		J	j^ e , s, ir*,, соj — b\|s, :rAfjJds +						p®tl,	(1.13)
где	\|p®,(\|	< C > l/n ,			С — постоянная,			зависящая от			кон-

станты Липшица К и от Г.

При фиксированном п сумма в последней части форму лы стремится к нулю по вероятности в силу условия (1.9). Таким образом, из (1.13) вытекаем что при п>АС1&

kTtn

e-*Q		i		>lj =°-
lim Р [ шах		\ [b(e, s,zs,co) — 5 (s,* s)] ds
		О			(1.14)
					(1.14)
Далее	заметим,		что
р L™?TIj	I6		- ^^s’ *«)1ds\>б\|<
(		*Т/я	_		]
< 1 Р шах		\	[b (е, s, х3, со) — Ъ(s1 х3)] ds >		+-
(0<к<п '		0J			^ J
	(k+l)T/n
+ Р max	j	\|б(е, s, ха, со) — Б(st xs) \| > —			. (1.15)
	h^			^ )
	l/n

Последнее слагаемое оценим с помощью неравенства

§ 2]

РАЗЛОЖЕНИЕ ПО СТЕПЕНЯМ МАЛОГО ПАРАМЕТРА

Чебышева:

< ^ 5 ^ OS^ P0 , м [| 5 (..г.)| + | ^ . . о . . , | + 1г|хв| г <

где С\ — некоторая константа. При этом мы воспользова

лись тем,	что	sup М \|6(е, s, 0 , со)\|2 <		оо.
	s > 0.	е<=(0,1]
Из (1.14)—(1.16) вытекает, что правая часть в (1.12)
стремится к нулю по вероятности при е				0. Этим закап
чивается	доказательство		теоремы 1.3.
На случайный процесс			X®, рассматриваемый в теоре

ме 1.3, можно смотреть как на результат случайных воз мущений системы (1.10). Мы вернемся к изучению подоб ных возмущений в гл. 7.

§ 2 . Разложение по степеням малого параметра

Вернемся к рассмотрению уравнений (1.1) и (1.3). В этом параграфе мы, предполагая функции Ъ{х, у) доста

точно гладкими, получим разложение для X® по степеням малого параметра е.

В соответствии с общей идеологией теории возмуще

ний, чтобы найти разложение X® по степеням е
X? = X(t0) + eX't0 + . . . + e*Xiw + . . . ,	(2.1)

мы подставпм это разложение с неизвестными пока коэф

фициентами Х(*0), . . ., X\k\ . . . в уравнение (1 .1) и раз ложим правые части по степеням е. Затем, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях слева п справа,

76 ВОЗМУЩЕНИЯ НА КОНЕЧНОМ ОТРЕЗКЕ ВРЕМЕНИ [ГЛ 2

получим дифференциальные уравнения для последова

тельного определения коэффициентов Х/0), Х*!), . . .

в (2 .1).

Посмотрим, как будет разлагаться по степеням е пра вая часть (1.1). Пусть Х(е) — произвольный степенной ряд

с коэффициентами из Rr:
Х(е)	= с0 + схг +	. . .		+ скгк +	•» •
Обозначим
	,	7Л _ 1		d 4 ( X ( B ) , e y )
== Фk	(c0i	У) '	к\	d&h	е=0
Легко видеть,	что Фк при	к ^	1	линейно зависит от ск\

по переменным у функция Ф& является многочленом сте пени к. В частности,

	ф0 =		Ь (со< 0),
	Ф1 =		Вх(с0, 0) сх +			Вг (св, 0) yt
где Вх(х, у)			(х, у)\				матрица	поряд-
		— ^ — I — квадратная
ка г, В2{х, у) =		( дЬх (х , у)\					имеющая г строк
		\—дуЬ ’		I — матрица,
и I столбцов. Вообще из определения							ясно,	что	раз
ность	Ф* — В1(с01 0)ch =			Чк(с0,		съ . .	chlt у)	не	за
висит	от ск.
Действуя в соответствии с планом,' изложенным выше,
разлагаем обе части (1 .1) по степеням е:
х<0) +	гх\" + ... + гкх\к) +				••. = ф„ (Х(Д £,) +
+ еФх(Х<Д А < 1и , ) + ... +					е?'фА(А10>1		•••! Xth\ %) + ...
Отсюда получаем дифференциальные уравнения
Л10) =	Ф0 (х(Д	1д = ь(х[°\ о),
Х1° =	фх(х \°\ х \1\ Ь) =			Вх (х<Д о)х<°> + в 2(ХД о) \ и

§ 21	РАЗЛОЖЕНИЕ ПО СТЕПЕНЯМ МАЛОГО ПАРАМЕТРА	77
=	........X,(ftU () =	( 2 - 2)
	= В ,{ X\0\0)X\k) + Wk(X\n\	lt\

К этим дифферегщиальным уравнениям нужно приписать

начальные условия Х(00) = х, Хо4) = 0 , ..., Х(0Л) = 0 , . . .

Если функция Ь(х, у) достаточно гладкая, то уравнения (2.2) Вхместе с начальными условиями однозначно опреде

ляют функции Х{0), Х*0), ..., Х(/°, .. . Нулевое прибли жение определяется из первого уравнения системы (2 .2),

которое совпадает с (1.2). Если Х*0) известно, второе уравнение в (2 .2) превращается в линейное уравнение

относительно X*1*, и вообще, если мы нашли функции Х\Ь), ..., то уравнение для Х\к) будет линей ным неоднородным уравнением с коэффициентами, зави сящими ог времени.

Т е о р е м а 2.1. Предположим, что траектории про- цесса |t((o) с вероятностью 1 непрерывны, функция Ь(х, у),

х е Rr, у е R1, имеет к + 1 ограниченных непрерывных частных производных по переменным х и у. Тогда

х? = Х Г + еХ<п + . . . + гкХ{к) + Reh+l (<),

где функции Х\г\ i = 0, 1, . . ., к, определяются из систе мы (2 .2), а

sup	\|Я 1 н ( 0 \|< С ( с о ) е * +1,		Р [С (ю) < оо} =		1.
Д о к а з а т е л ь с т в о .		Из	определения Xf, Х[{\
i = h0 , 1, . . ., к, вытекает, что функция				Rl+\ (0	= X* —
— Л? eiXti) удовлетворяет соотношению
i=0
Hl+, (1) -	b (Xf, ej,) _ V		........j,)	„
	i= 0
	b (X ? ,e g ,)-M	S e 'X ^ .eE ,		+
		1=0

+ b 2 е<Х,*\ eg,	-	2 в*Ф, (X (,0>t . . Х(Д g.)	(2.3)
■»=o	/	i=o

ВОЗМУЩЕНИЯ НА’КОНЕЧНОМ ОТРЕЗКЕ ВРЕМЕНИ

[ГЛ 2

Из ограниченности первых производных функции 6(х, у) вытекает, что первое слагаемое в правой части (2.3) оце нивается следующим образом:

	Ь(Х1 e g , ) - 6	2 е’Х'Д eg,		(2-4)
		i=0
где	Кг — некоторая	константа.
	В разложении Тейлора для 6 ^ 2		еХг),	вбли-
зи точки (Х0), 0) коэффициенты при е			равны Ф/,	вплоть
до	i — /с. Отсюда вытекает, что

И i	«ь)- i .*,(?».....
Vi= 0	1	1=0
<	. 2	Ktl.....
			...\ x\ V \ ll\ w -K (2.5)
Здесь Kiu.u.tij — некоторые			постоянные, зависящие от
максимума	модуля	(к +	1)-х производных функции
Ь(х, у), от	iu . .	ij и от	размерности.
Оценку	\|Х*г)1 дает следующая лемма:

Л е м м а	2.1.	Существуют константы		Ct <		оо	та
кие, что \|Х\г) \|^		Ct •	I I jl при всех	t ^	Т.
Д о к а з а т е л ь с т в о			проводится по		индукции
(разумеется, на основании уравнений (2 .2 )).							что
Если проинтегрировать (2.3) от 0 до t				и учесть,
/?ь_М (0) =	0, а также неравенства (2.4),			(2.5)	и	лемму

2 .1, то получим

I	k(k+1) г			,
\|Д-и ( ) !< * , \|fl*+i(s)\|<fe +	tf2< 2	Iе •шах \|£s\|]*,
0	i= A + i L
где К2 — некоторая константа.	При е ^ (2		max \|£5 \|)—1
		'	o<s<r	7
сумма в правой части не превосходит		I max \|ls\|r +1.

§ 2]

разложение по степеням малого параметра

Пользуемся леммой 1.1; получаем

|Дм-1 (t) |< efe+12Кгек'1(max ||s h ^ 1.

Это завершает доказательство теоремы.

Таким образом, если функция Ъ(х, у) достаточно глад

кая, то можно вычислить X? с любой наперед заданной точностью. Для этого нужно проинтегрировать уравнения

для Х\г). Все эти уравнения линейные и имеют приблизи тельно одинаковую структуру. Нулевое приближение

Х\0) — это неслучайная функция, все приближения, на чиная с первого,— случайные процессы. Отметим* что

функция Х(/ } находится из уравнения


Х\1) = Вх(Х (Д	0 ) Хр> + Вг (Х<(0), 0 ) 6,; х\>1) =				0 .
Отсюда ясно, что X *0 получается из			с	помощью линей-
ного (неслучайного)	преобразования.		В	частности, если
\|* — гауссовский процесс^		то Х\{) — тоже гауссовский,
и, следовательно,	Х\0) +	еХ*1) — приближение			Х\ с

точностью до величин порядка е2 — гауссовский процесс.

Остановимся подробнее на одномерном случае: Х\ — процесс в R\ |* — одномерный процесс. Тогда уравне

ние для Х*1} может быть решено в квадратурах:

X' 0 = | Ь'г {Х[й\ 0) exp jjb\ {Х$\ 0) cfuj ds.

Выпишем уравнение для Х*2):

*!я =, ь\ (х“ , о) хр + !-[),;, и » , о)(х'/’)2 +
+ 2*;г(ХГ, о) А",1?, + Ь2,(Х "", 0) g],				X';' _	0.
Здесь b\, Ъ2 — производные по	х и у	соответственно			от
функции Ь(х, у); Ьц — вторые	производные		от	той	же
функции. Уравнение для Х*2)	можно	тоже	решить в
квадратурах; Х*2) — квадратичный функционал				от про

80	ВОЗМУЩЕНИЙ НА КОНЕЧНОМ ОТРЕЗКЕ ВРЕМЕНИ				(ГЛ. 2
цесса	l t.	Аналогичный вид имеют		уравнения для	Х\г)
при t =		3, 4... Все	они могут быть последовательно
проинтегрированы в			квадратурах.		если
Эти уравнения становятся особенно простыми,
Хо =	х — положение		равновесия	невозмущенной	сис

темы. В этом случае функции Х\г) находятся как решения линейных неоднородных уравнений с постоянными коэф фициентами.

Теорему 2.1 можно использовать для вычисления раз ложении по степеням малого параметра гладких функций

от Xf и их математических ожиданий. Например, если первые и вторые производные функции )(х) ограничены, то

М/ (АТ) = М [/ (А Н + ( V / (А(И , А Н 8 + <9 (е2)] ==

		= / (А Н	+ е (V / ( А'0)),	МА(Н + О (е2),
где	функция	m(t) — MAj1’ — решение		дифференциал ь-
ного	уравнения
	т (0 =	В, (А<0), 0)	т (/) + В2 (А<(0), 0) Mgt.

Переходим теперь к уравнению (1.3). Формально мож но считать, что уравнение (1.3) есть частный случай (1 .1) с Ь(х, у) = Ь(х) + о(х)у и, считая Ь(х) и а(:г) достаточно гладкими, записать для этого случая уравнения (2 .2):

	±(°> =	ь (а Н ,		а (00) =	а ? = х,
	Х\" =	В (А (0)) А, 0 +			а (А '0)) W U А'0° = 0,
	.....................................................................................................................					(2 -6)
	а ^	ф Д а ^		. . . ,	X[k\ щ), х Г =	0,
г,	х	[м { (*)\			все уравнения	wt входит лп-
Здесь	В(х)	= I	dxj	I. Во	все уравнения	wt входит лп-

нейно. Совокупность первых к уравнений системы (2.6) можно рассматривать как стохастическое дифференциаль-

ное уравнение для процесса А£+1 — (А(,0), А^, , . А^) -

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 438 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.2023374.36 Кб3Финансовый анализ деятельности предприятия..pdf
#
12.11.20232.23 Mб3Финансовый менеджмент..pdf
#
12.11.202311.22 Mб1Финишная обработка лепестковыми кругами..pdf
#
12.11.20238.65 Mб0Фитнес как эффективная система физического развития студентов..pdf
#
12.11.202310.86 Mб15Флотационные реагенты..pdf
#
12.11.202321.91 Mб4Флуктуации в динамических системах под действием малых случайных возмущений..pdf
#
12.11.20234.35 Mб1Фоносемантическая звуковая картина мира..pdf
#
12.11.20237.17 Mб2Формирование гражданской компетентности..pdf
#
12.11.20231.78 Mб2Формирование системы мониторинга реализации программы социально-экономического развития региона..pdf
#
12.11.20238.74 Mб1Формирование состава остаточных нефтей..pdf
#
12.11.20231.26 Mб2Формирование физической культуры личности студента политехнического университета средствами спорта (на материале единоборств)..pdf