книги / Управление качеством

Интенсивностьотказаможнотакжеопределитьпоформуле(4.15а):

λ* (3050) = a * (3050) = 0, 0025 = 6, 7 10−31 / ч. P * (3050) 0,375

Средняя наработка до отказа − это математическое ожида-

ние наработки объекта до первого отказа. Средняя наработка до отказа Т1 определяется по формуле:

Интегрируя это выражение по частям, получим:

того, что срок службы любого объекта ограничен, и потому Р(t) быстрее стремится к нулю, чем t → ∞ . Таким образом, получаем

т.е. средняя наработка до отказа численно равна площади под кривой P(t).

Статистическая средняя наработка до отказа группы однотипных объектов определяется как отношение суммарного значения наработки каждого из них до появления отказа к общему числу объектов N, работоспособных в момент t = 0,

где ti − наработка до отказа i-го объекта.

261

Имея данные о количестве вышедших из строя элементов ni в каждом i-м интервале времени, среднюю наработку до отказа лучше определять из уравнения

В выражении (4.19а) tсрi m находятся по следующим формулам:

tсрi = (ti–1 + ti) /2, m = tk/∆t,

где ti–1 – время начала i-го интервала; ti – время конца i-го интервала; tk – время, в течение которого вышли из строя все элемен-

ты; ∆t = ti–1 – ti – интервал времени.

Поскольку практически невозможно осуществить испытания всех элементов до отказа, то в первом приближении при большом числе N среднюю наработку доотказа можноопределитьзависимостью

где N – число элементов, поставленных на испытания; m – число отказавших элементов; t − время испытания.

Формула (4.19б) справедлива при числе m отказавших элементов, близких к N.

Пример 2. На испытания поставлено N = 10 невосстанавливаемых элементов. Испытания проводились в течение времени t = 100 ч. В процессе проведения испытаний отказало 8 элементов, при этом отказы зафиксированы в следующие моменты времени:

t1 = 20 ч, t2 = 30 ч, t3 = 50 ч, t4 = 30 ч, t5 = 40 ч, t6 = 60 ч, t7 = 70 ч, t8 = 60 ч. Оставшиеся два элемента не отказали. Определить сред-

нюю наработку до отказа.

Решение. Вычислим наработку до отказа для невосстанавливаемого элемента по формуле (4.19б):

T1 = 20 + 30 + 50 + 30 + 40 + 60 + 70 + 60 + (10 − 8)100 = 56 ч. 10

262

Пример 3. Найти интенсивность отказов λ(t) и построить график изменения кривой интенсивности отказов по данным, представленным в табл. 4.1. На испытания поставлено N = 100 элементов, испытания проводились в течение времени t = 100 ч.

Таблица 4 . 1

Исходные данные результатов испытаний

Для построения кривой интенсивности отказов (рис. 4.5) воспользуемся формулой (4.15):

263

Таблица 4 . 2

Данные об отказах

265

.....................................................................................

Значения P*(t), a*(t) и λ*(t), вычисленные для всех ∆ti, приведены в табл. 4.3.

266

Cледует иметь в виду, что в табл. 4.3 данные P*(t) приведены для концов интервалов ∆ti, а данные для a* (t) и λ*(t) – для середины интервалов ∆ti. Поэтому определение λ(t) по формуле (4.15') и данным табл. 4.2 не даст значений λ*(t), указанных в табл. 4.3.

Вычислим среднее время безотказной работы, предположим, что на испытании находились только те образцы, которые отказали.

По формуле (4.19а), учитывая, что в данном случае m = tk/∆t = = 3000/100 = 30 и N = 575, имеем

Т1 = 50 50 + 40 150 + 32 250 + ... + 30 2850 + 40 2950 =1400 ч. 575

Полученное значение средней наработки до отказа является заниженным, так как опыт был прекращен после отказа 575 образцов из 1000, поставленных на испытание.

Средняя наработка на отказ − отношение суммарной нара-

ботки восстанавливаемого объекта к математическому ожиданию числа его отказов в течение этой наработки. В соответствии с определением средняя наработка на отказ Т0 задается формулой

где t − суммарная наработка; r (t) − число отказов, наступивших в течение времени наработки t; M { r (t )} − математическое ожида-

ние этого числа отказов.

Статистическая оценка средней наработки на отказ вычисля-

Если на испытании находится N образцов в течение времени t, то наработка на отказ вычисляется по формуле

267

где tij − время исправной работы j-го образца изделия между (i − 1) и i-м отказами; nj – число отказов за время работы tj-го образца.

Если в процессе испытаний или эксплуатации в качестве статистической оценки получена средняя наработка на отказ, то вероятность безотказной работы элемента за время t определяется по формуле

где tp − время работы, tхр − время хранения. Например, устройство работает 10 ч, а общее время работы изделия 50 ч. Следовательно, время хранения составит 40 ч.

Пример 6. При испытаниях некоторого устройства, имеющего время работы до отказа, распределенное по нормальному закону, получено 10 реализаций наработки до отказа (в часах): 120, 110, 80, 130, 120, 140, 80, 150, 130, 140. Требуется найти доверительные границы с доверительной вероятностью 0,95 для средней наработки на отказ и дисперсии Дх.

По формулам (3.22) и (3.23) определим границы средней наработки на отказ:

для tср получаем значения нижней и верхней границы средней наработки на отказ соответственно 105,4 и 134,6 ч. Вычисление доверительного интервала для дисперсии ведется по формуле (3.24).

Имеем N = 10, S2 = 576 ч, χкр2 (0,95; 9) = 16,92, χкр2 (0,05; 9) = 3,33 (см. табл. П. 2). Тогда доверительный интервал для дисперсии составит 430 и 1735 ч.

268

Параметр потока отказов − отношение математического ожидания числа отказов восстанавливаемого объекта за достаточно малую его наработку к значению этой наработки. Параметр потока отказов ω(t ) определяется по формуле

где r (t + ∆ t ), r (t ) − количество отказов к моментам времени t + ∆ t

где r(t2), r(t1) − количество отказов к моментам времени t2 и t1 соответственно.

Для простейшего потока отказов, т.е. для потока, обладающего свойством стационарности, ординарности и отсутствия последствия, параметр потока отказов совпадает с интенсивностью отказов, т.е.

ω(t ) = λ(t ) = λ = const.

Рассмотрим показатели ремонтопригодности.

Вероятность восстановления − это вероятность того, что вре-

мя восстановления τ работоспособного состояния объекта не превысит заданного значения t. По определению

где РВ(t) − вероятность восстановления объекта.

Время восстановления − это то время, которое затрачивается на обнаружение, поиск места отказа и устранение последствий отказа. Вероятность восстановления представляет собой функцию распределения времени восстановления объекта, т.е. интегральный

269

закон распределения времени восстановления, а производная по функции РВ(t) по времени дает плотность распределения случайной величины fB(t) (дифференциальный закон распределения) времени восстановления

fB (t ) = d PB (t ) . d t

Интенсивность восстановления − условная плотность веро-

ятности восстановления работоспособного состояния объекта, определенная для рассматриваемого момента времени при условии, что до этого момента восстановление не было завершено. Интенсивность восстановления µ (t ) определяется по формуле:

Интегрируя соотношение (2.26) в пределах (0, t), получаем

Полученное выражение устанавливает связь между интенсивностью и вероятностью восстановления для любых законов распределения времени восстановления.

Статистическая оценка интенсивности восстановления µ (t ) имеет вид:

где n(t), n (t + ∆ t ) − количество объектов, для которых восстановление закончилось к моментам времени t, (t + ∆ t ) ; NB(t) − количество объектов, ожидающих восстановления к началу промежутка времени (t, t + ∆ t ) .

270