книги / Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы

§ 4. СЕМИМАРТИНГАЛЫ

71

X (t) = X

t

i

(0) + _f/ (s) ds + Jg (s) dB (,),

о

о

где f(s)

и

g(s) — процессы с соответствующими свойствами изме­

римости, a

\-dB — стохастический интеграл по броуновскому дви-

*

жепию

B(t).

Здесь

процесс j f(s)ds —

среднее движение,

<

о

а | ц {s)

dB (s)

— флуктуация. Такие

процессы

называются процес-

п

Вообще,

случайный процесс X (/), определенный

на (Q,

3r, Р)

с возрастающим семейством

под-о-полей

называется

семи-

мартингалом, если

X(t)- X{Q) \- M(l) + A(t),

ГДР

—

0) —0

ii.li,) локальный

(&~t)-мартингал, a

A (t) —

(Й(О)-И) И, И.) шщрпрыипый

справа (&~t) -согласованный процесс,

Т|)йРИТО|1ИИ которого

t — A(t)

имеют

ограниченную

вариацию на

ИйЖДом

коночном интервале

и. п. Мы

ограничимся

рассмотрением

О п р е д е л е н и е 4.1. Пусть,

как обычно, заданы (Q, 9r, Р)

и ((?~t) (>о- Определенный на этом вероятпостпом пространстве

слу­

чайный процесс Х = (Х(£)) о

называется семимартингалом,

если

7 2

ГЛ. п - СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ И ФОРМУЛА НТО

справедливо представление

X(t) = X(0) + M(t) + A(t) +

t-t-

*iЛ (s,

t+

+ j

x, •) Np(dsdx) +

j [ / 2 (s, x,

*)

(dsdx), (4.1)

0

x

o x

где

X ( 0 ) — ^ ”о-измеримая случайная величина;

(I)

(I I )

M е ^

2,1ос (так что,

в частности, Л/(0 ) =

0 п. н.);

(III)

A = ( A ( t ) ) — непрерывный

(SBt) -согласованный процесс с

Л (0 ) = 0

п. н., и t^-*A(t)

имеет ограниченную

вариацию

на каж­

дом интервале п. н.;

(QL)

на

(IV)

р — (&~t)-согласованный точечный процесс класса

некотором пространстве состояний

(X, Л( Х) ) >/1

s Fр,

/г

f р

и

/./*“

0.

(4.2)

Нетрудно видеть,

что в

представлении (4.1)

процесс

M(t)

оп­

мартипгалъной частью

X(t).

Разрывы X(t)

определяются

двумя

последними членами в

(4.1);

согласно

(4.2)

эти два члена не име­

ют общих разрывов.

Леви.)

Пусть

X (t)— d-мерный

одно­

П р и м е р 4.1. (Процессы

цесс со стационарными независимыми приращениями),

а (В~ ,) , ^ 0

порожден траекториями

X(t). Пусть

Dp = { l > 0 :

X(t)¥=X(t—))

и для JeDp пусть

p(t) = X(t) — X (t - ) .

Тогда

p

определяет ста­

ционарным (&~t) -пуассоновский процесс

на X = R'\{0}

(см. опре­

деление 3.1). Знаменитая

теорема Леви— Ито*)

утверждает, что

найдутся d'-мерное

,)-броуновское движение

В (t) =

(Bh(<))^=l,

dr

1+

f

X* (t) = Х { (0) +

2

а\В" (f) + blt + l

x4 {M>l}Np (dsdx) +

h_I

0

Rrf\(o>

t+

+

i

I ^ f (M<:i}Np(dsdx),

1 = 1 ,2 .........d. (4.3)

74

ГД. II. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ И ФОРМУЛА ИТО

(IV)

Х!(0)

(1 =

1, 2,

d) — ^"о-измеримая

случайная

ве­

личина.

d-мерпый

семимартингал

X(t) = (Xl(t) , X2(t) , ...

Определим

..., X“(t)) посредством равенства

X* it) =

X 1(0) + М1{t) + A1it) +

=

1, 2 ,

(5.1)

Обозначим также / = (/*, /\

..., f )

и g = (g\ g\

gi).

Т е о р е м а

5.1.

(Формула Ито.)*) Пусть F — функция класса

С2 на R", а Х(1) — определенный

выше

d-мерный семимартингал.

+

4~ 2 ^F"i}(X{s))d(M l,M iy(s) +

+

J

f {F (X(s - ) + f ( s, x , . ) ) - F

(X (s - ) ) } Np {dsdx) +

о

X

+

J

f {F (X ( s - ) + g (*, X , . ) ) -

F (X is - ) ) } Np {dsdx) +

0

X

Д о к а з а т е л ь с т в о . Чтобы

избежать осложнений

в обозначе­

ниях, будем предполагать, что

d = 1 ; в многомерном

случае дока­

галов:)*

(5.3)

X(t) = X(0) + M{t) + A(t).

§ 5. ФОРМУЛА НТО

75

li этом случае формула

(5.2) имеет вид

F ( X ( t ) ) - F { X { 0)) =

-

j

F' (X («)) dM (s) +

[ F' (X {$)) dA (s) + ±

j F" (X (s)) d <M> (s). (5.4)

0

0

0

Пусть

О,

если

| Х (0)| > п ,

inf {£; |Л /(01 > » ,

или

|Л|(£)>ге,

или

( <Л/> (t) \> п},

если |X (0 ) |^ п.

Очевидно,

t °o

п. п. Следовательно,

если

мы

докажем

(5.4) для

X(t/\т„)

па

множестве

( т „ > 0 }, то,

устремляя

потом

п t °о,

сразу

получим (5.4). Поэтому мы

можем

допустить, что

Х (0),

M(t),

И

(I),

<A/>(i)

ограничены

по (t,

<о), и F(x) — функция

из С2

с компактным носителем.

А — разбиение

отрезка

[0, f],

зада­

Фиксируем

t > О,

и

пусть

ваемое

посредством

0 =

< ... < tn=

t.

Согласно

теореме о

среднем значении

F (X (0) ~ F ( X (0)) =

Ц

{F (X (**)) - F (X (tft-O)) =

п

А—1

п

-

2

F'

(**-0) iX (h) - х (**_,)} + 4 - 2

F" (6ft) {x (*ft) -

x

гдо %kудовлетворяет условию

X ПА Д Х (th- j) <

h < X (th \/X (th-i).

Имеем

и

Нвио, что при |A \-

max 1 tk — tk- 1 (-»- 0 i t -► J (X (s))

(s)

II, II, Исли ПОЛОЖИТЬ

0

ФА (.V, о) * / (s = 0>(») Г

(X (0)) + is /(<*_!.f*I (*) ^ (х

78

ГЛ. II. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ И ФОРМУЛА ИТО

+ у шах IF" (х) I2 Е 1 2

« Ю

(tk) -

<М > (1А- , ) ) 2 <

x=Rl

U=l

j

< у

шах |V" (х) |2 Е [ max {{М (th — М (tk-,))2

+

л х=п1

4 < fta

J

+ у

max IF" (х) I2 Е\ max «М > (th

— <M> (lft_,)) <М> (*)1 <

^

*=RI

l l <Ъ<п

\

< 4 -m a x | F "(a.)|2( £ [ ( ^ ) 2]),/2(£ rm a x |М (i*) -

М (г*_г) |* | \ 1/2 +

“ х^ц1

V

Л

+

у

max |F" (г) |2 E Г тах«Л /> (tk

— <M> (tk-1 )) <M> (i)l.

(5.7)

X S H 1

Li<s-«n

J

Последнее выражение стремится к нулю при IДI — 0 согласно лем­

ме 5.1 и теореме о мажорируемой сходимости*). Согласно

(5.5),

(5.6)

и

(5.7) нами доказано,

что

/ 5

-у JF" (X(s)) d <М> ($)

X(f) = X ( 0 ) +

M(t) + A(t) +

(+

ff

+ j

f f(s ,x ,- )N p (dsdx) + j

J g (.?, x,

-)N P (dsdx).

о

x

о

x

Доказательство легко сводятся к случаю, когда

F таково,

что F, F'

и F"

ограничены. Для

точечного процесса р

пусть 1 / „ е

е , $ ( Х ) ,

и = 1 ,

2 ,

такая последовательность,

что

£Л)С=£/п+1,

и ип = X

и E(Np((0, i]X [ / „ ) ) < 00

для всех

t > 0.

Для каждого п

П

положим

Х п(t) =х (0) + м (t) + A (t) +

(+

f/ (,1) (s, -г,

f4-

+

f

-)N P (dsdx) + j

j g<"> (s, x, •) Np (dsdx),

(5.8)

о x

о

x

где

f n)(s,x,<i>) = f(s,x,<d)Ivn(x)

и

gM (s,x,a) =

g(s,x,a)IUn(x).

Докажем (5.2) сначала для семимартингала

X„(i). Точечный

про­

цесс

рп,

определенный посредством

DPn = {

S G Dp: р (s) е Ur

и