книги / Общая теория анизотропных оболочек
..pdf§ 8] |
|
|
ТРАНСВЕРСАЛЬНО ИЗОТРОПНЫЕ ОБОЛОЧКИ |
131 |
|||||||
где введены следующие |
обозначения: |
|
|
|
|
||||||
» = * > + ' ■ = л г К г <В а > + |
Т Н + |
т - |
|
|
|
||||||
X = |
а У |
л |
,ЙЧ - |
м “ >]■ 4 = |
ж |
( j £ |
) + |
% ( ? |
I ) j ■ |
||
* , = |
i K |
4 |
+ f ) ] - |
^ |
( n |
+ |
f ) + T |
^ |
( s |
" + f ) ] . |
|
K. |
i |
[ в ( в ° + т ) ] + М |
( s ’ + |
§ ) ' + |
i W |
(8.30) |
|||||
^ + f ) ] - |
|||||||||||
T J + T? |
|
K. |
{ 1 г [ т ^ < в " ! ) - т ё " ? + |
A B |
+ 4 - ж < '1 в * ) ] + 4 г [ т ^ ( в я “> + 4 - ^ - я > +
+ 4 ~ & ( ^
Исключая x из первых двух уравнений (8.29), получим
jZ fir Д + 1 — ',) ( i + |
2)u . = |
|
1 — v2 R2 |
т ) + ^ ( т г ) ] - |
<8 , |
E h A В Ш |
Преобразуя с помощью (8.25) правые части третьего уравнения системы (8.29) и только что полученного уравнения (8.31), найдем
1 — V2
E h AB [ d a \ A ) |
' d{i |
\ B ) \ |
5Д4 |
|
|
'm RG' |
|
(8.32) |
|
—f- v ) № |
|
3 ( 1 |
1 |
ттю
hi
1 2 0 R?G
Третье уравнение равновесия (8.27) с помощью соотношений (8.24) и (8.30), с принятой здесь точностью, может быть представлено следующим образом:
E h
». (8.33)
‘ R ( 1 — v )
g*
132 РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. I
Теперь уравнение (8.31) и третье уравнение системы (8.29) согласно (8.32) и (8.33) могут быть записаны так:
(Д + |
1 — v) & |
7r(l27F А + |
1 v) (Д + |
2) w = |
|
|
|
|
|
|
|
|
5h ,, |
, . |
v)Z, |
|
|
|
|
|
W.nr,' |
^ |
|
1 + V |
£2 |
6Е |
|
|
|
(8.34) |
|
{ |
R |
12Д2 |
1 - 5(1 — v)G; J |
Д| & - [ - |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Щ !(Д + 1 |
->)(Д + 2)и;= |
1 — У |
£■ *2 |
|
|
|
|
10i?2(l_v2)G ' |
k] * - |
|||||
|
|
|
|
E h [/ |
|||
Наконец, исключая & из этих уравнений, получим одно уравне ние шестого порядка относительно нормального перемещения w:
[ С 2 (д + 1)2 + 1 - /г*Д] (Д + |
2) и ;= {£ (1 - |
V Д) (Д + 1 - v) Z, |
(8.35) |
|
где |
|
|
|
|
£2 |
|
E h2 |
(8.36) |
|
1 2 ( 1 — |
v 2 ) i ? 2 ’ ю |
(1 — v‘i) «2 G ' • |
||
|
Уравнение (8.35) является исходным уравнением при рассмот рении задач устойчивости и колебаний замкнутой трансверсально изотропной сферической оболочки.
Однако укажем, что при рассмотрении иных задач, требующих определения всех искомых функций (например, u, v, w), мы обя заны исследовать полную систему уравнений (8.34).
§ 9. Новая итерационная теория
Теория анизотропных оболочек, которая излагается в настоя щем параграфе, условно названа новой итерационной теориёй. Она базируется на предположениях (см. введение, § 4, п. 5), ко торые аналитически представляются следующими приближен ными равенствами:
т ..= |
т“„ |
т„. .-- тО |
Q -- лО |
(9.1) |
||
■«Т |
«г* |
Рт — |
&V |
Т— |
V |
|
е„„ —- рО |
р — . /»0 |
р I |
лО |
|
||
— |
*г’ |
Эт — |
Рг’ |
Т — |
г’ |
|
где величины с нулевыми индексами представляют значения соот ветствующих напряжений и деформаций, найденных по класси
ческой теории. |
|
Согласно классической теории для напряжений тЦ |
и -° |
имеем формулы (1.17), (1.18), т. е. |
|
Х 1+ 1 * 2+ т ( т - т ‘К |
|
(9.2)
S 9] |
НОВАЯ ИТЕРАЦИОННАЯ ТЕОРИЯ |
133 |
И
= Z, + 1 Z . - J ( £ - Т*) JS КВ?„>,. + (Aw .,l -
- р ( т - т * ) ( М ' ? + М О .
где, как и раньше (рис. 31),
Х ^ ( Х +- Х - ) ,
х 2= х ++ х -
1
^ = т ( ^ + П , F2= F ++ F ~
Z ^ i F - Z - ) ,
z2= z +— z~.
(9.3)
_ /3
Входящие в (9.2) и (9.3) функции
Рис. 31.
<р0 (а, |3), ф0 (а, |3) характеризуют по перечные силы и с высокой точностью представляются формулами
(9.5)
Функции |
<р0, ф0 согласно формулам (5.4), (5.12), |
(5.13) |
могут |
||||||
быть представлены в виде |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
< Р о = - JS |
|
Г>(^се)1+ % |
h (B J + |
|
|
|||
|
+ l [ B i 2(Bn) ] - d^ i A B j w |
0, |
|
|
|||||
|
1 ( д |
|
|
|
дБ |
|
» |
|
М |
|
- - Т В й |
1 * 7 « ^ |
+ £ |
г * ( V |
+ |
|
|
||
|
+ ^ И / 2(В22) ] - ^ |
/ |
2 (В 11) } Ы;о, |
|
|
||||
/ (П ч_g2fcT^ /1 |
1 м |
л |
. ?дц г а » ___L™±— |
|
|||||
I iK D i k t — и |
д§)~Г А * да |
d a]~ t~ А В |
dfi |
В да |
dpt |
|
|||
|
_ _ L |
M |
A |
l - L |
^ |
. r i / |
' - L |
A ' ) _ L _n\L |
|
|
A |
dp d a P ~ |
A [ _ ^ a |
\ ^ 4 da) < " £ 2 |
d p j ’ |
{ > |
|||
где w0=w0(a, |3)]— нормальное перемещение, определяемое клас сической теорией, Bik — известные коэффициенты (1 .11).
Для большей строгости напомним, что формулы (9.6) получены с точностью технической теории оболочек. Однако этой точности в формулах (9.6) вполне достаточно, чтобы их трактовать как формулы общей теории. В последующих выкладках функции ср0 и ф0 будут фигурировать в нерасшифрованном виде, так что при желании взамен (9.6) могут быть использованы более полные пред ставления этих функций.
134 РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. I
Моменты М® и М 2, входящие в формулу (9.3), определяются
с помощью известных соотношений упругости |
|
щ = а д + а д + а д . щ = а д + а д ? + а д , |
(9.8) |
где |
|
xi — |
1 |
d Г 1 du.(l\ |
|
|
А |
u |
da у |
|
да ^ |
||
v0 |
1 |
f |
1 du.0\ |
Х2--- |
|
д 1 |
|
|
u |
d8 J |
|
|
В ^ 1 |
||
1 |
|
du.0 |
Г d&, “ 0 |
I |
dk{ Щ |
|
ЛЯ'2 dp |
dp |
1 |
da A |
* |
dp в |
|
1 |
dfl1du.0 |
, |
дк2: "п |
. dk2 un |
||
Л^Я |
da |
da |
|
dp В |
1 da A л 2м/0» |
|
|
2 |
/d-wn |
1 |
d.4 du>n |
i |
|
de du.n |
|
|
|
|
|||
Т » = - |
\da dp |
A |
dp |
da |
■ я |
|
da dp ) |
+ |
|
|
|
|||
|
“ 17? |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
+ |
(&i |
й2) [ |
■Л |
|
|
d |
|
|
||
|
|
|
|
dp 'Э |
+ 4 da ( * ) ] • |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Dtk=h?ll2B№; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
UQ—UQ( а, р), v0=v0 (а, |
р) — тангенциальные перемещения средин |
|||||||||||||
ной поверхности, определяемые классической теорией. |
|
|||||||||||||
Подставляя значения |
касательных |
напряжений |
и |
xjJT из |
||||||||||
(9.2) |
в соответствующие |
уравнения |
обобщенного |
закона |
Гука |
|||||||||
(6), |
получим для деформаций сдвига |
е°т и |
|
|
|
|||||||||
|
|
' 4 = |
х * + |
Г х ' + т ( т - т ) ® * . |
) |
|
|
|||||||
|
|
4 = |
|
1" + |
т |
г ' + |
т ( т - 1 |
л) ф?’ |
I |
|
|
|||
где введены следующие, обычно принятые, обозначения:
X*=*a5BX1-j-a46Y1, Xf = |
a3SX2-j-a45Y2, Ф? == « 5s?o+ |
) |
/9 jn |
|||
Г |
= ан У1+ а45Х1, Y '= |
a44Y2 + a43X2, Ф ® |
= a44%+ |
a « « p j0. |
' |
|
|
Далее, согласно классической теории имеем для деформации |
|||||
выражение (1.20), т. е. |
|
|
|
|
||
= |
-j- (®13 Т\-f- a2.3^2 "1” а |
д ) + |
Т р |
4 “ а23^2 “Ь |
|
|
|
|
|
|
|
|
(9.12) |
|
( т - т * ) О» (W |
+ М Ч ) + « а ( 2 . + Т 2 -! • |
|
|||
где для внутренних тангенциальных сил и для крутящего момента, в наиболее простом варианте, справедливы следующие, неодно кратно приводимые, соотношения упругости:
Т \ = ^11е 1 ^12е"4 ~
. е0_[_ Г.._т<>. $а = а д + а д + с Обв 1
^2 = ^22®2 + ^12®1 + ^16“°. |
| |
(9 |
1 3 ) |
||
й » г - п |
а |
" с 1 П - n L П .о |
( |
V • |
/ |
= |
д + а д + а д |
|
|
|
|
$ 9] |
НОВАЯ ИТЕРАЦИОННАЯ ТЕОРИЯ |
135 |
Здесь наряду с (9.9) имеем также
(9.14)
1. Перемещения и деформации. В силу основной гипотезы
(9.1) для нормальной компоненты деформации е согласно (15) и (9.12) имеем
где |
|
|
(9.15) |
|
|
|
|
JT° — а13Т® |
а23 Т%-)- o.saS°, М° — а1ЯМ®-)- |
-f- а^Н°, |
|
0 ° = Х в [1 (в ь ) + щ ИФо>]. * ° = М * ? + |
КМ\. |
(9.16) |
|
|
|||
Интегрируя |
уравнение (9.15) по f в пределах |
от нуля до у |
|
и полагая, что при у= 0 u^—w (а, р), получим для |
нормального |
||
перемещения какой-либо точки оболочки |
|
|
|
|
» т= IP -f- К Г* -f-у2М* -f- if3К* -f- т*N*t |
(9.17) |
|
где введены следующие обозначения: |
|
|
|
|
|
|
(9.18) |
Очевидно, w=w (а, р) является искомым нормальным переме щением срединной поверхности оболочки.
Далее, в силу основной гипотезы (9.1) для поперечных сдви гов еат и получим согласно (15) и (9.10) следующие выраже ния:
(9.19)
136 |
РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК |
[ГЛ. I |
|
Интегрируя с учетом (17) и (9.17) полученные |
уравнения |
по у |
|
в пределах от нуля до у и полагая, что при х= 0 |
ил—и (я, |3), |
= |
|
= v |
(а, (3) с точностью (hkt)2, найдем для тангенциальных перемеще |
||
ний |
какой-либо точки оболочки |
|
|
(9.20)
Очевидно, и=и (я, (3) и v=v (я, (3) представляют искомые танген циальные перемещения срединной поверхности оболочки.
Рассматривая формулы (9.17) и (9.20), замечаем, что (в отли чие от всех ранее рассмотренных теорий) в новой итерационной теории геометрическая модель деформирования оболочки такова, что все компоненты перемещения любой точки оболочки зависят нелинейно от координаты у. При этом все искомые перемещения и (я, |3), v (я, |3), w (я, |3) и известные функции Т°,М 0,. . ., К*, N*, которые определяются согласно классической теории, являются функциями лишь криволинейных координат срединной поверх
ности а и р . |
|
|
|
Таким образом, при помощи соотношений (9.17) |
и (9.20) трех |
||
мерная задача |
теории |
упругости анизотропного |
тела сводится |
к двухмерной |
задаче |
теории оболочек. |
|
Имея значения иа, и^, и^, с помощью геометрических соотно шений (15) легко определить еще не найденные компоненты де
формаций ел, Ир, ивр и далее, согласно |
(6), представить все расчет |
||||||
ные напряжения посредством искомых функций и, v, w. |
|
||||||
В силу (9.17) и (9.20) |
деформации еа, е^, |
могут |
быть |
||||
представлены в виде многочлена по степеням у: |
|
|
|||||
«, = |
«! + |
F * + |
г Ч |
+ |
Т3Ч |
|
|
ep = |
s2+ |
TK2+ |
т Ч |
+ |
тЧ> |
|
(9.21) |
e«p= 0>+ Tx*+ T2v + f x-
9] |
НОВАЯ ИТЕРАЦИОННАЯ ТЕОРИЯ |
137 |
Здесь, в отличие от (7.8), мы ограничиваемся |
первыми четырьмя |
|
членами разложений, т. е. прибавляем к классическому разложе нию по одному четному и по одному нечетному по у члену.
Подставляя значения wa, соответственно из (9.20), (9.17) в соотношения (15) и сравнивая полученные при этом значения
деформаций еа, |
е^, |
|
с |
соответствующими |
представлениями |
||||||||||
(9.21), получим для коэффициентов разложений |
следующие |
вы |
|||||||||||||
ражения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 д и . |
1 дА |
|
|
|
|
|
А д / ц \ . В д ( v \ |
|
/ п 0 0 . |
|||||
В] ~ |
А да + |
А В д $ у |
+ |
* 1 ц ’ > е 2 ------------’ |
|
В |
|
+ |
А |
( ? Д |
в ) |
’ |
( 9 - 2 2 ) |
||
* _ _ |
, |
Л 2 Г 1 |
|
|
|
^ |
|
ф °1 _ 1 _ й ; |
7 * |
4 - |
^ |
|
|||
* 1 — * 1 + |
|
|
|
|
+ |
Т - А ~ д 7 + А В Щ Г Г ' |
|
|
|
||||||
_ |
„ . ■Vг А ± ( |
|
4 - L ± / И М 4 _ ± 1(ES Л _ |
|
|
|
|
(9.23) |
|||||||
ь ~ |
, ' r s L f i a p U / T |
а д а \ в ) Г г В д $ \ А ) ' ~ |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
А |
да |
\ |
В ) |
’ |
|
|
где, |
как обычно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
______ |
|
|
1 |
дА dw |
1 дк, . |
|
|
|
|||||
|
|
х ! |
А |
да \ Л д а ) |
АВ*д$ др |
Т 1 7 й + |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
+ |
А1 Urtlдк , |
|
|9 |
Х2 = |
---> |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
B ~ ^ V~ |
k^W’ |
|
|
(9.24) |
|||||
|
|
|
|
|
d0-w |
1 дА dw |
1 дВ dw |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
А В V да д$ |
А д$ да |
|
f )+ |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
В да д'$ |
, |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
+ |
(К - |
*i) [| |
| |
( i ) - |
1 й ( £ ) ] , |
|
|
|
|||
и, далее, для коэффициентов разложений при у высших степеней:
__ |
|
ь, у/________________ _________ /к__ ^ Ф °1_________ |
|||||||||||||
’ ll — |
— |
« |
Л |
1 6 1*1 А |
да |
А д а ф 1 |
' 9 |
|
^ А В |
Ж |
® |
2] |
|||
|
__ |
4 |
д /1 |
да/ |
__?.2у» |
1 |
дГ* |
I /.л/* |
Г |
|
|||||
|
|
|
2Д<?ЛЛ |
|
Ali |
2ЛЯ2^ |
^3 т М * |
+ |
|
||||||
■ |
1 |
/ 1 |
д Х ' 1 |
1 ^ |
у |
Д |
1 _ / г. |
4 д Х * |
1 dki |
у |
Д |
, |
|||
|
2 h \ A да |
А В д^ 1 ) |
2 \ г А да |
А да Л ) > |
(9.25) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
&2 |
1 |
ЗА |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
Jfi Ip- х ’ |
^2 = |
|
|||
V |
|
^1 + ^2 . |
—\[2к |
к 1—— ■ |
—(—дА.ь |
d |
f |
_L |
|||||||
|
|
|
2 |
• |
1 6 |
^ |
2 |
|
l} B д? |
В |
U |
d(i k l ‘ |
r l + |
||
+ < 2* = . - * > ) r S - r ( s - 5 ! * . + & ) « ] -
138 РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК
|
|
1 д / 1дТ*\ |
1 дА дТ* |
1 д |
|
|
|
|||||||
|
2Вар\Л да)' 2А*Вар |
да |
2А да'( г |
9 |
+ |
|
||||||||
|
|
+ n [ £ < W - a ' ? + r ^ r ] + |
|
|
||||||||||
|
|
_ i _ ir ± / d ? L _ ± d i Yi\A_L(dH . ___L£® у Л 1 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Add-^J^A^da |
В да 1 |
) |
||||||
~~ |
1 1дФ$ |
|
1 1 дА ф0 |
|
1 д /1 дМ*\ |
|
|
|
||||||
6 |
А да |
|
6 ЛВар ®2 |
, |
ЗЛ а Д |
л |
да |
|
|
|
||||
|
|
1 |
дАдМ* , 1 |
1,л\ |
1 дАдТ* , |
|
||||||||
l i t |
3 А В * 3 $ а р + 2 ^ + 3 |
К* ) А В 2 д$ а р + |
|
|||||||||||
1 <?/ 1дТ*\ |
1 1Й] дТ*_I |
/Т£*______ |
|
|||||||||||
+ |
3 k l A а Д л |
д а ) ^ 6 А * да да |
^ |
+ |
А 1А |
|
||||||||
|
|
* ( и __ 1 ь \_1_ — V ' — |
X * |
|
|
|||||||||
|
|
' 5 Р |
|
3 й*/л в а р * |
|
2 |
А |
да |
|
|
|
|||
|
|
|
|
_ |
1 (ь |
1 |
|
1 1дк\ ~erj |
|
»2 = |
|
|||
|
|
|
|
|
ЗА Г 1А да |
|
"2 А д ! |
) . |
|
|
||||
|
i r d A /ф?\j - d |
d /££\1 _ |
J_ ± (l_ dM*\ | |
|
||||||||||
|
' 6 LB |
Зр\Л/+Л аДв/] |
ЗВйДл да)~' |
|
||||||||||
|
|
|
, |
|
1 алал/* . |
|
1 |
а*! дт* |
|
|
|
|||
|
|
|
' |
зл-’в ар |
аа ~блв ар аа |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
1 |
а / 1 |
ал/*\ . |
1 |
дв дм* . |
|
|
|
|||
|
|
|
|
злаДв ар ) |
•"зав2да ар |
|
|
|
||||||
|
+ 6ЛВ аа |
ар г 2 (К2 Т |
з |
|
<эДл |
да ) |
|
|||||||
|
|
A; |
l |
длдт* . |
1 /. |
|
. |
1 . \ 1 а /1 аг*\ |
|
|||||
|
QKi AW ap л Г + Т ^ |
+ т Ч г й С в - а р ) |
|
|||||||||||
|
2 . |
i asar* |
_ L f _ |
L |
d |
/Ь _V i/ b\ |
l _aL_x; |
|
||||||
|
' з *2лfl2 aa |
ap ’ |
A|_6Bар |
|
> |
2K*B |
ap + |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
ay' |
|
+ 1 *. ; r s £ x ' ] + T [ n s < w 4 ^ £ + |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\l_h _J_£® v /1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T" 3 |
K*ABda |
J' |
|
[ГЛ. I
(9.25)
(9.26)
He выписанные здесь коэффициенты разложений е 2 ). • •> могут быть получены из этих формул путем круговых подстановок.
Рассматривая коэффициенты разложений (9.22) — (9.26), за мечаем, что, если даже ограничиваться первыми двумя членами разложений (9.21), т. е. останавливаться на уровне принятых в классической теории разложений (1.5), мы не получим резуль татов классической теории, ибо коэффициенты разложений (9.23)
9] |
НОВАЯ ИТЕРАЦИОННАЯ ТЕОРИЯ |
139 |
принципиально отличаются от соответствующих коэффициентов классической теории. Здесь коэффициенты х*, т* наряду с обыч ными членами, представляющими изменения кривизны и круче ние срединной поверхности оболочки, содержат новые элементы, которые происходят от поперечных деформаций е е ^ , ег
2. Напряжения в оболочке, внутренние силы и моменты. Решая уравнения обобщенного закона Гука (6) относительно расчетных напряжений и используя формулы (9.1), получим
|
°а = |
В |
П ( ба |
а 13°у) Ч ~ В 12 ( бр |
a 23°j) Ч ~ В 16 ( в а$ |
^ЗС3?)» |
| |
|||||||||
|
— В |
\2 (ба |
а 13°у) Ч ~ В 22 (б3 |
а 23°*) ~Ь -®20 (б«р |
а 36°*)> |
| (9.27) |
||||||||||
|
|
|
(еа — Й13°?) + 5 2б (ер — а 2за?) + |
^66 (евр — а 3б°?)> |
|
|||||||||||
где для коэффициентов Bik имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
B \ \ = = { a 2sP'№ |
а 1б) ^ |
^16 = = ( а 12й 26 |
а 22а ы ) ^ |
|
|
|||||||||
|
|
В22= |
(<2цаб6 |
а1б) ^ |
^26 — (P'ViP'K |
а11а2й) ^ |
» |
(9.28) |
||||||||
|
|
■ ®00= |
(а11а22 |
®1г)^ |
-®12 ~ (а16а26 |
®12acc) ^ lj |
||||||||||
|
|
|
||||||||||||||
|
|
Q = |
(апа22 |
af2) й6(;-j- 2а12а16Й2б |
ана2в |
a22ai6- |
|
|||||||||
Подставляя в (9.27) значения |
деформаций ea, ер, еар |
и нормаль |
||||||||||||||
ного напряжения |
соответственно из (9.21) |
и (9.3), получим со |
||||||||||||||
гласно |
(9.16) |
следующие выражения: |
|
|
|
|
|
|||||||||
aa = |
В иаj -f- B l2d2+ |
5 10a' -f- x (5 nbj -f- £ 12й2-f- B wb’) -f- |
|
|
||||||||||||
+ |
T2(Buci |
|
^ i2c2"f~ Bi6c0 ~f~T3C^n^i "f- -®i2^2 |
^ie^0 » |
|
|||||||||||
ap = |
■S22a2+ |
-®12а1+ |
^26^ + |
T (^22^2 + |
-®12^1 + |
В^Ь1) -f- |
|
(9.29) |
||||||||
-f- T2(-®22c2+ |
B nci -f- В 2зс') ~h T3 (B 22d2-f- B l2dx-f- B 26d'), |
|||||||||||||||
|
||||||||||||||||
\(3= |
B ita i + |
B 23a 2 + |
B <xa ' + |
T (*iA |
+ |
B 2&h + |
B mb ') + |
|
|
|||||||
~f~ T2(-®16C1_f'-®26C2_f'^66C,) -f'T3(-®l6^1 "f~ B 2a^2~h B 36^')' |
|
|||||||||||||||
где введены следующие ооозначения: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
а{ = |
е. |
|
ai3 (Z : |
^ К |
, а1= |
ш |
|
аж( Zг |
^ |
, |
|
||||
|
* * = < - * » ( т Ч » - |
|
|
|
|
|
|
|
|
(9.30) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
с1= V |
— аж^К°, |
|
|
||||||
|
ci = 7 li — я . - з ^ 0’ |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
^ = |
|
|
|
|
|
^ |
= |
Х |
- азв|<?°. |
|
|
|
|||
Таким образом, формулами (9.29) представляются расчетные напряжения в оболочке. Эти напряжения по толщине оболочки
140 |
РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК |
[ГЛ. I |
изменяются по нелинейному закону. Однако зачастую в формулах (9.29) можно ограничиваться лишь первыми двумя группами чле нов, т. е. можно принимать линейный закон распределения напря жений оа, Ор, тар по толщине оболочки.
Подставляя в (1.15) значения напряжений |
оа, |
|
и та(3, по |
||||
лучим для внутренних сил |
и моментов |
следующие |
выражения; |
||||
Т1— С11пг14~ С12т24~ C10r -f- к2(D11n1 4~ D12n2 -}- n,es), |
|
||||||
Tt = |
C2^n2~\-Cnm1-f- Сжг -f-fcj (D2^I 2 -f- Z)12Wi -f- D№s), |
|
|||||
= |
C66r -f- Cl6m1-f- Cxm2-|- k2 (Dms-f- D16n5-f- D^n^), |
|
|||||
S2— ^66r ~h Ciemi "f" C‘i6m 2 |
(n 66s -f- 0 |
1епг -f- D26n2), |
(9.31) |
||||
Mx = |
ПцИ! -j- D12n2 -{- Dlss -f- k2 (Duqt -f- Z)12g2 + |
D16p), |
|||||
|
|||||||
M2= |
D22n2 -j- D12nj -f- Dws -f- kj (D2Sg2 |
Dl2fj1 |
D2ep), |
|
|||
|
+ D16n1 D26n2 4- k2(Dmp 4- D16q1 -{- D№q^t |
|
|||||
H2 = |
Dms4~ Ag/Zj 4- Dxn2 |
kx {D66p 4- DltSl 4- D2$q2), |
|
|
|||
где введены новые обозначения:
m i = |
ai + |
|
г |
= |
« ' + |
|
|
|
» < |
= |
ь< + |
S = |
Ъ' + |
|
?* = «< 4 ~
р— « ' +
№. А*
12 |
‘ |
= |
s ‘ + |
l 2 |
|
Ы- |
с 1 = |
1 |
h 2 |
v |
|
12 |
1 |
~ |
ш Ч ~ f 2 |
||
Ш - |
|
= |
* |
1 |
0 |
20 |
ч |
* * + |
- 2 |
||
Ж - |
W |
II |
+ |
|
|
20 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
- ai3 { z ^
1*36 |
( ^ 1 |
I |
х |
" ) . |
|
Q. |
|
|
|
|
|
Ь 4 — |
а *’з ( т |
г |
. - |
- £ < ? * ) . |
(9.32) |
|
|
|
|
|
|
— |
«30 ( х |
г |
, — |
|
|
|
|
|
|
Ж - |
с < — |
|
. ЗА2 |
|
|
|
|
_____ L |
£ < Л |
|
|
|
|
«<3 ^ |
|
|
|||
20 |
|
20 714 |
|
|
1 |
5А |
Л |
||
20 |
с ' ■ |
|
£ |
- |
«30 ( ^ 1 |
' |
|
5А |
/• |
|
|
|
|||||||
Ж |
II |
3 |
1 > |
|
|
|
____ L я |
0') |
|
Внутренние поперечные силы Nx и N 2должны быть определены из последних двух уравнений равновесия, которые совпадают с со ответствующими уравнениями равновесия классической теории (1.21). Укажем также, что, согласно исходным предположениям (9.1), поперечные силы могут быть приняты равными, с достаточно высокой точностью, поперечным силам классической теории, т. е.
N ^ N », N2=N°.
Полученные соотношения упругости достаточно компактны и могут быть использованы в последующих выкладках. Легко за метить, что они тождественно удовлетворяют шестому уравнению равновесия.