книги / Метод крупных частиц в газовой динамике

вий), внутри граничной ячейки может быть определено положение поверхности, тела. Таким образом, размеры дробной ячейки находятся, исходя из значений газодинамических параметров в потоке и в фиктивных граничных ячейках.

Отсюда следует, что для задач со вдувом при надлежащей постановке краевых условий ячейки, через которые реализуется вдув (отсос) струи с поверхности тела, могут рассчитываться по формулам для целых ячеек. При, этом на поверхности, соответствующей границе тела, будут с необходимой точностью выполняться граничные условия (3.38).

Аналогичные рассуждения можно провести и для поверхности тела, на которой формулируются условия другого типа. Например, для условий при­ липания граничные условия следует ставить так, чтобы в любой точке поверх­ ности тела выполнялось

w = 0(/i2), v = 0(h*),

а для условий непротекания —

Wn = О (/I2), WX = WTQ+ 0 (/ia) и т. д.

Так моделируется граница тела. Разностные краевые условия для вели­ чин с «волнами» конструируются при этом с учетом расщепления. После по­ становки граничных условий производится сквозной счет по единым формулам для целых ячеек во всех точках расчетной сетки (в том числе и на границе о телом).

Таким образом, новая методика расчета граничных ячеек заключается в- надлежащей формулировке краевых условий для дробных ячеек и в расчете по­ следних по единому алгоритму для целых ячеек, приведенному в § 1 настоящей главы. При этом примерно вдвое сокращается объем программы и заметно* уменьшается время счета. Такой подход кажется особенно оправданным при рассмотрении тел сложной, формы и для пространственно-трехмерных задач. [213, 216, 218, 220 и др.].

§4. Консервативный метод частиц в ячейках

1.На основе метода крупных частиц можно построить, как частный случай,, численные схемы и для дискретной модели частиц [23].

Вконсервативном методе частиц [436] сплошная среда моделируется; совокупностью точечных частиц фиксированной массы, обладающих опреде­ ленными значениями импульса и энергии. Такое множество частиц представ­ ляет собой лагранжеву сетку. Параллельно с ней исследуемую область по­ крывают неподвижной эйлеровой сеткой — на ней и определяются поля всех

газодинамических величин. Лагранжевы частицы движутся, как это обычно принято, через неподвижную эйлерову сетку. При этом считается, что пока частица находится в какой-либо эйлеровой ячейке, ее параметры определяются соответственными газодинамическими параметрами данной ячейки. Ограни­ чимся здесь описанием основной идеи такого подхода.

Пусть каждая частица обладает фиксированной массой т , импульсом m W и полной энергией Е. В качестве эйлеровой сетки примем прямоугольное раз­

биение области с шагами Ах, Ау* Поскольку сплошная среда заменена ансамблем частиц, обладающих

определенной массой, то уравнение неразрывности из рассмотрения исклю­ чается, так как закон сохранения массы выполняется автоматически. Каждый расчетный цикл, осуществляемый за время Aty разбивается, как обычно, на три этапа путем расщепления исходных дифференциальных уравнений.

дают со схемами эйлерова этапа метода крупных частиц. Здесь вычисляются промежуточные параметры потока в предположении отсутствия потока массы частиц через границы эйлеровых ячеек. Поле плотности р при этом предпола­ гается «замороженным». Следовательно, изменение газодинамических величин происходит только за счет сил давления, поэтому в (3.1) опускаются все члены

At каждая частица, находящаяся в момент tn в ячейке (i, /), пройдет расстояние

Аг = (/•« ?,/+ /•» ?,/) At.

Новые координаты частицы теперь определятся так:

x ~ i - Ах,

(3.40)

y j= i - b y ,

можно определить, остались ли частицы в прежней ячейке или перешли в другую (и в какую именно).

Поток массы AM '1 через границу эйлеровой ячейки (3.40) определяется

•числом частиц, пересекших эту границу за время At: ДМя = 2=Ьт 1*- Здесь знак

i

плюс относится к частицам, пришедшим в данную ячейку извне, знак минус —

кчастицам, ушедшим из нее.

За к л ю ч и т е л ь н ы й э т а п . Данный шаг консервативного метода

частиц полностью совпадает с соответствующим этапом метода крупных

Рис. 3.6. Задача о распаде разрыва (расчет методом крупных частиц, /=15AQ.

частиц. На основании законов сохранения вычисляются окончательные значе­ ния параметров потока в новый момент времени t+ A t. При этом предпола­ гается, что, переходя из одной ячейки в другую, частица переносит свои зна­ чения массы, импульса и энергии.

34 МЕТОД КРУПНЫХ ЧАСТИЦ [ГЛ. III

вание ударной волны и контактного разрыва (движущихся направо), а также волны разрежения, движущейся налево.

На рис. 3.6 приведены профили плотности и скорости в момент t/A t= 15, полученные методом крупных частиц. Из поведения профиля скорости на рис. 3.6, б видно, например, что при переходе через контактную поверхность скорость не изменяется, что и следовало ожидать.

Рис. 3.7—3.8 иллюстрируют расчеты, выполненные консервативным методом дискретных частиц. Здесь показана динамика распада разрыва: на

здесь возникают флуктуации газодинамических величин. Их можно умень­ шить, если увеличивать число частиц в ячейке (ограничителем является объем машинной памяти). В расчетах, результаты которых приведены на рис. 3.7— 3.8, в начальный момент времени в левых 25 ячейках использовалось по 20 ча­ стиц в каждой ячейке, а в правых — по 4 частицы. Все частицы считались одинаковыми — масса каждой из них т = 0 ,2 5 .

Указанный подход, использующий дискретную модель сплошной среды, позволяет, таким образом, на основе метода крупных частиц получить кон­ сервативную версию метода частиц в ячейках.

Г Л А В А IV

ИССЛЕДОВАНИЕ ЧИСЛЕННЫХ СХЕМ МЕТОДА КРУПНЫХ ЧАСТИЦ

Займемся теперь исследованием полученных разностных схем метода крупных частиц — изучим здесь вопросы аппроксимации, образования меха­ низма диссипации (вязкостные эффекты схемы), устойчивости вычислений и т. п. Для этих целей весьма эффективным оказалось использование так назы­ ваемых дифференциальных приближений (д. п.) конечно-разностных уравяений *).

Для одномерных квазилинейных уравнений гиперболического типа ис­ следования в этой области были проведены Н. Н. Яненко и Ю. И. Шокиным 113, 27, 58—61, 235 и др.]. Как показал К- Хирт [25], вполне оправдано при­ менение метода дифференциальных приближений и для изучения свойств некоторых разностных схем, аппроксимирующих нелинейные уравнения (и, в частности, уравнения газовой динамики). Здесь строгого математического обоснования пока не имеется, и эта теория носит скорее эвристический харак­ тер, хотя практические расчеты показали ее эффективность [29, 62, 220].

Заметим, что с помощью использования аппарата дифференциальных приближений можно управлять свойствами консервативности [374, 350], ввести понятие инвариантности разностных схем [235, 354 и др.] и т. д.

Путем последовательного рассмотрения нулевого, первого и второго дифференциальных приближений оказалось возможным изучить все основные свойства полученных разностных; схем метода крупных частиц и выбрать наи­ более рациональные подходы для их конструирования [1, 22, 23, 29]. Деталь­ ный обзор состояния и развития метода дифференциальных приближений, а также анализ схем метода крупных частиц содержится в работах Ю. М. Да­ выдова [62, 213, 216—221, 301, 345—353 и др.].

§1. Аппроксимация уравнений

1.Введем здесь понятие первого дифференциального приближения, как это сделано в работах Н. Н. Яненко и Ю. И. Шокина [59—61 и др.].

Пусть Л(£, Ху т, hy Т) — разностный оператор, аппроксимирующий диф­

ференциальный оператор J& (tt х, *2>). Здесь

&>i}\ Т = { Т 0у'П}у <2>0 = d/dt\ Я>х = {д!дх1% . . %д!дхж)\ Т ^ { Т Ху...у T J ;

Т 0— оператор сдвига по /, Ту— оператор сдвига по Xj\ т, h= {hlf . . . , hs\ — •сеточные параметры.

*) Для простейших уравнений алгоритм первого дифференциального приближения впер­ вые был предложен в 50-х годах А. И. Жуковым 127]. Работа Ф. X а р л о у (Н а г 1 о w F. Н. Stability of Difference Equations. Selected Topics.—Los Alamos Scientific Lab. Rept. № LAMS — 2452.—Los Alamos: I960) была, по-видимому, одной из первых попыток применения первого дифференциального приближения разностной схемы, аппроксимирующей дифференциальные уравнения, для исследования различных свойств этой схемы.

Воператорном представлении будем иметь

**

вого порядка с m неизвестными функциями и s независимыми пространствен­

|и » « ( * ) |< [ 1 + 0 ( т ) ] |« » ( * ) |.

Норма понимается в смысле пространства L2.

Порядком точности разностной схемы (4.2) называется такое наибольшеечисло 5*, для которого все решения системы уравнений (4.1), имеющие непре­ рывные производные до (5*+1)-го порядка, удовлетворяют уравнению (4.2)' с точностью до. величин порядка 0 ( т ^ -1).

Если разностная схема (4.2) аппроксимирует уравнения (4.1) с первым порядком точности, то должны выполняться условия совместности

2 В а = Л УУкВа = А к (А = 1........ S), (4.3).

аа

где / — единичная матрица.

Условия (4.3) имеют весьма наглядную интерпретацию. Так, первоеиз них означает, что константа является решением данной системы уравнений, и т. д.

Если а принимает конечное число значений, то схема называется явнойу.

впротивном случае — неявной.

Вдальнейшем цри получении дифференциальных приближений будемиспользовать обычное в вычислительной математике предположение о том,.

что рассматриваемая функция имеет столько производных, сколько необхо­ димо по ходу рассуждений [222].

Гиперболическая форма (Т-форма) п. д. п . схемы (4.2) имеет вид

и п+1(х), ип(х+т%а) в ряды по параметру т в точке (х , t) и отбрасывания чле­ нов выше первого порядка по т.

Наряду с гиперболической рассматривается параболическая форма (17-

где С — матрица аппроксимационной вязкости, структура которой и опреде­ ляет диссипативные свойства схемы.

Практика показала, что можно рассматривать не все члены матриц Л, С, D. Обычно достаточно ограничиться исследованием диагональных членов матрицы аппроксимационной вязкости, которые и определяют в основном диссипативные свойства рассматриваемой схемы. При этом упрощении зна­ чительно сокращается объем выкладок, результаты же исследований для дан­ ного класса задач фактически не меняются. Такое упрощение мы и будем ис­

пользовать ниже.

Можно получить дифференциальные приближения и более высокого порядка. Для этого каждый член разностной схемы представляется как глад­ кая функция своих аргументов и проводится разложение в ряды Тейлора по

этом исходные дифференциальные уравнения, учет в разложении членов более высокого (&+1)-го порядка (k= 0, 1, 2, .) позволяет определить дополни­ тельные (к уравнениям) члены разложения, а следовательно, и структуру диф­ ференциального приближения k-то порядка (k-eo дифференциального прибли­ жения).

88 ИССЛЕДОВАНИЕ ЧИСЛЕННЫХ СХЕМ МЕТОДА КРУПНЫХ ЧАСТИЦ [ГЛ. IV

По своей сути, дифференциальное приближение занимает промежуточное место между исходным дифференциальным уравнением и аппроксимирующей его разностной схемой. Дифференциальное приближение имеет структуру дифференциального уравнения, но его коэффициенты зависят от параметров рассматриваемой схемы. Таким образом, нулевое дифференциальное прибли­ жение сохраняет информацию об исходных уравнениях, а дополнительные члены разложения более высоких дифференциальных приближений зависят от свойств разностной схемы [223]. Дифференциальная структура приближения облегчает аналитические исследования свойств разностной схемы (особенно вопросов устойчивости и образования диссипативного механизма), делает эти исследования более наглядными.

2. Обсудим вопрос о порядке аппроксимации исходной системы диффе­ ренциальных уравнений (3.1) разностной схемы метода крупных частиц (3.4) — (3.4'), (3.10)— (3.12), (3.25) — (3.25') [29,217, 219]. Будем считать, что общий порядок аппроксимации системы равен наименьшему порядку аппроксимации отдельных уравнений системы. Следует отметить при этом, что необходимо рассматривать аппроксимацию каждого уравнения на всех трех этапах сразу [386]. Суммарный порядок аппроксимации нельзя принять равным минимальному порядку аппроксимации на этих этапах, рассматриваемых от­ дельно, так как на каждом этапе аппроксимируются уравнения, отнюдь не совпадающие с исходными дифференциальными уравнениями системы (3.1).

Воспользуемся здесь введенным выше понятием дифференциального при­ ближения разностного оператора. Для определения порядка аппроксимации следует выписать нулевое дифференциальное приближение исследуемой системы конечно-разностных уравнений с оценкой порядка следующих членов. Если эта выражение совпадает с исходной системой дифференциальных уравнений с точностью до О (As"), то будем говорить, что система конечно-разностных уравнений обладает я-ым порядком точности по s [326].

Рассмотрим случай, например, когда поток газа течет слева-направо и снизу-вверх (рис. 3.2). Другие ориентации потока могут быть получены из вышеуказанной путем элементарных преобразований (поворот, зеркальное отражение) и поэтому не меняют существа дела.

Определим отдельно порядок аппроксимации для внутренних точек потока и для точек, находящихся у поверхности тела.

Выпишем вначале нулевое дифференциальное приближение уравнения неразрывности для внутренней ячейки поля в случае использования для

90 ИССЛЕДОВАНИЕ ЧИСЛЕННЫХ СХЕМ МЕТОДА КРУПНЫХ ЧАСТИЦ [ГЛ. IV

И вновь получим, учитывая условие др/ду=0, первый порядок аппроксимации

Покажем, что выражения, стоящие справа в фигурных скобках в (4.9)„ являются div (puW )+0(A /, Ах, А#).

Действительно,

dlv(puW) = 2 p u % + u * £ + u o & + pu2jj + p o ^ .

В силу граничных условий (4.8)

[ ° + f т+ °»4 л ]

Тогда из (4.7)

« Е М ? = «?. f i t i - A t [ { % - + div (Р“ W0}“ у+ О (At, Ах, At/)], (4.7')

т. е. уравнение для и и вблизи поверхности тела имеет первый порядок аппрок­ симации. Аналогичные выкладки, сделанные для уравнения энергии и вто­ рого уравнения импульса, приводят к тому же результату.

Здесь рассмотрен вопрос о порядке аппроксимации на границе с обтека­ емым телом в случае условий непротекания (4.8). Можно показать (выкладки здесь не будем приводить ввиду их полной аналогии), что и в случае условий прилипания разностная схема вблизи поверхности тела имеет также первый порядок точности.

Таким образом, порядок аппроксимации используемой разностной схемы метода крупных частиц равен единице во всей области течения: как во внут­ ренних точках, так и на границе с твердым телом. Эти результаты, как отме­ чалось, получены из рассмотрения нулевого дифференциального приближения с оценкой порядков следующих членов.

Сделаем здесь одно замечание. При расчете сложных задач газовой ди­ намики (например, для нелинейных уравнений в частных производных, при наличии сильных разрывов) использование схем формально более высокого порядка точности кажется нецелесообразным. Дело в том, что хотя в качестве одной из априорных характеристик схемы и используется погрешность