книги / Математика без формул

вами — ближайший родственник отношения равенства между числами. (У этого родства глубокие корни: ведь понятие натурального числа основано как раз на экви­ валентности множеств.)

Возьмем отношение по­ добия фигур на плоскости. Очевидно, каждая фигура подобна самой себе. Если одна фигура подобна дру­ гой, то вторая подобна пер­ вой. Если же одна фигура подобна второй,а вторая —

третьей, то первая и третья также связаны отношением подобия. Этими очевидными утверждениями мы выра­ зили тот факт, что отношение подобия фигур отличается свойствами рефлексивности, симметричности, транзи­ тивности.

Но отвлечемся от сугубо математических объектов — чисел, фигур. Закроем книгу по математике и раскроем, например, книгу телефонную.

Сколько здесь фамилий — множество! В прямом и математическом смысле слова. Есть здесь и уникальные экземпляры: Амемошкин, Балухатый, Винтайкин, Голо­ хвостиков... А есть и такие фамилии, которые встреча­ ются часто: Кузнецов, Петров, Смирнов.

Отношение «быть однофамильцем» мы и рассмотрим на множестве, перечень которого дан в телефонном справочнике.

Нетрудно проверить, что и это отношение подчиненотриумвирату все тех же трех свойств: рефлексивности, симметричности, транзитивности.

Количество примеров можно было бы приумножить — в этом нам помогла бы и живая жизнь, и абстрактная математика: отношение «быть на одному курсе» среди студентов вуза, отношение «иметь одинаковый остаток при делении на три» (или любое другое целое число) среди натуральных чисел, отношение параллельности среди прямых линий на плоскости...

Несмотря на глубокое несходство этих бинарных от­ ношений, каждому из них присущи все те же три свой­ ства: рефлексивность, симметричность, транзитив­ ность.

91

Всякое обладающее этими тремя свойствами бинар­ ное отношение принято называть отношением эквива­ лентности.

Говоря о важности этих отношений, достаточно ска­ зать: на тЬм или ином из них основана любая классифи­ кация, любая систематика, любойкаталог.

•

В театре — паника. До начала спектакля — два часа, а исполнитель главной партии, любимец публики тенор Самоцветов, откушавши чего-то прохладительного, вне­ запно потерял голос. Надо заменить его, но кем?!

Проблема, неожиданно вставшая перед администра­ цией театра, поддается математическому толкованию. Относится она к теории множеств. Ведь вся оперная труппа — это множество людей. Возможность замены одного исполнителя другим. — это отношение между элементами рассматриваемого множества, причем би­ нарное. Любитель математической четкости без труда придаст ему строгую форму: «х может заменить у» Свойства этого отношения легко выяснить, прислушав­ шись к разговору в дирекции jeaTpa, где лихорадочно подыскивается выход из создавшегося катастрофичес­ кого положения.

«Отоларинголога вызывали? Нет? Так вызывайте не­ медленно! Чем черт не шутит: укол, массаж — и Само­ цветов, возможно, заменит сам себя. (В этой шутке есть доля истины: отношение заменяемости рефлексивно.) Потом надо срочно выяснить,кого в последнее время заменял Самоцветов. Аркадина? Прекрасно! Значит, Ар­ кадин сможет заменить Самоцветова! (Заметим по по­ воду только что сказанного: отношение заменяемости симметрично.) Что?! Аркадин в гастрольной поездке? Тогда скорее наведите справки, кто когда-нибудь заме­ нял Аркадина. Не Петров ли?..» (Логика подавшего эту мысль ясна: если' Самоцветова может заменить Арка­ дин, а Аркадина — Петров, то Петров может заменить и Самоцветова. Иными словами, отношение заменяемос­ ти транзитивно.)

92

f

Итак, рефлексивность, симметричность, транзитив­ ность. Бинарное отношение заменяемости певцов пред­ ставляет собой отношение эквивалентности.

Следя за дальнейшим разговором в дирекции, мы бы познакомились со всеми тенорами труппы. В других случаях, если бы речь шла о'замене баса или сопрано, перед нами предстали бы все обладатели этих голосов.

Так через отношение заменяемости мы пришли к существующему в любой оперной труппе разбиению певцов по диапазонам голосов.

Случаен ли такой подход? Нет,'глубоко закономерен. Оказывается, всякое отношение эквивалентности, опре­ деленное на лкЬбом множестве, задает некоторое раз­ биение этого множества на подмножества. Причем эти подмножества попарно не пересекаются. Иными слова­ ми, ни один элемент множества не принадлежит сразу двум подмножествам. В то же время каждый элемент принадлежит хотя бы одному подмножеству. Эти два положения и составляют суть термина «разбиение», просторечивыми синонимами которого служат слова «классификация», «каталог» и т.д.

•

Появившееся в нашем рассказе понятие разбиения нетрудно пояснить новыми примерами.

Отношение «иметь одинаковый остаток при делении на три» разбивает все множество натуральных чисел на три подмножества: 3, 6, 9, 12... (они делятся на три без остатка): 1, 4, 7, 10... (при делении на три они дают в остатке единицу); 2, 5, 8, 11... (эти при делении на три дают в остатке двойку). Отношение параллельности раз­ бивает все множество прямых на плоскости на беско­ нечное число подмножеств, каждому из которых принад­ лежит совокупность всех попарно параллельных пря­ мых.

Для подмножеств, на которые некоторое множество разбивается тем или иным отношением эквивалентнос­ ти, есть особое название: классы эквивалентности. Зву­ чит оно, быть может, мудрено, но для его пояснения нетрудно подыскать и более наглядные слова.

93

Что такое, например, та или иная форма геометричес­ ких фигур? Один из классов эквивалентности, на кото­ рые множество фигур на плоскости разбивается отно­ шением подобия, не правда ли? Другой пример: направ­ ление. Это, если разо­ браться, — один из классов эквивалентности, на кото­ рые множество прямых на плоскости разбивается от­ ношением параллельнос­

ти.

В этом рассуж дении перед нами предстает еще одно практическое досто­ инство отношений эквива­ лентности. Рассматривая различные классы, на кото­ рые какое-то множество

разбито отношением эквивалентности, можно задаться вопросом: а чем же именно эквивалентны друг другу предметы одного класса? Путь обобщения, начатый с такого вопроса, в итоге приводит к абстрактному поня­ тию свойства, общего для всех предметов класса. В подобных случаях говорят, что понятию дано определе­ ние через абстракцию. Именно таким образом возника­ ют понятия направления, формы и т.д.•

•

Эквивалентность — весьма обобщенная форма ра­ венства. Когда говорят об эквивалентности предметов, подразумевают их сходство лишь в каком-то одном отношении (именно в том, которое далоповод сопостав­ лять предметы между собой). А поскольку сопоставле­ ние предметов некоторого множества можно провести по различным признакам, то различным получится в результате и разбиение множества на классы эквива­ лентности.

Ярый болельщик «Спартака» делит все человечество на приверженцев своей любимой команды и на тех, кто не разделяет его симпатий.

94

Регулировщик уличного движения подразделяет всех людей на тех, кто соблюдает, и на тех, кто нарушает.

И разумеется, каждое из этих разбиений человечест­ ва не совпадает с другими, поскольку предметы, све­ денные в классы эквивалентности по какому-то одному признаку, отнюдь не должны совпадать всеми другими свойствами. (Полное совпадение всех свойств — это весьма частное отношение эквивалентности. Оно назы­ вается тождеством и задает предельно мелкое разбие­ ние всякого множества: каждый класс эквивалентности при этом состоит из одного-единственного элемента.) '

Однако, коль скоро предметы какого-то множества в каком-то отношении объединены в один класс эквива­ лентности, с точки зрения этого отношения они нераз­ личимы, и каждый из них может быть заменен другим* там, где речь идет об этом отношении, выступая пол­ ноправным представителем своего класса эквивалент­ ности.

Когда в вычислениях нам встречаются дроби вида % или 4/i2 мы, не задумываясь, сокращаем их — заменяем % на Vs, 4/|2 на % и т.п. На каком же основании мы делаем это? На том, что результат любого арифметического вычисления не изменится, если всякую входящую в него дробь заменить пропорциональной (умножив или раз­ делив ее числитель и знаменатель на одно и то же число). Нетрудно показать, что отношение пропорцио­ нальности среди дробей — это отношение эквивалент­ ности. А поскольку, как только что говорилось, такая эквивалентность равнозначна заменяемости в арифме­ тических вычислениях, то это и позволяет упрощать их, беря вместо любой сократимой дроби наиболее просто­ го и удобного представителя того класса дробей, к которому она принадлежит: вместо %, %, 5/ш брать Уг, вместо 4/12^ 7/21, 40/12обрать У3 и так далее.

Но повторим, подобное отождествление возможно лишь с точки зрения арифметических действий. Не прав будет тот, кто вместо адреса «Новослободская 4/i2» за­ пишет «Новослободская %». На множестве адресных дробей нет других отношений эквивалентности, кроме тождества.

95

Мы так долго говорили об отношениях эквивалентнос­ ти, что читатель, вероятно, станет искать их свойства в любом бинарном отношении.

Разумеется, такой поиск не всегда будет удачен. Возьмем, к примеру, отношение перпендикулярных

прямых. Ему несвойственна рефлексивность: ни одна прямая не перпендикулярна самой себе. Правда, с сим­ метричностью здесь все в порядке: если одна прямая перпендикулярна другой, то и вторая перпендикулярна первой. А вот с транзитивностью опять нелады: две прямые', порознь перпендикулярные третьей, между собой не перпендикулярны, а параллельны.

Еще пример: отношение делимости между числами. Оно рефлексивно (всякое число делится на себя), но не симметрично (поделив без остатка большее число на меньшее, мы не сможем сделать это поменяв их места­ ми).

Подобные примеры подтверждают очевидное сужде­ ние: отнюдь не всякое бинарное отношение — эквива­ лентность.

Однако проницательному читателю два последних примера подскажут нечто большее. Несимметричность рассмотренного там и тут отношения весьма строга: если один элемент находится в данном отношении' к другому, не одинаковому с ним элементу, то отсюда следует, что второй к первому в данном отношении отнюдь не находится.

Подобное свойство называется антисимметричнос­ тью.

Звучание у термина замысловатое, а смысл простой1 этим свойством обладает всякое отношение, с помощью которого в том или ином множестве устанавливается некоторый порядок.

Младенец, впервые увидевший матрешек, быстро по­ нимает: если одну из них можно вложить в другую, то

96

вторая в первую никак не войдет. Так выясняется тот порядок, в котором составляются матрешки.

Ребенок, даже еще не обученный правилам вежливос­ ти, но внимательный к происходящему вокруг, подмеча­ ет: вот из этих двух человек один при встрече с другим всегда здоровается первым; точно так же поступают и эти двое, и вот эти тоже... (Правда, замечает вниматель­ ный ребенок, есть люди, которые здороваются то так, то сяк, не обращая внимания, кто должен делать это первым.)

Школьник, изучающий правила вычитания на счетных палочках, видит: если из одного их количества можно вычесть другое, не получая в остатке пустое место, то наоборот вычитание уже не произведешь. Так постига­ ется порядок, в котором целые положительные числа выстраиваются в так называемый натуральный ряд: один, два, три, четыре, пять...

Итак, все перечисленные отношения, каждое из кото­ рых наводит порядок в своем множестве, обладают антисимметричностью: и отношение «х входит в у» между матрешками, и отношение «х здоровается пер­ вым с у» между людьми, и отношение «х меньше у» (х < у) между числами.

Но продолжим их рассмотрение далее. Если в одну матрешку входит другая, а в эту другую — третья, то третья войдет и в первую. Если одно число меньше другого, а это другое уступает по величине третьему,то первое также меньше третьего. То же самое можно сказать про любое отношение старшинства, которое устанавливается между людьми.

Во всем этом мы узнаем хорошо знакомое нам свой­ ство транзитивности. Оно также весьма закономерно связывается с представлением о каком бы то ни было порядке, старшинстве, подчинении, иерархии. Что полу­ чится, если при установлении порядка забыть про тран­ зитивность, легко вообразить, вспомнив принцип сре­ дневековых феодалов: «Вассал моего вассала — не мой вассал». Эта нетранзитивная формула так и отдает бес­ порядками и распрями, которыми знамениты средние века.

9 7

После сказанного естественно поинтересоваться: ну а рефлексивность? Обладают ли ею анализируемые нами отношения?

Взяв две одинаковые матрешки, мы не сможем вло­ жить одну в другую. Ни про одно число нельзя сказать, что оно меньше самого себя. Стало быть, ни отношение «х входит в у» между матрешками, ни отношение «х меньше у» между числами рефлексивностью не облада­ ют.

А вот в отношениях между людьми бывает и по-иному. Глазами вышеописанного ребенка мы уже подметили: есть люди, которые при встрече не следят за teM, кто должен здороваться первым: порой тот опережает этого, порой наоборот. Причина подобного безразличия понятна: такие люди в каком-то смысле равны — по возрасту, по должности и т.п. Значит, отношение «х первым здоровается с у» рефлексивно.

Кстати, в мире чисел тоже есть подобное отношение. Выражается оно словами «меньше или равно». Это от­ ношение рефлексивно. Например, шесть меньше или равно шести (в формульной записи: б < 6). И так можно сказать про всякое число.

Мы приходим к выводу, что отношения, при/юмощи которых устанавливается порядок в том или ином мно­ жестве, бывают дйух видов.

Если бинарное отношение нерефлексивно, антисим­ метрично, транзитивно, то оно называется отношением строгого порядка. Его типичный пример — отношение «х < у».

Если бинарное отношение рефлексивно, антисиммет­ рично, транзитивно, то оно называется отношением нестрогого порядка. Его типичный пример — отношение

*х ^ у ».

Ивот какую еще деталь хотелось бы отметить: в каждом из двух отношений порядка, строгого и нестро­ гого, свойства антисимметричности проявляются посвоему.

При строгом порядке так: если один элемент находит­ ся в упорядочивающем отношении к другому, то отсюда вытекает, что второй к первому в этом отношении не находится. Скажем, если пять меньше семи, то отсюда следует, что семь не меньше пяти.

98

При нестрогом же порядке могут найтись два элемен­ та, каждый из которых находится в упорядочивающем отношении к другому. Но отсюда уже следует, что эти два элемента эквивалентны (в частности, равны) друг

другуТак было, как мы уже видели, с отношение «х первым

здоровается с у» между людьми: равенство по возрасту или по должности, как легко доказать, представляет собой отношение эквивалентности.

Еще отчетливее проявляется это в мире веществен­ ных чисел, если рассмотреть в нем отношение «х мень­ ше или равно у». Всегда можно подыскать два таких числа, что х < у и у < х. Вдумчивый читатель, конечно, догадывается, что такие два числа обязательно равны друг другу.

«Каждый Охотник Желает Знать, Где Сидят Фазаны». Эту фразу, вероятно, помнит всякий, кто когда-нибудь имел дело с красками и цветными карандашами. Она позволяет запомнить последовательность цветов в спектре. Их названия зашифрованы первыми буквами слов мнемонической фразы: К — красный, О — оранже­

вый, Ж — желтый и так далее.

За словом «последовательность» нетрудно разглядеть отношение строгого порядка. Действительно, отноше­ ние предшествования цветов в их спектральной после­ довательности нерефлексивно (ни один цвет не пред­ шествует самому себе), антисимметрично (если один цвет предшествует другому, то второй не предшествует первому), транзитивно (если один цвет предшествует другому, а тот — третьему, то первый предшествует третьему).

Читатель, знакомый с оптикой, понимает, что в основе упорядоченности цветов Лежит глубокая физическая за­ кономерность. Дело в том, что природа света Волновая.

99

Свет каждого цвета имеет определенную длину волны: красный — наиболее длинную для всех спектральных цветов, фиолетовый — наиболее короткую.

Длину световой волны можно выразить числом. Так от оптики, от отношения «х предшествует у» на множестве спектральных цветов.можно перейти к математике, к отношению «х меньше у» на множестве вещественных чисел, выражающих длины световых волн.

Разговор о цветах и числах мы завели отнюдь не затем, чтобы пояснить понятие порядка новыми иллю­ страциями. Есть у этих примеров .особенность, которую встретишь не каждый раз, когда на каком-то множестве устанавливается отношение порядка, строгого или не­ строгого.

Какие бы два различных спектральных цвета мы ни взяли, относительно них мы всегда можем сказать, что один предшествует другому. Какие бы два различных числа нам ни встретились, относительно них мы всегда можем утверждать, что одно обязательно меньше дру­ гого.

Говорят, что некоторое множество упорядочено неко­ торым отношением порядка, если любые два различных элемента этого множества обязательно находятся в дан­ ном отношении друг к другу: либо первый ко второму, либо второй к первому.

Итак, множество спектральных цветов упорядочено отношением «х предшествует у». Множество веществен­ ных чисел упорядочено отношением «х меньше, у»; это же отношение упорядочивает и множество рациональ­ ных, и множество целых, и множество натуральных чисел.

Начиная разговор про упорядоченность множеств, мы отмечали, что ее встретишь не каждый раз, когда на том или ином множестве устанавливается отношение поряд­ ка. Читателю могло показаться, что это зависит от при­ роды множеств: какому-то из них никак не придашь упорядоченнрсти, а иному она свойственна в силу само­ го его характера; например, «упорядоченным от приро­ ды» в представлении многих выглядит множество чисел.

Подобное мнение неверно. Когда какое-то множество упорядочено, то дело тут прежде всего в характере отношения порядка, которре на нем устанавливается. На

100