книги / Курс аналитической геометрии и линейной алгебры

2С>2 Гл. VIII. Аффинные пространства

Из теоремы 1 и табл 2 следует Теорема 3. Аффинный класс уравнения второго порядка с тремя

переменными однозначно определяется числями г, R, <ти 1].

Упражнения

1 . Приведите к каноническому виду уравнение 2(£2)2 - 3(£3)2 - 2л/3£'£2 - 4£*£3 + 4л/3£2£3 + 50£3 = 80.

2 . Не приводя уравнение к каноническому виду, определите класс по­ верхности второго порядка

(f1)2 + + 6£Ч3 - (£2)2 + 2СС + 4(£3)2 4 2^' = 0.

3. При каких значениях параметра а поверхность с уравнением

(С ? + (£ 2)2 + ( ^ ) 2 + 2а(£Ч2 + £ 2£ 3 + { V ) + 4a = О является эллипсоидом7

ГЛАВА IX

ОСНОВЫ ТЕНЗОРНОЙ АЛГЕБРЫ

§ 1. Тензоры в линейном пространстве

1, Вводные замечания. В предыдущих главах мы рассматрива­ ли в линейных или евклидовых пространствах различного рода объекты: линейные преобразования, билинейные функции и т. д. Изучение каждого объекта основывалось на определении, которое формулировалось без участия базиса. Например, линейное преобра­ зование определялось как такое отображение пространства в то же пространство, которое удовлетворяет определенным условиям ((1) §3 гл. VI). Таким образом, изученные нами объекты существуют и в принципе могут быть изучены без введения базиса. Для обозначе­ ния таких объектов мы будем пользоваться термином геометричес­ кий объект.

Хотя геометрический объект и существует независимо от базиса, бывает удобно, выбрав некоторый базис, задать объект относительно этого базиса при помощи упорядоченной системы чисел - компо­ нент объекта. Например, выбор базиса устанавливает взаимно одно­ значное соответствие между линейными преобразованиями и квад­ ратными матрицами. Элементы матрицы линейного преобразования можно считать компонентами линейного преобразования в рассмат­ риваемом базисе. Неизменность объекта при замене базиса приводит к изменению компонент.

Во всех встречавшихся случаях мы могли вычислить компоненты объекта в одном базисе через его компоненты в другом базисе и че­ рез элементы матрицы перехода от первого базиса ко второму. Такая зависимость называется законом преобразования компонент геомет­ рического объекта.

В этой главе мы рассмотрим важный класс геометрических объ­ ектов, называемых тензорами. Закон преобразования их компонент таков, что новые компоненты являются линейными однородными мно­ гочленами от старых компонент, а коэффициенты этих многочленов являются произведениями элементов матрицы перехода и элементов обратной к ней матрицы. Для тою чтобы точно описать этот закон и тем самым дать определение тензора, необходимо ввести некоторые обозначения.

2. Обозначения. Напомним, что матрицу размеров т х п можно определить как функцию, сопоставляющую некоторое число каждой

деке встречается дважды: один раз вверху, а другой раз внизу. Это обозначает сумму членов такого вида, написанных для всех значений повторяющегося индекса так, как если бы перед ним стоял знак 5^, а индекс был индексом суммирования, принимающим значения от 1

до п. Если описанным образом повторяются несколько индексов, то имеется в виду многократная сумма. Раньше мы постоянно сталки­ вались с подобными суммами, но писали знак суммирования. Теперь мы этого делать не будем. Например, формулы

ли каждому базису сопоставлена (р + д)-мерная матрица порядка п. При этом, каковы бы ни были базисы е и е', соответствующие им

обратной матрицы.

Элементы матрицы, соответствующей некоторому базису, назы­ ваются компонентами тензора в этом базисе. Число pH- q называется

валентностью тензора, a q и р соответственно ковариантной и контр­ вариантной валентностью.

Подчеркнем, что, несмотря на сложность суммы в правой части формулы (1), в каждое слагаемое входит единственная компонента тензора. Это означает, что новые компоненты являются линейными однородными многочленами относительно старых компонент. Слож­ ность формулы (1) связана с выражением коэффициентов этих мно­

гочленов через элементы матрицы перехода.

Два тензора равны, если они одного типа и имеют одинаковые ком­ поненты в некотором базисе. Тогда из закона преобразования выте­ кает, что равны их компоненты в любом базисе.

Для любой (р + д)-мерной матрицы и любого базиса е найдется тензор типа (р, </), который в базисе о имеет эту матрицу компонент. Его компоненты в остальных базисах могут быть найдены с помощью формулы (1).

Пример 1. Вектор является тензором типа (1, 0). Действитель­ но, если задан вектор, то каждому базису соответствует одномерная матрица-столбец. При этом компоненты, соответствующие разным

компонент. Каждый тензор данного типа раскладывается, и притом однозначно, по выбранным нами тензорам (коэффициенты разложе­ ния равны компонентам данного тензора). Таким образом, размер­ ность пространства тензоров тина (р, д) равна np+q, и предложение доказано.

стве J£f. Напомним, что как раз таким способом мы построили ба­ зис в сопряженном пространстве JS?* —пространстве тензоров ти­ па (0,1) --- и назвали его биортогональным исходному базису в JSf. Теперь для пространства Sf мы имеем бесконечную последователь­ ность линейных пространств, связанных с ним так же, как j£?*: как только выбран базис в во всех этих пространствах также появля­ ются базисы.

5.Умножение тензоров. Пусть А — тензор тина (р, д), а В —

тензор тина (г, ,*). Произвольному базису е мы можем сопоставить {Р+ Я+ г + а)-мерную матрицу, составленную из произведений каж­ дой компоненты А на каждую компоненту В. Эти произведения упо­ рядочим, записав сначала индексы, относящиеся к А, а затем индек­ сы, относящиеся к Б, так, как показывает формула

тензор типа (р + г, q -f а).

Доказательство мы проведем для случая тензоров типов (1,3) и (0,1). В общем случае доказательство отличается только более гро­ моздкой записью. Выразим компоненты тензоров А и Б в базисе е' через их компоненты в базисе е:

т. е. величины yj*h преобразуются при замене базиса как компоненты тензора типа (1,2).

Определение 1. Тензор, построенный в предложении 3, назы­ вается произведением тензора А на тензор В и обозначается А 0 Б.

Пример 10. Рассмотрим две линейные функции f и h на jSf и сопоставим каждой паре векторов х и у число f(ж)Ь(?у). Пусть в не­

Ь(х,у) = f(a*)h(y) = {<р£*)(цкПк) = ( ^ ) S Y ',

поскольку при перемножении многочленов каждый член одного со­ множителя умножается на каждый член другого. Итак, построенная

линейная функция, т. е. тензор типа (0,2). Он является тензорным произведением тензоров, соответствующих f и h. Мы можем напи­ сать Ь = f <g) h, или, в компонентах, Д* = <pipk-

Тензорное произведение не коммутативно. Это хорошо видно на предыдущем примере. Пусть Ь* = h®f. Тогда Ь*(ж,у) = h(x)f(y) = = Ь(у, х), т. с. это будет другая билинейная функция, если только функция Ь не симметричная. Посмотрим на то же самое с точки зре­ ния компонент. Конечно, = РкЩ- Это значит, что Д-* = (3^: мат­ рицы билинейных функций отличаются на транспонирование, В * = = ВТ . Они совпадают, если —рцр^ = 0 для всех i,k. Равенст­ во нулю всех этих детерминантов равносильно пропорциональности коэффициентов линейных функций f и h.

И в общем случае множество чисел, являющихся компонентами произведения тензоров, не зависит от порядка сомножителей, но упо­ рядочиваются эти числа по-разному в зависимости от порядка сомно­ жителей.

Предоставим читателю самостоятельно убедиться, что умножение тензоров ассоциативно и дистрибутивно по отношению к сложению. Легко заметить также, что произведение тензора на число совпадает с произведением на тензор типа (0,0), имеющий это число в качестве компоненты.

Предложение 4. Любой тензор типа (p,q) раскладывается в линейную комбинацию произведений, в каждое из которых входит р векторов и q ковекторов.

Для доказательства покажем, что произведениями требуемого ви­ да являются тензоры, из которых в предложении 2 был построен ба­ зис в пространстве тензоров тина (/>,<?). Мы сделаем это для тензоров типа (2,1), поскольку в общем случае рассуждение аналогично.

Пусть тензор Q таков, что в базисе е его компонента 0р = 1, а остальные компоненты равны нулю. Рассмотрим векторы базиса е2, ез и ковектор р1, входящий в биортогональный базис. Векторы е-2 и е.3 имеют компоненты (0,1,0, ...,0) и (0,0,1,0,...,()), а компоненты ковектора — (1,0,..., 0). Поэтому произведение Q = ® е3 ® р1 имеет только одну компоненту 0р, равную 1, а все остальные его компо­ ненты равны нулю. Точно так же утверждение доказывается и для остальных тензоров, составляющих базис в пространстве тензоров рассматриваемого типа.

6. Свертывание. Рассмотрим множество элементов s-мерной матрицы, для которых все индексы, кроме некоторых двух, имеют фиксированные значения. Это множество образует двумерный слой — квадратную матрицу. Таким образом, вся матрица распадается на двумерные слои, соответствующие выбранной паре индексов. Всего таких слоев столько, сколько комбинаций значений могут принимать остальные $ —2 индексов, т. е. п*~2.