книги / Теория оптико-электронных следящих систем

лы, а также комбинацию из нескольких символов, т.е. печатать на одном месте несколько символов, но это сильно усложняет программы вывода на печать. На рис. 3.25 приведена распечатка многоуровневого нормального поля.

В другом методе многоуровневое поле выводится на перфокарты. Здесь полный диапазон яркостей разбивается на семь интервалов, Тминимальной яркости соответствует отсутствие пробивки, максимальной — шесть отверстий перфорации. Каждому элементу поля соответствует* опре­ деленный участок перфокарты. При большом размере поля оно выводится на несколько перфокарт, которые затем склеиваются и фотографируются. Полученное таким методом изображение двумерного поля приведено на рисх 3.26.

Рис. 3.27. Построение поля яркости в изометрии

Третий метод состоит в использовании графопостроителя для построе­ ния рисунка амплитуд поля в изометрии. Однако этот метод для оптиче­ ских полей используется довольно редко в связи со сложностью программ и менее наглядным представлением поля оптической яркости в виде прост­ ранственного рельефа. На рис. 3.27 представлено изображение двумерного поля яркости, полученное на графопостроителе.

Наиболее распространенным методом в настоящее время является печать двумерного поля на АЦПУ.

Таким образом, рассмотренные в этом разделе методы позволяют моде­ лировать любые флуктуации сигнала, встречающиеся при исследовании оптико-электронных систем.§

§ 3.6. Построение математической модели по экспериментальным данным

Оценки параметров модели. В предыдущих параграфах рассмотрено построение математических моделей оптико-электронных систем на основа­ нии известных принципов их функционирования. Таким образом строятся поэлементные функциональные модели. В практике часто бывают такие ситуации, когда функциональное устройство объекта неизвестно или очень сложно. В таких случаях объект рассматривают как ’’черный ящик”, у которого доступны наблюдению только входные и выходные сигналы. По результатам наблюдений этих сигналов нужно построить математиче-

251

скую модель объекта, т.е. дать его математическое описание, не касаясь механизма его функционирования. Кроме того, экспериментальные наблю­ дения над объектом нужно провести таким образом, чтобы при минимуме опытов получить максимум информации, т.е. описать объект с наименьшей возможной погрешностью,

Вкачестве объекта может быть использована поэлементная модель оптико-электронной системы. Тогда проводится так называемый математи­ ческий эксперимент для получения интересующих зависимостей.

Рассмотрим объект, выход которого зависит от ряда величин х г, ..., х п. Для оптико-электронных систем это могут быть коэффициенты усиления, постоянные времени, внешние возмущения. Выходной сигналу может быть выходным сигналом по угловой скорости, или быстродействием системы, или какой-либо другой физической величиной в зависимости от целей исследования.

Вдальнейшем переменные JC1S ..., хп будем называть входными контро­ лируемыми или независимыми переменными. Выходную переменную у будем называть зависимой переменной или выходом объекта, даже если она не обозначает буквально выход системы. В общем случае можно сказать, что между независимыми переменными и выходом объекта существует функциональная зависимость

где х = (д.1 , х2, ..., хп) т—вектор-столбец значений независимых переменных; т —символ транспонирования.

Зависимость у = у (х) неизвестна, ее нужно найти путем обработки экспе­ риментальных данных. Так как всякий эксперимент связан с появлением случайных ошибок, то при построении математической модели на основе экспериментальных данных необходимо использовать методы математиче­ ской статистики.

Наиболее часто при решении этой задачи применяют метод наименьших квадратов, позволяющий построить оптимальную модель объекта в смысле минимума ошибки оцениваемых параметров [84, 92]. Отметим, что экспе­ риментальные данные не могут дать ответ на вопрос о виде модели, поэтому математическая модель объекта обычно задается в виде полинома, вид которого выбирается из имеющихся физических представлений об объекте. Например, линейная модель имеет вид

где а/ являются неизвестными параметрами, оценки которых требуется найти путем обработки экспериментальных данных. В более сложных слу­ чаях используются квадратичные модели

y(af x) = а0 + ахх х +а2х 2 + ...+апх п + at i x \ +а22х 2 + ~ Л а ппх \ +

252

Реже применяются модели более высокого порядка. Модели полиномиаль­ ного вида имеют большое значение в связи с тем, -что с их помощью любая аналитическая функция у (а, х ) может быть описана как угодно точно.

Кратко модель будем записывать в виде у(а, JC), где a ~ ( a Q, a i ,..., а к ) т — вектор-столбец параметров модели. В дальнейшем будем рассматривать модели, линейные по параметрам aj, т.е. модели, которые можно записать в виде

В линейной модели вида (3.6.2) получаем следующие значения компо­ нент вектора / (х):

Для компонент вектора а будем различать действительные значения, которые мы не знаем, и оценки этих коэффициентов, которые будем искать, используя результаты эксперимента. Действительные значения

обозначим д, оценки —а. В результате опытов мы не можем найти действи­ тельные значения, а получаем только оценки, так как всегда имеются ошибки эксперимента. Тогда для оценки вектора выхода можно написать уравнение, аналогичное (3.6.6):

Эксперименты проводятся в N экспериментальных точках, т.е., другими словами, проводится N различных экспериментов. Опытные точки будем обозначать верхними индексами: х1, х 2,..., x N, т.е. это суть значения векто­ рах в 1,2,..., TV опытах. Каждая точка имеет координаты

задающие вектор-столбец независимых переменных в г-м опыте. Количест­ во координат к равно размерности уравнения модели или размерности пространства, в котором задано уравнение модели. Результаты наблюдений

в точках х1 будем обозначать у 1, тогда получим вектор наблюдений

253

Для повышения точности в каждой точке х1 может быть поставлено v па­ раллельных опытов. В этом случае в качестве выхода в каждой точке используется среднее значение

Задача состоит в том, чтобы на основе наблюдений (3.6.11) найти наилуч­ шие в определенном смысле оценки параметров модели а и выхода у.

Рассмотрим, что следует понимать под наилучшими оценками. Для этого сопоставим друг с другом экспериментальные результаты (3.6.11) и значения

Результат наблюдений У ’ в некоторой точке зависит от случайной ошиб­ ки 7 *, равной

Здесь черта сверху, как и выше, означает истинное значение соответствую­ щей переменной.

Пусть результаты наблюдений удовлетворяют следующим условиям,

254

Это эквивалентно требованию равенства нулю среднего значения ошибок измерений:

где I —единичная матрица.

Наложим еще два условия на оценки а.

1. Оценка не должна содержать систематических ошибок, т.е. должна

Могут быть сформулированы и другие требования к оценкам, отличные от (3.6.26) и (3.6.27), но условие (3.6.27) является наиболее приемлемым, так как оно приводит к методу наименьших квадратов и при нормально распределенных ошибках наблюдений позволяет провести статистический анализ полученных оценок и проверить адекватность принятой модели.

Оценка а удовлетворяет условиям (3.6.26) и (3.6.27), если сумма

i = 1

Минимум выражения (3.6.28) находится путем приравнивания нулю част255

Полученные результаты для дисперсий а2 и Ол поясняют, почему матри-

ца С называется дисперсионной.

Входящая в формулы (3.6.38), (3.6.39) дисперсия ошибок наблюде­ ний о2 обычно бывает неизвестна и должна быть оценена с помощью полу­ ченных экспериментальных данных. Для этого используется остаточная

является несмещенной оценкой дисперсии ошибок наблюдений. Тогда фор­ мула (3.6.38) примет вид

При большой дисперсии ошибок наблюдений или слабом влиянии какой-либо контролируемой переменной некоторые оцениваемые коэф­ фициенты модели могут оказаться сравнимыми с ошибками наблюдений, или, как говорят, статистически незначимыми. Проверка статистической значимости коэффициентов проводится следующим образом [92].

Рассмотрим величину

Si

распределенную по закону Стьюдента с у степенями свободы. Эта величина

характеризует ошибку определения коэффициентов по отношению к дис­ персии опыта. Далее принимается нуль-гипотеза о том, что 0. Тогда из (3.6.43) получим

Знак модуля введен, чтобы рассматривать отклонения в обе стороны от нулевого значения. Далее задаемся вероятностью Р принятия нуль-гипотезы и по таблицам распределения Стьюдента находим соответствующее значе­ ние t, обозначив его гкр. Если выполняется условие

то принимается нуль-гипотеза и соответствующий коэффициент считается статистически незначимым. Обычно задаются не вероятностью Р, а уровнем значимости а = 1 —Р и выбирают его в пределах а = 0,05 -г0,1. Величина а означает величину вероятности отвергнуть нуль-гипотезу, когда она на са­ мом деле верна, т.е. принять незначимый коэффициент за значимый.

Если при проверке значимости какой-либо коэффициент оказался незна­ чимым, то он исключается из уравнения модели. Но при этом необходимо, используя прежние результаты наблюдений, пересчитать все остальные оценки коэффициентов, так как они взаимосвязаны, поскольку опреде­ ляются системой уравнений. При этом будут новые матрицы / (х), F, С.

П р о в е р к а а д е к в а т н о с т и м о д е л и . Выше считалось, что вид модели (линейная, квадратичная и т.д.) выбран правильно. При невер­ ном выборе модели оценки коэффициентов, рассчитанные по методу наименьших квадратов, в общем случае оказываются смещенными, т.е. среднее значение коэффициентов не равно истинному значению:

Такая модель называется неадекватной и должна быть изменена.

Для проверки гипотезы об адекватности модели нужно сопоставить достигнутую точность с ошибками наблюдений. Если ошибки модели превосходят ошибки наблюдений, то модель является неадекватной, В этом случае уже нельзя оценивать ошибку наблюдений по разности между результатом наблюдений выходной переменной и результатом ее расчета по модели, так как оценка выхода оказывается также смещенной:

М * У 1. (3.6.47)

Поэтому дисперсия ошибок наблюдений может быть оценена лишь по ре­ зультатам нескольких параллельных опытов, проведенных в каждой экспериментальной точке. Расчет коэффициентов производится с исполь­ зованием средних значений для каждой экспериментальной точки согласно (3.6.12).

Для проверки гипотезы адекватности сравнивают две суммы квадра­ тов [92].

258

1. Сумма квадратов, характеризующая неадекватность модели:

Эта сумма зависит от разности между наблюдаемыми и рассчитанными по модели значениями выходной переменной.

2. Сумма квадратов, характеризующая ошибки наблюдений:

Сумма Se состоит из vN слагаемых, между которыми существует толь­ ко N линейных связей с учетом (3.6.12). Поэтому Se имеет

степеней свободы, а оценка дисперсии единичного наблюдения определяется выражением

Дисперсия наблюдений по v параллельным опытам в соответствующее число раз меньше дисперсии единичного наблюдения, т.е.

которое является случайной величиной, имеющей распределение Фишера, 17* 259

или F-pacnpeделение, со степенями свободы </>х и </?2- Далее поступают так же, как при проверке значимости коэффициентов. Задаются уровнем значимости а = 0,05 -Ю,1, вычисляют вероятность Р = 1 —а и по табли­ цам F-распределения находят соответствующее критическое значение FKp. Если выполняется условие

(3.6.56)

то модель считается адекватной, или, точнее, гипотеза об адекватности модели не противоречит опытным данным. Заметим, что неравенство (3.6.56) имеет противоположный знак по сравнению с (3.6.45), так как здесь проверяется основная гипотеза, гипотеза об адекватности, а там — противоположная, нуль-гипотеза.

Планирование эксперимента для линейных моделей. П о л н ы е ф а к ­ т о р н ы е п л а н ы . Метод наименьших квадратов является оптимальным для заданной выборки наблюдений, т.е. дисперсия оценки коэффициентов модели является минимальной. Однако этот минимум зависит от выбора экспериментальных точек, так как изменяется дисперсионная матрица С. Поэтому возникает задача: найти такое расположение экспериментальных точек в пространстве контролируемых переменных, чтобы получаемая точ­ ность оценок была максимальной. В этом и заключается основное содержание теории планирования эксперимента.

Начало работ по планированию экспериментов было положено шотланд­ ским математиком Р. Фишером в 30-х годах нашего века для решения задач агробиологии. В настоящее время эта ветвь математической статистики находит широкое применение в различных областях науки и техники.

Применение методов планирования эксперимента требует проведения опытов в заданных исследователем условиях (что бывает не всегда возможно). Такой эксперимент называется активным. Активный экспери­ мент в сочетании с методами планирования позволяет получить требуемые результаты с минимальными затратами.

Центральным моментом планирования эксперимента для линейных мо­ делей является полный факторный эксперимент, идея которого заключает­ ся в изменении в каждом опыте нескольких независимых переменных, в противоположность однофакторному эксперименту, где в каждом опыте изменяется только одна переменная (фактор).

В планах экспериментов для построения линейных моделей контроли­ руемые переменные варьируются на двух уровнях Xmax и Xmin. Обычно вводят нормированные переменные

260