книги / Релятивистские многоволновые СВЧ-генераторы

Рис. 4.25. Схема возникновения когерентного

излучения при движении электронного пуч­

ка вблизи периодической поверхности.

со = кп1Т

мощных релятивистских усилителей и генераторов, имеющих от­ крытые электродинамические структуры, это понятие приобретает еще большее значение. В некоторых вариантах электродинамиче­ ских систем по существу реализуется режим когерентного дифрак­ ционного излучения. Под дифракционным излучением естественно понимать переходное излучение, возникающее при равномерном движении заряженной частицы вблизи пространственно-периодиче­ ских поверхностей. К черепковскому излучению в этом случае сле­ дует отнести излучение электронами поверхностных электромагнит­ ных волн [281, 291].

Когерентное излучение возникает при этом как коллективное возбуждение одной (при индуцированном излучении) или несколь­ ких (при многоволновом излучении) электромагнитных волн. В такой интерпретации многоволновому дифракционному излуче­ нию соответствует взаимодействие частиц с волнами, отраженными от периодической поверхности (рис. 4.25). Отметим, что каждая совокупность падающей и отраженной волн удовлетворяет одно­ родным уравнениям Максвелла. В реальной системе за счет конеч­ ности периодической структуры, неоднородности тока и других причин спектр продольных волновых чисел становится непрерыв­ ным. Те волны, которые попадают в полосу усиления (синхрониз­ ма), также участвуют во взаимодействии с электронами.

Еще проще многоволновый механизм черенковского излучения (рис. 4.26). Здесь также спектр продольных волновых чисел мо­ жет быть как дискретным, так и непрерывным. В частности, если система осесимметрична, то дискретный спектр обусловлен взаимо­ действием электронов с несимметричными собственными волнами (модами). Непрерывный спектр возникает по тем же причинам, что и при дифракционном излучении, при этом большое значение имеет конечность электродинамической структуры (см. рис. 4.26).

Рис. 4.26. Схема возникновения че­ ренковского излучения при движе­ нии электронного пучка вблизи пе­ риодической поверхности.

Примеры многоволновых дифракционных и черепковских генера­ торов приведены в гл. 5. Электродинамические системы могут быть плоскими или осесимметричными. Наличие переотражающей по­ верхности может изменить спектр продольных волновых чисел, од­ нако основные физические принципы многоволнового взаимодейст­ вия остаются прежними.

4.7. МЕТОДИКА ТЕОРЕТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ФИЗИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

В МНОГОВОЛНОВЫХ ДИФРАКЦИОННЫХ ГЕНЕРАТОРАХ

Многоволновые дифракционные генераторы (М ВДГ)-— это та­ кие устройства релятивистской СВЧ-электроники, в которых пучок взаимодействует с объемным полем электродинамической системы. При анализе процессов в МВДГ весьма сложно использовать траг диционные методы [276]. Для низкодобротных открытых резона­ торов применение известной теории возбуждения [277] затруднен но, так как собственные функции непрерывного спектра можно ввести только формально, и задача построения таких функций для конкретных систем практически невыполнима.

Другой особенностью МВДГ является соотношение между пе­ риодом решетки I и длиной волны излучения X (1 Ж ) , что по

терминологии теории дифракции волн на решетках соответствует многоволновой области, когда электронный поток может излучать несколько волн. Более того, могут реализовываться резонансные режимы излучения потока над решеткой, которые могут быть удовлетворительно описаны количественно только в рамках строгой теории дифракции [295]. Эти особенности требуют разработки но­ вой методики теоретического анализа процессов в МВДГ.

Ограничимся рассмотрением продольного взаимодействия элек­ тронного потока со структурой. Будем полагать, что продольное магнитное поле велико, поток можно считать замагниченным и устройство работает в режиме, далеком от циклотронного резонан­ са. Электронный поток полагаем бесконечно тонким с поперечными скоростями, много меньшими продольной. Как известно, такие по­ токи излучают электромагнитные волны, магнитный вектор кото­ рых направлен вдоль канавок периодической структуры, а элек­ трический перпендикулярен им. Когда поперечные размеры цилин­ дрических структур много больше длины волны, что заведомо вы­ полняется для МВДГ, анализ излучения прямолинейного трубча­ того потока может быть сведен к анализу излучения ленточного потока над плоской дифракционной решеткой. Поэтому все физи­ ческие закономерности взаимодействия электронного потока с элек­

жется на расстоянии Ъ от двумерной, однородной вдоль оси Ох пе­ риодической структуры длиной L с периодом неоднородностей I

чей на его вход монохромати­ ческого сигнала с частотой со или предварительной модуляцией по­

тока. В генераторе же часть излучения за счет внутренней обрат­ ной связи на объемных волнах поступает на вход системы и про­ блема фиксации частоты значительно усложняется. Однако, - зная характеристики усилителя с внутренней обратной связью, можно определить частоту самосогласованного процесса, обеспечивающего генерацию.

: Для анализа самосогласованного взаимодействия потока со структурой будем использовать итерационную процедуру для от­ крытых электродинамических систем [296], применяя на каждом шаге попеременно приближение заданного тока и заданного поля. Процессы в электронном потоке будем описывать в рамках метода крупных частиц, пренебрегая кулоновским взаимодействием.

уравнений Гельмгольца с соответствующими граничными условия­ ми на поверхности S и условиями излучения. Воспользуемся одним из асимптотических методов решения уравнения Гельмгольца:

лучей, соответствующих волнам с геометрией, характерной для си­ стемы. Кроме первичных лучей, распространяющихся в соответст­ вии с законами геометрической оптики, существуют дифракцион­ ные лучи и соответственно их конгруэнция. Основным физическим предположением является локальный характер дифракционных яв­ лений: конгруэнция изменяется за счет лучей, падающих на неод­ нородные участки тела, а также только касающихся его. В осталь­ ном пространстве лучи распространяются по законам геометриче­ ской оптики [299]:

(grad to )2 = <а2/с2; /(т ) =• / ( т 0) D (т )/D (т0) , где фо — эйконал, 7 — интенсивность.

Для квазпоптических ограниченных периодических структур уже ввиду условия (4.28) необходимо учесть еще один факт, вы­ текающий из теории дифракции на периодических решетках: при

фракционного излучения и рассеяния волн. Бесконечный набор за-?

L ~ 10Z [238], удобнее пользоваться не понятием луча и конгруэн-» ции лучей, а понятием волны с ограниченным фронтом. Для про­ стоты изложения в дальнейшем будем использовать понятие плос­ кой ограниченной волны, характерной для системы (см. рис. 4 .27). В случае плоской геометрии радиус кривизны волнового фронта ос­ танется неизменным вдоль всего оптического пути, и амплитуда со­ хранится вдоль направления распространения волны. Тогда множи­ тели, связанные с изменением сечения волновой трубки L ', опу­ стим, чтобы не загромождать изложение. Более точное условие не­ изменности размеров фронта и направления распространения вол­

где Хп и Хп — проекции краев фронта п-й волны на ось х . Не­ однородными участками, с точки зрения геометрической теории дифракции, остаются только границы системы. При попадании плоской ограниченной волны на боковые кромки электродинамиче­ ской структуры будут возбуждаться цилиндрические краевые волны:

Н г = Е <р= H 0zg (<р, ф0) exp [t (кг -f- я/4)]

*|/2яА:г

(4.29)

где 0П— угол от нормали, под которым падает волна; г, ср и z — локальные цилиндрические координаты, введенные на краях систе­ мы с центрами в точках 0 и L на оси х. Эти цилиндрические вол­ ны будут попадать на другие кромки и на периодическую решетку и давать дополнительный вклад в электромагнитные поля системы.

Электронный лоток, промодулированный па частоте со, излуча­ ет при движении вблизи плоской периодической решетки с перио­ дом I набор распространяющихся плоских воли (см. рис. 4.27) :

(4.30)

ÏI “ *0, ± 1 , ± 2 , . . . Удобнее пользоваться не углами распростране­ ния гармоник, а спектром продольных волновых чисел. Соотноше­ ние (4.30) определяет набор продольных волновых чисел

Образовавшийся в результате излучения потока набор плоских электромагнитных волн будет распространяться между решетками ( 0 < y < D ) и, дойдя до противоположной решетки, переотражаться от нее. Возбуждаемый в результате переотражепия спектр про­ дольных волновых чисел в общем случае может отличаться от пер­ воначального. Все закономерности дифракции волн и собственного поля на бесконечной решетке переносятся на конечную решетку достаточно больших размеров и выполняются соотношения (4.30), (4.31). Поэтому спектр продольных волновых чисел при переотражениях остается неизменным [299J.

Для такого спектра удобно ввести матрицу

(4.32)

где Tij — комплексный коэффициент трансформации, равный амп­ литуде распространяющейся гармоники с продольным волновым числом /сцг* при падении на решетку волны с к^. Чтобы построить такую матрицу, не нужно решать задачу дифракции для нахожде­ ния каждого Tij. Достаточно рассмотреть дифракцию п волн и за­

полнить треугольную матрицу, а затем, пользуясь соотношениями взаимности [295], найти все коэффициенты трансформации волн.

следующие характеристики: продольный волновой вектор к1[п, дей­

ния продольный волновой вектор и комплексную амплитуду опре­ деляем умножением справа столбца комплексных амплитуд падаю­ щих волн на матрицу (4.32). Проекции краев волнового фронта на следующем этапе переотражения можно найти по законам геомет­ рической оптики:

Рис. 4.28. Пример диаграммы, описывающей процесс установле­ ния полей в односекционном устройстве в трехволновом режи­ ме излучения потока.

внутрь системы (если

4(п) €= [0,L]), или высвечива­ ется в свободное простран­

ство (если4(п)> 4(п) Ф [О, £ ]), не меняя размера своего волнового фронта. Если же

О, Z/G[^i(n),^i(2n)]. то волна ча­ стично отражается внутрь системы, частично высвечи­ вается в свободное простран­ ство с изменением размера волнового фронта.

Этот процесс удобно представить диаграммой типа «дерево» (рис. 4.28). Вершины графа соответствуют актам дифракции, при­ чем вершины, расположенные на одной горизонтальной линии, со­ ответствуют одному порядку переотражения. Ребра графа изобра­ жают волны, участвующие в переотражевии данного порядка. Пря­ мыми линиями помечены волны, локализованные внутри системы; волнистыми — волны, полностью высветившиеся в свободное прост­

системы, частично высветившиеся в свободное пространство; штри­ ховыми — волны, выбывшие по причинам, не связанным с полным высвечиванием в свободное пространство. К выбыванию волн из дальнейших иереотражений может привести уменьшение их ампли­ туды \ап\ до наперед заданного значения ô и уменьшение волново­

энергии в большой области пространства, и вклад таких волн в ха­ рактеристики системы незначителен. Исключение составляет толь­

сложна даже в приближении ГТД, будем находить только те его части, которые в дальнейшем определят энергообмен с электрон­ ным потоком и излучение из системы в свободное пространство. Это в основном часть ближнего поля, имеющая фазовую скорость уф, близкую к скорости потока VQ. Назовем эту составляющую син­ хронным полем. Для нахождения его вида удобно пользоваться

операторной формой записи. Введем оператор S = S\ + S2, где S i —

оператор, описывающий вклад в синхронное поле при дифракции

плоской ограниченной волны на периодической решетке; S2 — опе­ ратор, определяющий вклад при дифракции на противоположной решетке цилиндрической волны, возникшей при падении плоской

где фт соответствует направлениям, вдоль которых цилиндрическая

волна может возбудить синхронное поле с рф« Ф; задает на­ правление, вдоль которого волна падает на край системы. Оператор

S 2 дает вклад в пределах отрезков [ х где Хш и x Z — точки

пересечения с осью х лучей, выходящих из конечных точек систе­

суперпозицию в дальней зоне полей, возникших при распростране­ нии плоской ограниченной волны. Вид углового распределения электромагнитного поля для каждой волны может быть получен по

диаграммы направленности излучения по направлению движения

вклад объемных волы в распределение поля внутри системы, F/2 — вклад цилиндрических волн, расходящихся от края системы. Опе­

ратор W\ на плоскости X0Y дает разные вклады в пределах обла­ стей, изображенных на рис. 4.29. Заштрихованные одинарной штри­ ховкой области соответствуют вкладу от одной объемной волны, двойной — области, для каждой из которых надо учитывать супер­ позицию симметричных волн, идущих от верхней и нижней решеток.

Исследовать динамические процессы в электронном потоке бу­ дем в предположении, что пучок бесконечно тонкий, пренебрегая смещением частиц в плоскости XOY и пространственным зарядом. Направляющее магнитное поле полагаем бесконечным. Простран­ ственным зарядом пучка пренебрегаем. Для описания взаимодей­ ствия потока с полем в приближении заданного поля используем метод крупных частиц [265]. Излучение электронного потока, а следовательно, и его взаимодействие с наведенным полем носит многоволновый характер. В пределах конуса волновых векторов, определяемого из условия черенковского синхронизма для систем с продольным взаимодействием (АцУ|, ^ со), электронный поток излу­ чает. Распределение электромагнитного ноля также может быть найдено как суперпозиция полей, возбуждаемых пространственны­ ми гармониками тока с Iq в пределах конуса синхронизма. Для каждой системы существует /сц0пт, при котором электронный поток наиболее эффективно взаимодействует со структурой. Тогда при развитии самосогласованного процесса выделится поле с /сц0пт и

т—1

Итерационная процедура построения самосогласованного реше­ ния состоит из следующих этапов: решая уравнения движения для крупных частиц, находим распределение первой временной гармо­ ники тока fi* (х), эта гармоника определяет в электродинамической

Процедура установления полей в системе, описанная выше, до­ пускает расширение на случай, когда возбуждение осуществляется током, распределенным вдоль координаты х:

j[N) (*) = /*> (*) = F {N\X) exp № N\x)].

Если выполняется условие малого набега фазы на длине системы \d<b{N>/dx\ с |ф(Л°(.г) | и АФ(Л ) ^ я, то можно ввести понятие плос­ кой ограниченной волны с заданным распределением амплитуды и фазы по волновому фронту. При выполнении условий (4.28) мож' но пренебречь возможными отклонениями от законов геометриче­ ской оптики при распространении ограниченной волны от одной ре-