ЛАМИНАРНОЕ УСТАНОВИВШЕЕСЯ ТЕЧЕНИЕ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ (ЭЛЕМЕНТЫ ГИДРАВЛИКИ)

Если ось х совместить с нижней стенкой, а ось у направить вверх, то уравнение поля скоростей примет вид:

Задача 7.3. Укажите природу гидравлического сопротивления в ламинарном течении и его действительную зависимость от иср, h, I, р, |я. Объясните, как учи­ тывается эта зависимость в формуле Дарси—Вейсбаха (7.34), по которой рассчи­

тывается это сопротивление.

Задача 7.4. Получите формулу распределения напряжения трения по сече­ нию канала. Изобразите поле

векторов x = f(y).

Проанализируем изображенные на рис. 7.2 поля скоростей, давае­ мые уравнением (7.10) для различных значений Ар/1.

Т е ч е н и е ч ис т о г о с д в и г а и л и п р о с т о е т е ч е н и е К у э т т а . Это течение обусловлено прилипанием жидкости к подвижной и неподвижной стенкам^и трением между ее слоями при dp/dx = 0. Поле скоростей линейно в соответствии о первым членом правой части (7.10)

Чем меньше расстояние между пластинами, тем больше т. Греб­ цам хорошо известно резкое увеличение сопротивления лодки при переходе с глубокого места на мелкое.

скоростей соответствует второму члену (7.10) и уравнению (7.9) уже исследованного течения и является параболическим (см. рис. 7.1).

сдвига и течения при dp/й х ф 0 в канале. Возможность применения метода наложения полей объясняется линейностью уравнения (7.2). Вид результирующего поля скорости определяется безраз­ мерным градиентом давления

При /?>0, т. е. при уменьшении давления в направлении движения верхней стенки, скорость положительна по всей ширине канала и равна сумме скоростей, составляющих течений. При р<0, т. е. при возрастании давления в направлении движения стенки, скорости этих независимых течений направлены в разные стороны и вычи­ таются. Поэтому в части поперечного сечения возможны отрица­ тельные скорости, т. е. возвратное течение.

Теория Куэтта используется в теории смазки (см. п. 7.3).

Задачу 7.5. Определить при каком значении р возникает возвратное течение. Ответ |—р | > 1.

Ответ: dpfdx= 2 104 Н/м3.

Т е ч е н и е П у а з е й л я—Г a r e n a . Это пространственное осе­ симметричное течение в прямолинейной трубе с круглым попереч­ ным сечением. Жидкость движется под действием перепада давле­ ния dpjdx = const<0. Поскольку скорость вдоль оси х не изменя­ ется (du/dx=0), то силы давления уравновешиваются противопо­ ложно направленными силами трения. Силы инерции отсутствуют и движение описывает уравнение (7.1). Симметрия течения позво­

г — текущий радиус, a R — радиус трубы; кроме того du/dr = 0 при г= 0. Решением уравнения (7.13) является поле скоростей в попе­ речном сечении трубы

представляющее параболу в осевом сечении и параболоид враще-

ния в пространстве. Скорость имеет максимальное значение на оси трубы при г=О

параболоида вращения (7.14), т. е. половине произведения площа­ ди основания на высоту, т. е. на ит ах'.

Формула (7.16) выражает закон Пуазейля—Гагена и использует­ ся для расчетов трубопроводов, при экспериментальном определе­ нии расхода жидкости по измерению скорости на оси трубы и при экспериментальном определении вязкости жидкости ц.

Средняя скорость течения по определению

Q-----

V-

Сопоставление (7.18) с формулой Дарси—Вейсбаха (6.34) пока­ зывает, что при ламинарном течении £Тр обратно пропорционален

QUcpd

числу Рейнольдса Re^ = -----

трубы при ламинарном сечении. Зависимость £Tp=/(Re) представ­ лена на рис. 8.3.

Напряжение трения определяется по закону Ньютона

и распределено линейно по радиусу трубы. Знак минус учитывает уменьшение скорости с увеличением г.

Задача 7.7. При ламинарном течении в трубе расход жидкости увеличили в три раза за счет: увеличения средней скорости; увеличения диаметра трубы при

Red