альными жидкостями всегда возникает сила лобового сопротив­ ления (см. п. 18.2).

4.9. СИЛА ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ МЕЖДУ ИДЕАЛЬНОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТЬЮ И ЦИЛИНДРОМ ПРИ ЦИРКУЛЯЦИОННОМ ОБТЕКАНИИ ЕГО.

ТЕОРЕМА Н. Е. ЖУКОВСКОГО О ПОДЪЕМНОЙ СИЛЕ

Трение между поверхностью цилиндра и идеальной жидкостью отсутствует. Поэтому сила взаимодействия является равнодейству­ ющей сил давления жидкости на поверхность цилиндра. Формулы (3.64), (3.65) и рис. 3.11, полученные при кинематическом исследо­ вании течения (п. 3.9), показывают, что при циркуляционном об­ текании цилиндра сохраняется симметрия линий тока относитель­ но оси у, перпендикулярной к вектору скорости невозмущенного потока Woo. В результате этого симметрично и распределение дав­ лений относительно оси у и сила лобового сопротивления ^*=0, что -соответствует парадоксу Даламбера — Эйлера. Симметрия ли­ ний тока относительно оси х при циркуляционном обтекании отсут­ ствует. Руководствуясь картиной линий тока и уравнением Бернул­ ли (4.59) заключаем, что сила давления на верхнюю поверхность цилиндра будет меньше, чем на нижнюю. Равнодействующая этих сил направлена вдоль оси у перпендикулярно к вектору скорости невозмущенного потока, т. е. является подъемной силой Ry.

Рассчитаем эту силу -как сумму элементарных сил давления, действующих на поверхность цилиндра длиной в один метр, Н/м:

где знак минус учитывает, что при sin 0>О сила давления жидко­ сти на цилиндр направлена вниз, т. е. отрицательна, а при sin 0<

4.10. ПЛОСКОЕ ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ УСТАНОВИВШЕЕСЯ ТЕЧЕНИЕ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА

Получим дифференциальное уравнение потенциала скорости для заданных условий. Для этого уравнение неразрывности (3.18) запишем в виде

Частные производные плотности выразим через частные производ­ ные давления и скорость звука a?=dp/dQ, учтя, что для баротропного течения dQjdp=dQ/dp:

Частные производные давления в (4.70) заменим их значениями из уравнений Эйлера (4.39), в которых пренебрежем массовыми си­ лами:

Подставляя (4.71) в (4.69) и заменяя по (3.43) du/dx= d2<f/dx2; dv/dy= d2<fjdy2

ди/ду -)-dvjdx= 2д2<?/дхду,

получим основное дифференциальное уравнение газовой динамики для плоского потенциального установившегося течения газа

позволяющее получить поле скоростей. Если и<^а я а < а , то урав­ нение (4.72) переходит в уравнение Лапласа (3.45) для несжима­ емой жидкости. Следовательно, при небольших дозвуковых ско­ ростях течение газа можно рассматривать как течение несжимае­ мой жидкости. При W<a (4.72) называется уравнением эллипти­ ческого типа, при W=a —параболического и при W>a — гипербо­ лического. Метод решения уравнения параболического типа был предложен С. А. Чаплыгиным в 1896 г. В этой работе были зало­ жены основы газовой динамики, как самостоятельной науки. Этот метод в последствии был развит С. А. Христиановичем. Бо­ лее простой, номенее точный метод линеаризации уравнения (4.72) был разработан Л. Прандтлем и английским ученым Глауэром. Для решения уравнения гиперболического типа используется метод характеристик.

4.11. ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ЭНЕРГИИ

Пять основных уравнений гидрогазодинамики — состояния (1.1), неразрывности (3.18) и три уравнения движения (4.35) со­ держат шесть искомых параметров и, v, w, р, Q, 7. Шестое — урав-

быть вынесена за знаки интегралов с индексами 1 и 2 соответст­ венно. Оставшиеся интегралы равны расходам жидкости через се­ чения 1— 1 и 2—2 и, вследствие стационарности течения, равны между собой

JeU M S=JeU 7ndS= G , s

интегральное уравнение энергии для произвольного участка 1—2 элементарной струйки, Дж/кг:

Д и ф ф е р е н ц и а л ь н о е у р а в н е н и е э н е р г и и д л я э л е ­ м е н т а р н о й с т р у й к и . Уменьшим расстояние между сечени­

где pdv — работа деформации газа (расширения или сжатия); du = cvdT — изменение внутренней энергии; dq —'Внешнее тепло; dqTp=dlTp>0 — тепло трения.

Работа вязких напряжений или работа трения 4Цр> 0 затрачи­ вается жидкостью на преодоление гидравлических сопротивле­ ний — трения, завихрений, удавов и т. д. В дальнейшем, при отсут­ ствии оговорок, мы всегда будем считать, что работа трения пол­ ностью превращается в тепло трения, которое воспринимается той же жидкостью.

В действительности не вся работа трения превращается в тепло трения: малая доля ее может переходить ,в кинетическую энергию жидких частиц (см. п. 4.3). Важно, что эта энергия остается внут­ ри жидкости (как и QTp) и не участвует >в обмене с внешней сре­ дой.

Вычтем из уравнения энергии (4.80) уравнение первого закона термодинамики (4.81), проинтегрируем и получим обобщенное уравнение Бернулли или уравнение баланса механических энергий,

Дж/кг:

2

показывающее, что работа проталкивания (сил давления) равна сумме работ по преодолению гидравлических сопротивлений (/тр), технической (/тех) и изменений потенциальной энергии положения и кинетической энергии направленного движения жидкости.

Уравнения энергии (4.73) (4.80) не содержат в явном виде работы трения и теплоты трения, а уравнение Бернулли (4.82) — внешней теплоты. Может создаться ошибочное мнение, что эти уравнения не учитывают всех особенностей течений. В действитель­ ности эти уравнения справедливы как для течений с внешним теп­ лом, так и с теплом трения и при их отсутствии. Трение не изменя­ ет баланса полных энергий, поэтому не присутствует в явном виде в уравнениях энергии. Однако в уравнениях энергии трение авто­ матически учитывается тем, что взаимопревращение отдельных составляющих полной энергии в процессах с гидравлическим со­ противлением и без него, различно. Внешнее тепло в уравнении Бернулли учитывается при вычислении интеграла работы протал­ кивания (4.50) (4.54).

Обобщенное уравнение Бернулли для элементарной струйки (Дж/кг) несжимаемой жидкости можно записать в следующей форме

Задача 4.23. Запишите обобщенное уравнение Бернулли /4.83) так, чтобы размерность его членов была Па и м.

Вопрос 4.24. Как изменится полная энергия несжимаемой жидкости и газа, если на участке 1—2 элементарной струйки имеются гидравлические сопротив-