ненты определяются как полные или субстанциональные производ­ ные по времени.

где dW/dt — местная или локальная составляющая полной произ­ водной— характеризует изменение скорости в данной точке прост­

ранства во времени. При неустановившемся течении dW/dt отлич­ на от нуля, за исключением особых моментов, когда параметр во времени проходит через максимум или минимум. При установив­ шемся течении (dW/d()=0;

Задача 3.4. Запишите выражение для Jv и 1г.

Линия тока. Это линия в пространстве, в каждой точке ко­ торой, в данный момент времени, вектора скорости частиц касательны (рис. 3.1,а). Из условия параллельности вектора скорости W и вектора элемента линии тока dl = dxi-\-dyj-\-dz к следует, что

WdT= {wdy — vdz)7-{- {adz — wdx)7-\- (vdx — udy)~k=Q.

Из условия равенства нулю проекций этого нуль-вектора получим дифференциальное уравнение линии тока

dxlu^dyl'0—dzl'w. (3.9)

Для построения линии тока, проходящей через точку А\ (рис.

3.1,6), следует отложить соответствующие одному и тому же мо­ менту времени вектор скорости Wi частицы А\, вектор W2 частицы

А2, находящейся на векторе W\ вблизи А х и т. д. Уменьшая длину

отрезков полученной ломаной линии и увеличивая их число до бесконечности, получим в пределе линию тока. В установившемся

течении положение линий тока в пространстве не изменяется и они совпадают с траекториями частиц. В неустановившемся течении положение линий тока может непрерывно изменяться и не совпа* дать с траекториями.

Э ле мент ар ная стр у йк а. Т р у б к а тока. В движущей­ ся жидкости выделим элементарную площадку dS (рис. 3.1,в).Че­ рез все точки площадки проведем линии тока. Полученный объем­ ный пучок линий тока называется элементарной струйкой, а его боковая поверхность — врубкой тока.

Задача 3.5. Докажите, что поверхность трубки тока удовлетворяет условию непротекания, т. е. непроницаема для жидкости.

Параметры жидкости могут изменяться только вдоль оси эле­ ментарной струйки и не изменяются поперек струйки. Последнее объясняется тем, что сечения элементарной струйки могут быть выбраны столь малыми, что изменением параметров в них всегда можно пренебречь. Однако, при этом, поперечные градиенты ско­

рости dW/dr, температуры дТ/дг и концентрации избыточного ком­ понента dcjdr могут иметь любые конечные значения, т. е. в эле­ ментарной струйке может иметь место трение, теплопроводность и диффузия. Совокупность элементарных струек называется потоком жидкости.

3.2. РАСХОД ЖИДКОСТИ. СРЕДНЯЯ ск о ро сть

Объемным расходом жи д к о с т и Q, м3/с называется объем жидкости, протекающий через данную поверхность в секун­ ду. Из курса векторного анализа следует, что объемный расход че­

где a — угол между вектором скорости W и ортом внешней норма­ ли п к элементарной площадке dS.

Живым сечением 5Шназывается сечение потока, каждая элементарная площадка которого нормальна к соответствующему вектору скорости. В этом случае (3.10) упрощается

массовый расход равен объемному, умноженному на плотность:

Поперечным сечением потока называется сечение площадью S, перпендикулярное оси потока.

Среднерасходной скоростью Wcv называется постоян­ ная для всего поперечного сечения потока скорость, при которой

Выражение (3.13) является определяющим для ореднерасходной скорости

s

В элементарной струйке скорость W в поперечном сечении посто­ янна, т. е. равна среднерасходной, и, если угол между линиями то­ ка невелик, так, что cos а »1 , то расход рассчитывается по фор­ муле G = Q 1175.

Вектор Q№=|G/5|, кг/(м2-с) называется плотностью тока и равен массе жидкости, протекающей через квадратный метр се­ чения в секунду.

Задача 3.6. На основании рис. 3.1,в и формулы (3.13) сделайте заключение

об изменении плотности тока сжимаемой и несжимаемой жидкости в зависимости

д... Л

от площади сечения канала при ——= 0. dt

3.3. УРАВНЕНИЕ НЕРАЗРЫВНОСТИ

Уравнение неразрывности (оплошности) выражает закон сохра­ нения массы при учете сплошности движущейся жидкости и явля­ ется одним из основных .в гидрогазодинамике.

Для жидкого объема закон утверждает неизменность его мас­ сы во времени (dm/dt=0).

Для контрольного объема V с замкнутой контрольной поверх­ ностью 5 (рис. 3.2), через который протекает жидкость, заключа­ ем, что разность между массой жидкости, вытекающей из объема и втекающей в него, равна изменению массы жидкости в нем. В не­ изменном контрольном объеме изменение массы может произойти

только за счет изменения плотности жидкости при неустановившемся течении, т. е.

ра а

(3.16)

S V V

позволяет заменить в (3.15) интеграл по поверхности интегралом по объему и получить

U -J -+ d iv (e «h ]d y = 0 . (3.17) v

Приравняв подынтегральную функ­ цию (3.17) нулю, так как она не­ прерывна, а интеграл по произволь­ ному объему равен нулю, получим дифференциальное уравнение не­ разрывности

Дивергенция (расхождение) вектора плотности тока [CHV (QR7)] представляет разность между массой жидкости, вытекающей из элементарного контрольного объема и втекающей в него, отнесен­ ную к единице времени и объема. Она равна локальной производ­ ной от плотности.

Задача 3.7. Определите размерность div (ptP). Задача 3.8. Объясните значение знака минус в (3.18).

Задача 3.9. Используя (3.18) и (3.8) получите дифференциальное уравнение

неразрывности в форме dp/dt= —р div (W).

Задача 3.10. Получите уравнение (3.16), рассмотрев протекание жидкости через элементарный контрольный объем с ребрами dx, dy, dz.

Для различных течений уравнение неразрывности принимает следующие формы:

для несжимаемой жидкости Q= const, dQ/dt= 0,

для установившегося течения dg/d/= 0 и

т. e. расходы жидкости, вытекающей из контрольного объема G2 и втекающей в него Gb равны. Следовательно, при установившем­ ся течении в канале расход жидкости через любое поперечное се-