книги / Устойчивость и колебания пластинок и оболочек с отверстиями

Теперь рассмотрим устойчивость цилиндрической оболочки, пер­ форированной системой квадратных вырезов. Количество вырезои в поперечном сечении трубы принимаем равным четырем. Вырезы с размерами сторон а расположены симметрично, причем размеры вырезов значительно меньше диаметра трубы D (a < D ). Длину ок­ ружности рассчитываемого кольца представим в виде нескольких участков с различной жесткостью. В пределах одного участка жест­ кость постоянна. Координаты участков фиксируются углом 6. Уча­ сток / (рис. 7.5) определяется углом 0 = 0 . . . 2a/D. Жесткость его равна

E I 2= E lh ? {\ 2.

Координаты участков указаны в табл. 7.1.

где

(7- 6 6 >

Полученные аналитические зависимости легко позволяют прове­ сти расчет конкретных оболочек на устойчивость. На рис. 7.6 сопо-

ставлены результаты расчета по формуле (7.65) и результаты, по­ лученные Л . И. Пискозубом [68]. Как видно из рис. 7.6 результаты расчета по зависимостям (7.65), (7.66) расходятся с данными ра­ боты [68]. Величина расхождения возрастает с увеличением отно­ шения ajl, это же наблюдается и при увеличении отношения a[D, Если ajD изменяется в пределах от 0 до 0,1, a a jl— от 0 до 0,5, то расхождение не .превышает 12%.

Погрешность, получающаяся при расчете по формулам (7 .65), (7 .66), возникает, во-первых, из-за того, что функция, входящая в формулу (7.62), — кусочно-непрерывная. Это. находится в противо­ речии с исходными предпосылками, и, хотя дает удовлетворитель­

формула (7.65) получены в нулевом приближении. В случае необ­ ходимости задача может быть решена с более высокой точностью. Результаты подобного расчета т = р кр/р1ф для оболочек с одним в поперечном сечении и несколькими, расположенными вдоль обра­ зующей, квадратными вырезами и параметрами a /D ,= 0 ,l таковы:

После решения задачи в первом приближении вместо (7.65) по­ лучится зависимость вида

приближению, который стремится к своему постоянному значению. Расчеты второго и более высоких приближений выполняются ана­ логично первому.

Рассмотрим устойчивость цилиндрической оболочки, имеющей в поперечном сечении лишь один квадратный вырез. Критическая на­

Pi

Эти коэффициенты справедливы для оболочек, имеющих a/D = = 1,57. В первой строке записаны значения р, полученные с поправ­ кой на то, что /г(0) — функция кусочно-непрерывная, а во второй — по формуле (7.68)'. В третьей строке приведены значения погрешно­

ми, характеризуют изменение величины критического давления для перфорированной оболочки по отношению к оплошной. Однако та­ кое сопоставление, .видимо, не совсем справедливо, так как сплош­ ная оболочка оказывается в целом под нагрузкой большей, чем перфорированная, вследствие того, что внешнее давление действу­ ет также и иа тех участках сплошной оболочки, где имеются выре­ зы у перфорированной. Среднее нормальное усилие, возникающее в поперечном сечении оплошной оболочки, равно N =pR t. Если предположить, что в перфорированной оболочке возникает анало­ гичное усилие, то тогда влияние .вырезов на величину критической нагрузки проявится в большей -степени. Это показывает график, изображенный пунктирной линией на рис. 7.7. Кроме того, такой подход, очевидно, позволит исключить некоторое увеличение .кри­ тического давления при увеличении числа вырезов в поперечном сечении тонкостенной трубы, получавшееся из аналитического ре­ шения, приведенного в работе [68].

7.4. КОНИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ С ВЫРЕЗАМИ

Из анализа публикаций следует, что поведение конических пер­ форированных оболочек -при нагружении до сих пор в литературе не освещалось.

В данном разделе найдено их приближенное решение на основе интегральных уравнений методам последовательных приближений. Рассматривается устойчивость конических оболочек, ослабленных серией прямоугольных вырезов, не закрепленных по контуру. Обо­ лочки считаются шарнирно опертыми по торцам и находящимися под действием осевой сжимающей силы. В результате выполнен­ ного исследования удалось получить конечные формулы для кри­ тических нагрузок.

Так же, как и при изучении поведения цилиндрических перфо­ рированных оболочек, рассмотрим случай симметричной потери устойчивости. Это означает, что поперечные сечения после потери устойчивости остаются круговыми. При осесимметричном выпучи­ вании каждая продольная полоска оболочки находится в тех же условиях, что и сжатый -стержень .на упругом основании, искривле­ нию которого препятствует реакция упругой среды. Упругим осно-

ванием для таких полосок служат дуговые волокна. Так как раз­ меры последних изменяются в зависимости от осевой координаты, то коэффициент постели будет переменным. Учитывая это, найдем значение критической осевой силы для неперфорированной кониче­ ской оболочки и сравним его с решениями, полученными другим путем, чтобы убедиться в возможности исследования устойчивости конических оболочек таким методом.

Рассмотрим полоску, выделенную двумя осевыми сечениями, проходящими через две соседние образующие таким образом, что­

ских сечений и на предположении о малости деформации изгиба при переходе к изогнутой форме равновесия.

В связи с тем, что при осесимметричной потере устойчивости все точки срединной поверхности, лежащие в одном поперечном сече­ нии, перпендикулярном оси симметрии, имеют одно и то же смеще­ ние, об устойчивости оболочки будем судить по поведению полоски, имеющей переменную ширину. Реакцию оставшейся части оболоч­ ки аппроксимируем эквивалентным упругим основанием. Найдем величину коэффициента постели, с помощью которого будем харак­ теризовать реакцию отброшенной части оболочки, приходящуюся на единицу длины рассматриваемой «полоски.

При появлении в оболочке нормального прогиба в ее попереч­ ных меридиональных сечениях должны возникнуть нормальные

где Е — модуль упругости; h — толщина оболочки; ш — смещение точек срединной поверхности по внутренней нормали; а — угол на­ клона образующей к основанию; s — текущая координата, отсчиты­ ваемая от вершины конической оболочки; R2 — текущий радиус кривизны параллели. Нормальное усилие Ny может возникнуть в оболочке при действии на ее поверхность внешнего или внутренне­ го давления. В этом случае

Здесь р — равномерное внешнее (внутреннее) давление. В дальней­ шем это давление будем рассматривать в качестве реактивной си­ лы, которая должна появиться в оболочке в момент потери устой­ чивости.

Зная реактивную силу, можно определить коэффициент жестко­ сти упругого основания, препятствующего свободному перемеще­ нию выделенной из оболочки полоски:

С учетом (7.69) и (7.70) зависимость (7.71) может быть преобра­ зована:

Теперь будем рассматривать устойчивость стержня (полоски) переменной жесткости, сжимаемого силой Р и лежащего на упру­ гом основании, коэффициент постели которого изменяется по дли­ не. Дифференциальное уравнение упругой линии для такого стерж­ ня имеет вид

Граничные условия, которым должно удовлетворять решение уравнения (7.73), соответствуют условиям шарнирного опирания торцев оболочки. iB нашем случае они записываются таким об­ разом:

Дифференциальное уравнение (7.77) является линейным одно­ родным уравнением с .переменными коэффициентами. Его решение будем искать по методу Н. К. Куликова. В соответствии с этим метолом ад, s и все коэффициенты должны быть действительными и иметь непрерывные .первые производные в интервале изменения независимого переменного s. Кроме того, коэффициенты при стар­ шей производной и ад не должны обращаться в нуль. Введение до­

Оно не имеет кратных корней, aQ=£0. Значения коэффициентов

уравнения (7.78) влияют на точность результатов и быстроту схо­ димости последовательных приближений. Для улучшения сходимо­ сти неизвестные коэффициенты а0 и ац будем выбирать, учитывая их начальные значения и вид функций:

где l — длина оболочки вдоль образующей; £ = $ 2 —

Корни уравнения (7.78) равны:

1 = — г3= ( ] / Гу — ] / " у — во— <?,;

Общее решение уравнения (7.77) представим в виде интеграль­ ных уравнений:

+ f*(s)rj[ A joe'**-^ [M s)r2i+ f 4(s) r}] X

1

3, 4 ); z — функция, определяемая в результате решения линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами

определитель третьего порядка, .получающийся из матрицы опреде­ лителя D путем вычеркивания первой строки и /-го столбца.

симости (7.74). Согласно предложенной методике, мы должны рас­ сматривать полоски единичной ширины в сечении с координатой s = 5 ], поэтому жесткости полоски шириною в среднем сечении Ь\, необходимо делить на жесткости полосок шириной Ь2. В этом случае

где п — число отверстий. Момент инерции I определяется по (7.74). Подставляя (7.74) и (7.93) в (7.90) и учитывая то, что коэффи­ циент постели на участке (/— а) /2 (1-\-а)/2 равен нулю, а на

остальных определяется по зависимости (7.72), получим новое вы­ ражение для критического напряжения:

Для оболочки с четырьмя вырезами коэффициент Л*, входящий в

На рис. 7.10 приведены кривые, характеризующие изменения пара­ метра k в зависихмости от геометрических размеров оболочки и перфорирующих ее вырезов, полученные в нулевом приближении.

В следующей главе по выведенным зависимостям проведены вычисления, которые сопоставлены с результатами опытов.

7.5. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ И КОНИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК

СВЫРЕЗАМИ НА ОСНОВЕ МЕТОДА ПОДОБИЯ

ИРАЗМЕРНОСТИ ИЛИ ТЕОРЕТИКО-ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОГО

МЕТОДА А. В. САЧЕНКОВА

Если при исследовании устойчивости пластинок с вырезами к на­ стоящему моменту удалось получить довольно определенные -ре­ зультаты по выявлению влияния отверстий на критические нагруз­ ки, то в изучении таких же задач применительно к оболочкам еще имеются весьма серьезные трудности. В этих условиях важное зна­ чение приобретают методы исследования, основанные на синтезе теории и эксперимента. Возможность такого предварительного ка­ чественно-теоретического анализа и выбора системы определяющих безразмерных параметров, как пишет Л. И. Седов [91], дает теория размерности и подобия, которая может быть приложена к рассмот­ рению весьма сложных явлений и значительно облегчает обработ­ ку экспериментов.

Методы .подобия и размерности, применяемые в механике

.жидкостей и газов, еще не получили .широкого распространения в теории пластин и оболочек. Их развитие можно найти лишь в не­ многих работах А. А. Ильюшина, М. А. Колтунова, В . А. Ломакина и А. В. Саченкова. Применительно к задачам устойчивости оболо­ чек с отверстиями метод подобия и размерности был сформулиро­ ван А. В. Сачемковым [90], названный автором как теоретико-экс­ периментальный метод, который в дальнейшем был апробирован многочисленными экспериментальными исследованиями его учени­ ков. Метод основан на использовании метода теории размерности и соображений, вытекающих из механических представлений и мате­ матических свойств решения исходных дифференциальных уравне­ ний. Особенность этого метода состоит в том, что в его рамках предварительный анализ основных уравнений иногда позволяет, не решая сами уравнения, установить с точностью до некоторой про­ извольной безразмерной функции зависимость искомой критической нагрузки от механических и геометрических характеристик оболоч­ ки. Задача эксперимента — определить в структуре установленных формул эту произвольную функцию. Объем экспериментальной ра­ боты при этом сводится к минимуму, так как для определения про­ извольной функции не требуется выполнять все критерии -подобия, которые необходимо соблюдать при моделировании [65].

При проведении экспериментальных работ с оболочками весь­ ма важно определить критерии подобия натурных образцов и мопелей. Для подобия двух явлений необходимо и достаточно, чтобы численные значения управляющих безразмерных комплексов, обра­ зующих базу, в этих двух явлениях были одинаковыми.

Соотношения теоретико-экспериментального метода, предложен­ ные А. В. Саченковым [90], основаны на результатах эксперимен­ тального исследования устойчивости цилиндрических оболочек, ос­ лабленных вырезами, выполненного Ю. Г. Коноплевым [42], и тео­ ретических исследованиях Г. Н. Савина [89].