книги / Механика горных пород при разработке месторождений углеводородного сырья
..pdfВеличина F’* есть величина расстояния от точки, характери зующей напряженное состояние, до поверхности течения. Через производные пластического потенциала {д(2/да} определяется направление скоростей вязкопластических деформаций. Пласти ческий потенциал Q в координатах т-ст представляет линию, от носительно которой вектор скорости вязкопластических дефор маций {evp} направлен перпендикулярно. На рис. 2.5.9, а изобра жен пластический потенциал для линейной части поверхности течения. В случае неассоциированного закона пластического те чения в пластическом потенциале угол внутреннего трения заме няется на угол дилатансии \\/. Этот угол определяет соотношение нормальных и касательных скоростей компонент вязкопластиче ских деформаций. Положительный угол дилатансии определяет отрицательную часть нормальной компоненты вязкопластических
деформаций |
<0}). Из этого следует, что уменьшение объе |
ма элемента для напряженного состояния ап < р5 невозможно.
Даже в случае vp = 0, имеем |ё*р < 0 |.
Для эллиптической части поверхности течения пластический потенциал соответствует критерию разрушения вида (2.5.21). Из
рис. 2.5.9, б становится ясным, что направление вектора |evp|
изменяется с изменением напряженного состояния, и вязкопла стическая составляющая скоростей деформаций ведет к умень
шению объема материала > Ojj.
Для расчета вязкопластической составляющей должен быть определен вектор
\ d Q \ |
= |
Id Q |
dQ |
dQ |
dQ |
dQ |
dQ |
(2.5.25) |
[ д а / |
|
[дст/ |
дау ’ d a / d x ^ ' |
d x ^ ’ |
d x ^ |
|||
|
|
|||||||
Так как зависимость an - |
состоит из двух функций, то |
|||||||
значения производных будут иметь вид |
|
|
||||||
[ Щ |
= |
\ d Q d a n { |
dQ |
fores ^zy |
, dxns dXjg |
(2.5.26) |
||
1дст/ |
|
( дап |
да |
дхп5 |
дхц da |
foja |
da |
|
|
|
|||||||
Для случая растягивающих напряжений
Рис. 2.5.9. Пластический потенциал в линейной (а) и эллиптической (б) поверхностях течения
Вязкопластические деформации получают интегрированием по времени
(2.5.28)
Интегрирование осуществляется в соответствующем цикле по времени. Решение уравнения (2.5.28) выполняется для случая Fs > 0, так как напряженное состояние, соответствующее данному случаю, лежит выше поверхности текучести. Параметр г\ означает вязкость пород коллекторов, однако его определение не требует ся, так как в рассматриваемых случаях нас будет интересовать состояние равновесия. Для данных ситуаций значение вязкости заменяется произвольно выбранной величиной. Одновременно подбирается интервал времени At, обеспечивающий сходимость итерационного процесса. Если в рассматриваемой системе со стояние равновесия невозможно, то в результате вычислений с принятыми значениями ц и At получаются деформации, которые беспредельно возрастают. Итерационный процесс представлен в разделе 2.6, однако, наиболее подробно он описан в работах [34, 35, 37, 38]
Рис. 2.5.10 поясняет некоторые особенности реализации моде ли. В модели материала, не учитывающей упрочнение, поверх ность течения неизменна. Точка напряженного состояния (точка 0) движется в ходе расчета по времени к поверхности течения и, наконец, достигает ее. Использование закона упрочнения ведет к тому, что меняется как напряженное состояние, так и поверх ность течения. Линейная часть поверхности течения растет тем меньше, чем незначительнее разница между углами срш и ср, в то время как параметр р \ определяющий эллиптическую часть по-
1
0
Рис. 2.5.10. Графики изменения на пряженного состояния и поверхно- —► стей течения в ' ходе расчета по
времени в модели с упрочнением
верхности, прирастает весьма интенсивно по мере роста дефор маций.
Отметим некоторые особенности использования шатровой модели. Напряженное состояние, соответствующее положению на эллиптической поверхности, называется «нормальное уплотне ние». Оно применимо в следующих случаях:
горная порода была нагружена только собственным весом в течение всей геологической истории, т.е. не было добавочной ледниковой нагрузки;
эрозия не имела места; изменение порового давления в течение геологической
истории не приводило к повышенным эффективным напряже ниям.
Если эффективные напряжения в прошлом были больше, чем в наши дни, то эллиптическая поверхность будет больше, чем эллипс, соответствующий текущему напряженному состоянию. Отношение достигнутого ранее напряжения р к текущему рс на зывается коэффициентом переуплотнения OCR. Для полупро странства OCR соответствует отношению эффективного верти кального напряжения в прошлом к его текущему значению.
Большим преимуществом модели Cam-Clay является возмож ность описывать различие в деформируемости при нагрузке и разгрузке. Для многих приложений модель обеспечивает хоро шую оценку горизонтальных напряжений в натурных условиях, что позволяет моделировать ход геологической истории.
Недостатком является ограничение по применению изотроп ного упрочнения, тогда как в большинстве своем породы анизо тропны. Также не очень удачно моделируется поведение при превышении предела прочности на сдвиг, особенно для скальных пород. Использование критерия прочности типа Друкера-Праге- ра Приводит к тому, предел прочности на сдвиг зависит от сред него эффективного напряжения р' Это приводит к переоценке влияния среднего главного напряжения. Критерии вида Куло на-Мора, которые не учитывают среднее главное напряжение, являются более подходящими. Модель не учитывает сцепление и уменьшение сдвиговой прочности при пластическом деформиро вании, а увеличение объема переоценивается вследствие ассо циированного закона течения. Изменение ориентации главных напряжений при нагружении (например, если в ходе геологиче ский истории горизонтальные напряжения превышали верти кальные) в модели не учитывается, так как она оперирует инва риантами напряжений. Однако стоит заметить, что во многих модификациях и численных реализациях модели эти недостатки устранены.
2.6. ОСОБЕННОСТИ РЕАЛИЗАЦИИ ОТДЕЛЬНЫХ МОДЕЛЕЙ МЕХАНИКИ ГОРНЫХ ПОРОД МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Решение практических задач механики горных пород в на стоящее время невозможно без применения численных методов. Аналитическим путем может быть решено весьма ограниченное число геотехнических задач, в то время как численные методы позволяют при наличии готовой программы без труда получать решение при любых граничных условиях.
Среди различных численных методов механики сплошных сред наиболее разработанным является метод конечных элемен тов (МКЭ). В рамках этого метода можно реализовать практиче ски любую модель деформирования материала, рассматривать самые разные граничные условия и неоднородности среды. На начальных этапах развития МКЭ его недостатком являлась вы сокая трудоемкость создания конечно-элементных моделей, веро ятность ошибок при ручном вводе исходных данных. В настоя щее время эти недостатки устранены. На рынке имеются мощные специализированные пакеты конечно-элементных программ, ори ентированные на решение задач механики сплошных сред. Это программные продукты высокого уровня, они разрабатываются и совершенствуются профессиональными коллективами специали стов, имеют международные лицензии и сертификаты. Совре менные универсальные продукты этого уровня имеют обширный набор общераспространенных моделей деформирования твердых тел. С другой стороны, они не содержат полного комплекта спе циальных моделей горных пород, необходимых при решении горнотехнических задач. В связи с этим перед исследователями стоит задача либо разрабатывать свои программные комплексы, удовлетворяющие потребностям решения конкретной задачи, ли бо использовать готовые программные пакеты, адаптируя их по мере возможности к конкретной модели и задаче.
Авторы данной работы совместно со своими коллегами пошли как по первому, так и по второму пути. Большое число практи ческих задач решалось авторами при помощи комплекта конеч но-элементных программ GEOTECH. Этот пакет разработан под руководством авторов в Пермском государственном техническом университете. Его отличает высокая степень автоматизации ввода исходных данных, широкие возможности при конструировании регулярных и нерегулярных конечно-элементных сеток. Разви тый графический интерфейс позволяет в диалоговом режиме за давать граничные условия, просматривать и анализировать ре
зультаты расчетов. В этом пакете реализованы все модели гор ных пород, рассмотренные в предыдущем разделе. Однако рас смотренные модели и алгоритмы, реализованные в комплекте программ GEOTECH, позволяют решать задачи для условий плоской деформации, плоского напряженного состояния и осевой симметрии.
При рассмотрении задач объемного напряженного состояния авторы остановились на использовании конечно-элементного па кета ANSYS, который является одним из мировых лидеров среди программных средств подобного назначения. Достоинством паке та ANSYS является его открытая архитектура, т.е. возможность создания и внедрения в программу собственных приложений пользователя. В настоящее время авторами произведено внедре ние в пакет практически всех рассмотренных моделей горных пород, основанных на теории вязкопластичности.
Внедрение разработанных приложений в пакет ANSYS вы полнено путем рекомпиляции модифицированной подпрограммы UserCr, которая реализует пользовательский закон ползучести. Технология разработки и внедрения приложений в ANSYS из ложена в документации к пакету.
Отлаженность программного комплекса ANSYS, большой на бор сервисных функций, возможность анализа трехмерного НДС существенно расширяют возможности пользователя при решении горнотехнических задач.
Основы метода конечных элементов и его базовые процедуры подробно изложены в специальной литературе, поэтому ниже кратко рассмотрены только основные особенности конечно элементной реализации изложенных механических моделей гор ных пород, в первую очередь шатровой модели. Для желающих бол£С детально вникнуть в особенности численной реализации шатровой модели, модели деформирования скального трещино ватого массива, особой модели соляных пород, следует обратить ся К работам В. Виттке [34, 35], а также к работам О. Зенкевича и Г. Панде [37, 38], А.Б. Фадеева [10].
Как известно, метод конечных элементов позволяет заменить интегрирование дифференциальных уравнений в частных произ водных на решение системы линейных алгебраических уравне
ний Вида |
|
[ К ] {6} = {*}, |
(2.6.1) |
где |
[К ] - матрица жесткости |
системы элементов; {8} - |
век |
тор |
Неизвестных перемещений |
узлов; {.F} - вектор нагрузок |
сис |
темы. |
|
|
|
Матрица жесткости системы представляет собой сумму мат риц жесткости отдельных элементов [1C], которые находятся как
[К*] - \[Вв]т[De)[Be]ds, |
(2.6.2) |
S |
|
где [5е] - матрица производных функций формы конечного эле мента; [Lf] - матрица упругих свойств материала.
Решив систему уравнений (2.6.1), из перемещений узлов можно найти упругие напряжения и деформации в элементах
{е‘ } = [ 5 е] {5е}; {а е} = [If] {ее}. |
(2 .6 .3 ) |
Расчет неупругих напряжений и деформаций в методе конеч ных элементов достигается итерационным путем, т.е. многократ ным повторением упругого решения.
Практически во всех реализованных моделях расчет неупру гих деформаций основан на теории вязкопластичности, а именно на решении уравнений вида (2.5.24). На рис. 2.6.1, 2.6.2 показан общий алгоритм расчета напряженно-деформированного состоя ния горных массивов с помощью способа итерационного расчета вязкопластических деформаций, известного как метод «началь ных деформаций» [10, 38].
На первом этапе с помощью базовых процедур МКЭ приво дится формирование матрицы жесткости системы элементов, вектора нагрузок и решается система уравнений (2.6.1). Далее в итерационном расчете вязкопластических деформаций выполня ется следующая последовательность действий:
1) вычисляются напряжения в элементах
И = [ О е] ( [ 5 е] { 5 е} - { Е^ } ) (
на начальной итерации jevpeJ = 0;
2)вычисляются критерий разрушения и скорость вязкопла стических деформаций;
3)проводится накопление вязкопластических деформаций
{evpe} = {е'7* } + {ёуре}Д£;
4) вычисляются начальные узловые силы в элементах
{ГП - I {&?[&} {evpe}is;
5) начальные узловые силы суммируются с вектором нагрузок системы
{F) = {* } + {F'П
Цикл по шагам нагружения
Рис. 2.6.1. Общий алгоритм расчета НДС методом конечных элементов
s
=Г
Рис. 2.6.2. Итерационный расчет вязкопластических деформаций
6) после рассмотрения всех элементов решается система урав нений
[К\ {6} = {F} + { F 1 |
(2.6.4) |
Решение уравнения (2.6.4) позволяет найти распределение упруговязкопластических напряжений и деформаций для момен та времени t = At. Затем данная последовательность действий повторяется и определяется напряженное состояние для момен тов времени t = 2Аt, t = 3At и т.д.
Указанный итерационный цикл повторяется до затухания вязкопластических деформаций или до достижения заданного момента времени. Если уровень напряженного состояния таков, что состояние равновесия невозможно, то в результате расчета получаются деформации, которые непрерывно возрастают.
Рассмотренная процедура является общей для всех моделей деформирования, основанных на теории вязкопластичности. Специфическим для каждой модели будет являться расчет кри терия разрушения, частных производных пластического потен циала и скорости вязкопластических деформаций в каждом ите рационном цикле. В качестве примера рассмотрим алгоритм рас чета этих величин для шатровой модели коллектора в много слойной постановке.
В данном варианте шатровая модель реализована согласно «многослойной модели» Зенкевича и Панде [26, 37]. В много слойной модели предполагается, что вязкопластические дефор мации возникают вследствие сдвига при превышении предела прочности по поверхностям контактов. Ориентация потенциаль ных зон сдвига заранее неизвестна, поэтому считается, что мас сив рассечен бесконечно большим числом плоскостей с равно мерным распределением их в пространстве. Общие деформации элемента определяются путем суммирования долей деформации по бесконечному числу контактов
(2.6.5)
Индекс i относится к различным плоскостям. Суммирование в выражении (2.6.5) можно заменить интегрированием по поверх ности шара единичного радиуса, так как каждой точке на по верхности шара можно поставить в соответствие вектор нормали к определенной плоскости, проходящей через центр шара. Если dO. ^ бесконечно малый элемент поверхности шара, то можно записать