Теорема. Если оператор А допускает сингулярное разложение (5.50), то оператор, заменяющий обратный, строится по правилу
|
∞ |
|
A+ |
f = ∑σk−1 ( f , fk )uk . |
(5.53) |
k=1
Всилу теоремы оператор А+ неограничен в том и только в том слу-
чае, если σ k → 0. В этом случае оператор А+ можно регуляризовать с помощью усеченного сингулярного разложения, если сохранить конечное число членов ряда (5.50) и отбросить растущие слагаемые:
N |
|
u = R f = ∑σk−1 ( f , fk )uk . |
(5.54) |
k=1
Вэтом случае параметром регуляризации служит число N, которое выбирается исходя из априорной информации о погрешности δ .
Анализируя структуру сингулярного разложения, можно понять при-
роду некорректности. Пусть fδ аппроксимирует f, т.е. f − fδ F ≤ δ. Если
известно только fδ , то для коэффициентов разложения R f из теоремы можно получить оценку
σ−k 1 ( f , fk ) − σ−k 1 ( fδ, fk ) ≤ δσ−k 1 .
Из этой оценки ясно, что вклад слагаемых uk в разложении A+f для малых σ k (практически σ k < δ ) нельзя вычислить с приемлемой точностью. Таким образом, зная сингулярные числа и соответствующие им собственные элементы, можно судить о том, какие компоненты решения равнения (5.50) вычисляются по приближению элемента fδ , а какие вычислить невозможно. Однако вычисление или нахождение асимптотик сингулярных чисел операторов и численное исследование их зависимостей от параметров некорректной задачи является весьма сложной проблемой, хотя для некоторых задач можно построить их явные представления (особенно для самосопряженных операторов).
Отметим, что число N слагаемых, участвующих в представлении (5.54), определяется из критерия невязки:
N = max N(δ) : Au − fδ ≤ δ.
Замечание. Нетрудно установить, что процедура минимизации стабилизирующего функционала Тихонова при наличии сингулярного разложения приводит к решению (5.54), следующего вида: