книги / Математические методы и планирование эксперимента в грунтоведении и инженерной геологии
..pdfГлава 2. ОДНОФАКТОРНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ
Постановкой эксперимента исследуется зависимость отклика У от одного факторах» которая должна быть представлена в ви де уравнения регрессии. При назначении уровней факторов пред варительно изучаются материалы ранее выполненных исследований по рассматриваемому вопросу. Они могут помочь предположить об щий характер £ = 4 (х) и назначить пределы и промежуточные зна чения уровней фактора.
Максимальное количество уровней фактора условиями плани рования и математической обработки результатов опытов не ог раничивается. При этом, совершенно очевидно, что чем больше уровней фактора будет принято в эксперименте, тем достовер нее выявится исследуемая закономерность.
Минимальное и максимальное значение уровней должны охва тывать диапазон, в котором предполагается установить законо мерность. Полученным впоследствии уравнением регрессии можно будет воспользоваться только в границах поставленных опытов.
Минимальное количество уровней х определяется условиями последующих дисперсионного и регрессионного анализов. Согла сно им, число уровней должно быть, как минимум, на единицу больше числа коэффициентов уравнения (включая свободный член), принимаемого заранее за математическую модель закономерности. Это, например, означает, что для сглаживания эксперименталь ной линии регрессии полиномом третьей степени требуется не ме нее пяти уровней фактора.
Закономерность i^s;if(x) отыскивается по результатам опытов. Поскольку эти опыты содержат ошибки, их необходимо на каждом
уровне |
выполнять несколько раз |
(дублировать), чтобы полу |
чить средний результат с заданной |
надежностью. |
В соответствии о принятии числом уровней фактора и коли чеством дублирующих опытов составляется плановая таблица экс перимента. После соответствующей подготовки опыты выполняются и результаты их записываются в журнал (табл. 3).
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а |
3 |
||
Н» Уровни X |
Результаты |
дублирующих опытов |
4 |
|
|
|||
А |
*1. |
|
|
|
|
У1 |
|
л |
Z |
ЭС1 |
|
у и ••• |
4x1 |
|
4% |
|
s i |
> |
ч |
&*• |
УН |
у и |
УИ |
У* |
|
• » • |
|
|
|
|
|
|
»«* |
||
Я |
г |
Чгхк. |
4 м г |
Ухе |
Улх |
Ух |
|
Н^ |
|
РК |
|||||||
Если какой-либо |
результат |
существенно отличается |
от |
дру |
||||
гих в отроке таблица, его проверяют на "промах" |
по |
методике, |
||||||
изложенной в главе I , |
раздела П. Опыт, признанный |
ошибочным, |
||||||
повторяют. |
|
|
|
|
|
|
|
Для установления однородности дисперсий' и значимости фак
тора на каждом уровне (по строкам табл. 3) |
подсчитываются |
|||||||||
средние результатов |
опытов |
и дисперсии |
. |
|
|
|
||||
Однородность дисперсий проверяется по критерию Кохреца |
||||||||||
(см. I главу, П раздела). Если однородность |
дисперсий |
не |
обе |
|||||||
спечена, следует отыскать источник погрешностей,и опыты |
пов |
|||||||||
торить. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Существенность |
(значимость) |
фактора ос |
подтверждается в |
|||||||
том случае, если |
Fp = |
|
> |
f?T, |
|
|
|
|
||
г д е ^ 0 - общая средняя, равная |
у 0 |
|
|
|
|
|
|
|||
факторная дисперсия, |
равная |
^ |
S |
( K 2 ,( |
|
|
|
|||
$ ^ г - остаточная дисперсия, равная |
£о<г = |
|
)1(х № ~§)' |
|||||||
Табличная величина критерия Фишера FT |
берется из табл. 7 |
|||||||||
Приложения для принятого уровня значимости |
c C = l при сте |
|||||||||
пенях свободы, равных для |
числителя 4 а а г ^ |
и знаменателя |
||||||||
Выше отмечалась, |
что |
экспериментальные |
точки ^ |
содержат |
ошиб |
|||||
ки и количество |
их ограничено. Линия, |
соединяющая их - |
эксле- |
римеитальная линия регреосии не будет иметь плавного очерта ния, соответствующего действительной закономерности. По этой причине экспериментальная линия регрессии сглаживается какойлибо теоретической кривой. Операция замены неизвестной функ ции отклика в каком-то отношении эквивалентным теоретическим уравнением называется аппроксимацией. При этом используется как наилучший метод наименьших квадратов. Согласно атому ме тоду, теоретическая линия регрессии <£=^(oc:,cio,ctv-', ot-ni.)
принимают.такое положение, при котором |
сумма квадратов |
рас |
||||
стояний |
от |
экспериментальных точек |
до |
соответствующих им |
||
точек |
0 рассчитанных |
по уравнению, |
будет |
наименьшей. Зада |
||
ча сводится |
к нахождению минимума функции |
|
|
|||
|
|
$ " |
CLvn))% |
|
|
Это условие представляется далее системой уравнений, получен ных приравниванием нулю частных производных
=- о , . . . , 2 i ~ = o.
ЭОо 3ct( 3ctm
Из этой системы и определяются величины коэффициентов уравне ния регрессии. При аппроксимации полипомом
^ = а 0 -vctyx + a j / x V ... + a m x rvL;
его коэффициенты устанавливаются решением системы уравнений
а 0-н |
+ |
&1-Z |
|
|
X |
|
т*nv |
|
|
i |
+ a ^ |
|
Xi |
= T'H*. |
|||||
i t |
|
|
г |
|
|||||
aJLK-b |
+ |
к |
% |
+ w |
4 |
|
|
|
|
С Ц ^х£ + |
|
|
|
||||||
» м |
’ |
|
* V |
W |
' |
• u- |
' lm. |
V **‘ |
|
x |
m... |
+ |
**ir |
|
|||||
Ote| ^ |
|
4 , ^ |
+ |
+ A |
X |
|
ш |
|
|
Оценки дисперсий |
|
и коэффициентов уравнения с*к |
|||||||
определяются но формулам; |
|
|
|
|
|
||||
М к р £ и ^ /д > |
|
( K = Q , t , 2 - , m ) , |
в которых А - определитель системы уравнений, &к). - алгебра ическое дополнение элемента cUj. в определителе д .
|
Доверительные |
интервалы |
для <о^ |
и ct^< вычисляются по |
Фор |
||||
иудам |
|
|
|
|
________ |
ч |
|
||
|
|
/ h ) ^ ^ |
|
^ ( § ^ Х - т - Г / и ) , |
|
||||
|
(5 .к - |
tjie W } |
ССк-^ (<*к—£/>>•<£<**:), |
|
|
||||
В HiDctjb, $ г | |
берутся |
из |
табл. У и IX Приложения при сте |
||||||
пени |
свобода jf- m -i |
и |
доверительной |
вероятности fi для fcj> , |
а |
||||
для |
и k - K S *)=(<+>)/Ь |
* |
9 ( Й ) = (!'>)/& • |
|
|
||||
|
Насколько аппроксимирующая кривая близко подходит к экс-, |
||||||||
периментальным точкам показывает коэффициент |
тесноты связи |
г = у ф в г * . Л / ( '
Он представляет собой отношение суммы квадратов отклонений
|
расчетных величие |
|
|||
|
от общей-средней 4J.0 |
к |
|||
|
сумме квадратов |
отклоне |
|||
|
ний экспериментальных |
||||
|
величин |
от общей |
|
||
|
средней» |
|
|
|
|
|
3 качестве |
аппрок |
|||
|
симирующих могут |
быть |
|||
|
использованы и |
другие |
|||
|
виды функций. Выбор наи |
||||
|
более пригодной из |
них |
|||
|
производится по |
общему |
|||
|
характеру |
очертания |
экс |
||
|
периментальной линии ре |
||||
|
грессии,, |
а также |
пробны |
||
|
ми расчетами по |
разным |
|||
Рис. 22. |
математическим моделям |
||||
о установлением |
наилуч |
||||
|
шего решеиия по результатам регрессионного анализа (прежде всего по коэффициенту тесноты овязи). Подобная процедура тру доемка для ручного наполнения, но весьма просто выполняется на ЭВМ. В качестве примера на рис. 23 показана аппроксимация по двум математическим моделям, выполненная па ЭВМ "Н Ш Й -2".
Глава 3 , МНОГОФАКТОРНЫЕ ПЛАНЫ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ МОДЕЛЕЙ
|
|
3 .1 е Полные факторные планы (ПФП) |
|
|
|
Полный факторный планок предускатривается реализация |
|||
всех |
возможных комбинаций факторов на их верхней |
(+1) и ник |
||
нем |
(-1 ) |
уровнях. Необходимое количество опытов в |
ПФП опреде |
|
ляется по формуле |
J f - j i ’1 |
|
||
где Я - |
количество |
факторов. |
|
|
|
В табл. 4 приведена, матрица планирования эксперимента по |
ПФП с тремя факторами, кодированные значения (уровни) которых соответствуют координатам точек (опытов) факторного простран-
|
|
Т а б л и ц а 4 |
|
№ |
Кодированные значения факторов |
Параметр |
Кодовое |
опыта |
|
оптимиза |
обозначение |
|
ции |
строк |
|
ОС,. |
ос*, |
« 3 |
ч |
. |
I |
- I |
- I |
- I |
* г |
|
Ч\ |
(D |
||||
2 |
+1 |
- I |
- I |
• 4% |
а |
а |
- I |
*1 |
- I |
Чъ |
б |
4‘ |
+1 |
+1 |
- I |
Чч |
аб |
5 |
-X |
- I |
+i |
Чз |
в |
6 |
+1 |
- i |
+i |
Цб |
ав |
7 |
-X |
|
+1 |
Чч |
бв |
8 |
I |
|
+1 |
ч* |
абв |
|
|
|
|
|
|
отва |
(рио, 3 3 ), |
Из нее видно, |
что-полным факторным экспери |
||
ментом являетоя система опытов, содержащая вое |
возможные не |
повторяющиеся комбинация уровней варьирования факторов. В ко довом обозначении эта матрица яалвоываетоя следующим образом; (1 ),а ,б ,а б ,в ,а в ,б в ,а б в . Матрица планирования для ПФП типа 3s
кодовая |
запись - (1)а ,б ,а б ) была |
приведена |
в. табл. 2, |
а |
фак |
торное |
пространство этого плана - |
на рио, 2 |
1). Из табл. |
2 |
и 4 |
видно, что матрица планировании для трех факторов типа 2° получает
%ся из матрицы 2** при повторении ее дважды: первый раз при значениях третьего фактора на тян ем уровне, второй - на верхнем уровне. Это
равносильно умножению кодовой запи си матрицы 2* один раз на ( I ) ,
?второй - на "в". По атому принципу можно построить ПФП для любого ко личества факторов. Некоторые дру гие полные факторные планы в их кодовой записи приведены в табл.ХШ
Приложения. Переход от натуральных значений факторов к кодированным
осуществляется но формулам (6 1 ).
После выполнении опытов производятся проверка однородно сти ряда дисперсий (К^Кт? см. гл . I данного раздела) и опре деляются коэффициенты модели по формулам
Некоторые из полученных коэффициентов могут оказаться пренебрежимо малыми - незначимыми. Проверку на значимость про водит для каждого коэффициента в отдельности по критерию Стьюдента. При этом необходимо вычислить среднеквадратическую оинбку коэффициента модели
|
|
h - ~ ] f $ 1 |
/ ^ |
/ |
(65) |
а эатем |
доверительный интервал |
|
|
||
|
|
Д * * |
|
|
(б6) |
где |
- |
общая дисперсия среднего! |
определяемая по формуле |
||
(6 3 ); х* - |
количество опытов; t |
- критерий Стьюдента,' |
опреде |
||
ляемый по табл. У Приложения. |
|
|
|
||
Коэффициент значения, если его абсолютная Величина боль |
|||||
ше доверительного интервала |
j £ j |
^ д £ ^ |
|
UL - натуральное значение интервала варьирования;,определяет ся по формуле (6 1 ).
3 .2 . Дробные факторные планы (ДФП)
С увеличением количества факторов (ft) число опытов пол ных факторных планов Jf= аЛ быстро растет» причем, часть из них несет мало информации. Сократить, число опытов при большом количестве факторов и в то же время получить основной объем
необходимой информации позволяют дробные факторные планы (ДФП), составляющие только часть ПФП, называемую дробной репликой. Число опытов при атом должно быть больше (или равно) числу коэффициентов в модели. Существуют-^- реплики (полурешшка), - |-
реш ш кн,-|- реплики и т .д . Условные обозначения ДФП и количес
тво опытов» необходимое для их реализации, приведены в табл.5
Коля- |
|
ДФП |
|
ITfinNrDfV |
|
|
|
HtJUTjDlr |
|
|
|
Фак |
|
|
|
торов |
|
Дробность реплики |
|
|
|
||
I |
|
г |
|
2 |
|
|
|
8 |
£ |
реплики от |
2® |
4 |
£ |
реплики от |
2* |
|
2 |
|
|
|
£ |
реплики от |
Ф |
5 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
| |
p a n » » « |
* |
f |
|
Т а б л и ц а 5 |
|
|
|
ПФП |
|
Услов |
Количе |
Услов |
Количе |
ное |
ство |
ное |
ство |
обоз- |
опытов |
обоз |
опытов |
нача-. |
|
наче |
|
вив |
|
ние |
|
3 |
4 |
5 |
6 |
|
<- |
г8 |
4 |
г8"* |
4 |
28 |
8 |
|
6 |
Ф |
16 |
г6" 1 |
16 |
|
|
г5-2 |
8 |
г5 |
82 |
|
1 |
||
|
|
||
|
|
|
t __ ___________ _•____________ ■
I |
|
2 |
|
|
8 |
|
i |
реплики |
от |
26 |
26-2 |
|
|
||||
6 |
1 |
реплики |
от |
26 |
2е" 3 |
|
|||||
|
1 |
реплики |
от |
27 |
27-2 |
|
|
||||
7 |
^ |
реплики |
от |
7 |
27-В |
I |
2 |
|
|||
|
8 |
|
|
|
|
|
т |
реплики |
от |
7 |
2 ™ |
|
_ i, |
2 |
|||
|
16 |
|
|
|
28-8 |
|
£ |
реплики |
от |
2® |
|
|
|
||||
|
8 |
|
|
|
28-4 |
|
|
реплики от |
2® |
||
|
16 |
|
|||
|
|
|
|
|
Продолжение табл. 5
«•
4 |
5 |
6 |
16
26 64
8
1
32
16 |
27 |
128 |
8
82 о
28 256
16
Для |
получения — реплинм ДФП типа |
^ |
в патрицу планирования |
ПфП • с числом факторов It - I необходимо |
ввести столбец ft -факто |
ра (зсц), уровни которого для каждой строки плана (для каждого опыта, Яга,*1-*- ) определяют путем перемножения кодированных зна чений других специально выбранных для этого факторов. Так, для получения ДФП 23"1 в матрицу ПФП 22 вводят столбец с фактором BCj, кодированные значения которого в каждой из 28"1 строк пла
на приравнивают к произведению яч-к г(таб л . 6) . |
В кодовом обо |
значении зта матрица записывается в ви де:.в, а, |
б1, абв. При |
этом соотношение Xj=x,cc«, называется генерирующим соотношени |
|
ем. |
|
Расчет коэффициентов, оценка их значимости и |
проверка |
||||
адекватности |
модели |
производятся так же, как и по |
ПФП (форму |
||
лы 64-68). В данном |
случае для ДФП 2 ^ |
коэффициенты будут |
|||
равны: |
д |
/л. |
|
|
/ |
|
К * С ч ^ Ц .г + ^ -5 +1 ч)/ц i |
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а |
6 |
|
|
< |
t |
|
4 |
i |
|
к> |
Кодированные значения |
Параметр |
Кодовое |
|
||
опыта |
оптими |
обозначе |
|
|||
факторов |
|
зации, |
ние строк |
|
||
|
X i |
Х г |
|
¥ |
|
|
I |
-X |
- I |
+1 |
¥ f |
в |
|
2 |
+1 |
- I |
- I |
Чг |
а |
|
8 |
- I |
+1 |
- I |
Ч-ъ |
б |
|
4 |
+1 |
+1 |
+1 |
5ч. |
абв |
|
Однако |
оледует |
отметить» |
что |
при проверке адекватности |
|
модели, полученной по ДФП, в число ее значимых коэффициентов не входят коэффициенты от факторов, приравненных к произведе ниям. При использовании ДФП необходимо, чтобы в выбранных ин тервалах варьирования параметр оптимизации былпредставлен ли нейной моделью. В данном случае для ДФП эффект при нимают равным нулю. Однако на практике эффекты взаимодействия обычно не равны нулю, хотя некоторые из р х могут быть прене брежимо малы по сравнению с линейными эффектами ( К ) . В этом случае коэффициенты модели будут смешанными оценками суммы:
где J> - математическое ожидание для соответствующего коэффици ента, т .е . смешиваются эффекты взаимодействия с основными эф фектами. А так как постулируется линейная модель и предполага
ется, что эффекты взаимодействия близки |
к нулю, |
должны соблю |
|||
даться условияг-^й^! |
и - ^ - ^ з |
« |
Однако |
не все |
основ |
ные эффекты оцениваются отдельно друг |
от |
друга. |
Поэтому |
при |
использовании ДФП необходимо заранее представлять» какие коэф
фициенты могут иметь несмещенные оценки» что определяет |
так |
||
называемую,"разрешающую способность дробной реплики”. |
Чтобы |
||
выяснить какие коэффициенты смешанные, необходимо обе |
части |
||
генерирующего соотношения ЭСз- o c v ас |
умножить на ось? x y X j = |
||
Произведение XVXJ/XJS А |
называется определяющим |
||
контрастом. Умножив определяющий контраст по |
очереди н а х < ,х г |
||
ж Х з, получим з:^эсг Х э; Х а ^ х з JO C JS X IXJ. . |
Это значит, |
что |