книги / Теория автоматического управления техническими системами

Полученны выражения подставляю в уравнение (3.4):

После переноса в левуючасть уравнения (3.5) членов, содержащих Лео, по­ лучимдля рассматриваемого двигателя линеаризованное уравнение в при­ ращениях, выраженное в абсолютных единицах.

Для приведения дифференциального уравнения в отклонениях, выражен­ ного в абсолютных единицах, к уравнениюв относительных единицах и с безразмерными коэффициентами выбирают номинальное значение момента Мни на него делят каждый член уравнения (3.5):

где ДМ(0=АМд(0-А^с(0.

Врезультате все членыуравнения стали безразмерными. Для координат каждого приращения, входящего в полученное уравнение, выбирают соот­ ветственно некоторы постоянные значения. Так, для угловой скорости — номинальное значение ©н, для координаты серводвигателя —максимальное значение тт. Каждый член уравения, в который входит та или иная пе­ ременная, делят (умножают) на соответствующее ей выбранное постоянное значение.

После этого уравнение (3.5) будет иметь вид

последнее уравнение переписывают в виде

Вводят обозначения:

Уравнение (3.6) двигателя как объекта регулирования принимает вид

Все величины, входящие в уравнение (3.7), за исключениемt ипостоянной Тчприведенык безразмерному виду. Полученное уравнение справедливо идля других двигателей, так как их динамика во многоманалогична. Часто используют другуюформу этого уравнения (для инерционного объекта ре­ гулирования) :

T^+x2=f(t) + bxlt

Приведем для различных обектов регулирования несколько типовых линеаризованных уравнений, записанных в оператор­

ной форме: {Тр-fi)*2=f(0—

{T22P*+t i P ) —Xi•

T22p2-\-TlP+\)X2=f(t)—kXU

где p —символ дифференцирования (p^df(dt)).

Методика составления уравнений элементов автоматическо­

ны х представляет собой то время, через которое эта величина достигла бы своего конечного значения (являющегося ее пре­ делом в бесконечности) в случае, если бы она изменялась с

Здесь f(t)—входное воздействие; x(t)—изменение выходной величины; о/, bi—постоянные величины, которые определяются физическими (техническими) свойствами системы.

Уравнение (3.8) описывает физические процессы, т. е. изме­ нение переменных х и f, в замкнутой системе регулирования. Его решение может быть:

т. е.1) общим, когда правая часть уравнения (3.8) равна нулю,

« . & + * « £ 5 - + . . . + * £ - м - (3-9)

2) частным, когда это уравнение представляет собой выра­ жение, которое, будучи подставлено в его левую часть, дает правую, т. е. обращает уравнение в тождество.

где Ci, С2,..., Сп —постоянные, зависящие от начальных усло­ вий.

Решение уравнения (3.9) удовлетворяет условию Птx(t)=0,

т. е. свободные колебания системы с течением времени затуха­ ют только в том случае, если все корни Я; характеристического уравнения имеют отрицательные вещественные части.

Вычисление вынужденных колебаний. Пусть воздействие f(t) представляет собой гармоническую функцию времени, т. е. линейную комбинацию sin at и cosю/:

f(0=foCOs((ûH-<p),

где ©—угловая частота воздействия; /0—амплитуда; <р—

фаза.

Если начальная фаза фо^О, то f(t)=focosиt.

Гармоническую функцию можно рассматривать и как сумму двух экспонент:

/ (*)= Лcos = ТеУа<+4°е-У“'’ J= vr=T-

Последнее удобно с математической точки зрения, так как производная и интеграл —тоже экспоненциальные функции. Считая данную систему линейной, применяют к ней принцип суперпозиции и определяют реакцию, создаваемую каждой из экспоненциальных функций в отдельности.

При f(f)=YeJ<ùt частнс^ решение уравнения (3.8) имеет вид

Когда f(t)—гармоническое воздействие, т. е. ffjt)=focos©f, то

a(©)=&o—&2©2+64©4—. . . i b (cd) =&i(d—bz(ùz+bs<ù6—... ; C(û)) =ûo—Û2Û)2+a4©4—... î d((ù)=ai(û—аа(о3+а5(й5—••• •

устойчива, иостанутся лишь вынужденны колебания. Они будут иметь час­ тоту (о, равнуючастоте воздействия, но отличаться от входного воздейст­ вия по амплитуде ифазе (рис. 3.5). Амплитуда выходного сигнала и угол сдвига фазывыходного сигнала xDUï=A(co)-cos[(i)f+q)(co)l по отношению

к входному зависят от угловой частотыш.

На рис. 3.6 приведена схема включения контрольно-измерительной аппа­ ратурыдля определения частотных характеристик, которая позволяет гене­ рировать синусоидальные входные колебания различной частоты, измерять амплитуду колебаний на входе ивыходе системы, а также сдвиг фазымежду этим колебаниями.

Для экспериментального определения частотных характеристик исполь­ зуют специальнуюнизкочастотнуюаппаратуру, так как САР—обычно низ­ кочастотные системы. Всостав аппаратуры входят, например, следующие приборы(см.рис. 3.6) :

Рис. 3.6. Схема включения измерительной аппаратурыдля оп­ ределения частотных характеристик

3.4.Передаточная функция непрерывной линейной стационарной системы и ее свойства

Втеории автоматического регулирования широкое приме­ нение получил способ математического описания, основанный на понятии передаточной функции. Как уже отмечалось, физи­ ческие процессы в системе (или элементе системы) автоматиче­ ского регулирования в общем случае описывают линейным уравнением (3.8).

Пусть воздействие f(t) удовлетворяет условиям: f(t)=0; ^<0;

J |/(0|е-е*Л<оо,

где с—абсцисса абсолютной сходимости. Тогда преобразование Лапласа для функции f(t)

является передаточной функцией динамической системы. Согласно выражению (3.15), передаточной функцией непре­

рывной линейной стационарной динамической системы назы­ вают отношение преобразования Лапласа X(s) переменной x{t)' на выходе системы к преобразованию Лапласа F(s) воздейст­ вия f(t) на ее входе при нулевых начальных условиях.

Передаточная функция полностью характеризует динамиче­ ские, а также статические свойства системы. Зная передаточ­ нуюфункцию системы и вид воздействия, можно определить переходный процесс на выходе системы.

Передаточные функции устойчивых динамических систем обладают следующими основными свойствами:

1) передаточная функция Y(s) представляет собой дробно­ рациональную функцию вида (3.15), причем в реальной систе­ ме порядок т числителя не превышает порядок п знаменателя; 2) все коэффициенты b0, bи ..., bm-1, bm, а0, ai,..., а„_ь а„ передаточной функции вещественны. Это следует из того, что они представляют собой функции параметров системы, т. е. мо­

гут быть только вещественными; 3) невещественные нули и полюсы передаточной функции

могут быть лишь комплексно-сопряженными;

4) все полюсы передаточной функции У(s) расположены в левой полуплоскости комплексной плоскости, что являетсяусло­ вием устойчивости системы;

5) при /ш передаточная функция (3.15) преобразуется в амплитудно-фазовую частотную характеристику системы, а при s=0—в передаточный коэффициент (для позиционных звень­

ев).