книги / Теория инженерного эксперимента
..pdfТеперь ошибочно предположим, что распределение В является нормальным. В этом случае примем рь — = 0,5 см и, используя соотношение (3.25) для нормаль ного распределения, найдем ошибочное значение sb, рав ное 0,737 см. По формуле (3.24) получим ошибочное значение sr, равное 1,04 см, тогда как точное значение s, равно 0,938 см. Для большинства вычислений такого ха рактера этой ошибкой, которая не превышает 10% sr, можно пренебречь.
Было бы более правильно идти в обратном порядке, т. е. от s к р (или w). Однако из рассмотренного примера видно, что в случае распределений ошибок, отличающих ся от нормального, использование формулы (3.15) или со отношений из табл. 3.1 не приводит к серьезным погреш ностям при оценке суммарной ошибки. В том случае, когда формула (3.15) вообще не используется, будут по лучены значительно худшие результаты, чем в случае использования ее при недостоверных оценках ошибок.
Если эксперимент сложен, приборы дают ошибочные показания, табличные данные недостоверны, а распределе ние ошибок является асимметричным или имеет необычную форму и когда по.финансовым или гуманным соображе ниям необходим исчерпывающий анализ проводимого эксперимента, инженеру следует проводить моделирова ние на вычислительной машине всей системы, включая из мерительные приборы и испытательную аппаратуру. При анализе такого рода полный эксперимент многократно повторяется на вычислительной машине, при этом выби раются соответствующие распределения ошибок с целью обеспечения правильных показаний приборов для каждого цикла моделирования. Моделирование на вычислительной машине работы измерительной системы кратко рассма тривается в гл. 11.
3.8. Выводы
Был рассмотрен метод, когда путем подстановки в м э- тематические выражения ошибок или неопределенностей отдельных измерений можно получить ошибку или неопре деленность результата. Этот статистический метод наи более приемлем, когда может быть получена достаточно
обоснованная оценка статистического характера неопре деленностей. Необходимо убедиться в том, что распреде ления отдельных ошибок являются нормальными или, во всяком случае, симметричными, и попытаться с неко торой степенью достоверности оценить вероятную ошибку или другой показатель точности. Когда фирма указывает на приборе тот или иной интервал отклонений, то обычно предполагается, что в этом интервале находится 95—99% всех показаний прибора. Если же такие данные не при водятся, то можно считать, что такой интервал равен по ловине наименьшего отсчета или наименьшего деления шкалы. В случае важных экспериментов или эксперимен тов, в которых были получены недостоверные результаты, может потребоваться экспериментальное определение ошибки измерительного прибора, что рассматривалось в гл. 2.
После определения вероятной ошибки или среднего квадратического отклонения измеряемых величин с по мощью формулы (3.14) или (3.15) находится выражение для ошибки результата. Такие выражения для несколь ких простых функций приведены в табл. 3.1, однако в инженерной практике может встретиться множество дру гих выражений и анализ их может вызвать более или ме нее серьезные затруднения.
Выражения для ошибки результата важны не только с точки зрения нахождения суммарной неопределенности. Они позволяют также определить требуемые интервалы точности измерительных приборов, а также подсказывают способы работы с испытательной аппаратурой и дают возможность выбрать значения переменных, минимизи рующие неопределенность.
При наличии алгебраической функции неопределен ность результата можно вычислять, используя дифферен циальное и интегральное исчисления. В некоторых слу чаях для получения ошибки результата может потребо ваться применение диаграмм, таблиц, номограмм или других аналогичных графических материалов. Для оты скания производных, необходимых для решения уравне ния (3.14) или (3.15), используется метод конечных раз ностей или графический метод (измерение тангенса угла наклона кривой). Во многих экспериментах остается не
определенность, полностью обусловленная ошибками округления и погрешностями графических построений. Не имеет смысла стремиться к уменьшению ошибки или неопределенности результата значительно ниже этой ос новной ошибки, если мы не можем построить более точ ные графики.
Неопределенность или ошибку могут вносить как слу чайные, так и постоянные величины, и исследователь обя зан оценивать неопределенность таких фиксированных величин, рассматривая их как чисто случайные величи ны, исследуемые в эксперименте. Такую фиксированную величину можно рассматривать как единственную реали зацию некоторой случайной величины.
З А Д А Ч И
3.1. Покажите, что при R = Х /Y аналитический ме тод, описанный в разд. 3.1 (не общий метод), дает урав нение ошибки (3.8).
3.2.Требуется получить сопротивление 50 ом при параллельном соединении двух резисторов сопротивле нием 100 ом. Ошибка резистора сопротивлением 50 ом не должна превышать 1%. Какие предельные ошибки (в процентах) должны иметь эти два резистора сопротив лением 100 ом?
3.3.Используя общее уравнение (3.15) для вероятной ошибки, выведите формулы (1), (4), (5), (6) и (7), записан ные в табл. 3.1.
3.4.Уравнение Каррье выражает зависимость между фактическим давлением пара Р0 и давлением насыщенного пара Pst при температуре влажного термометра Twb, баро метрическим давлением Рь, температурой сухого термо
метра Tdb и температурой влажного термометра ТшЬ:
р __ р ___ ( P b |
P s t ) ( T d b T 'w b ) |
v |
2800— \ , ‘i T wb |
Вычислите неопределенность результата в процентах при
Pst =0,012 кГ/см\ Twb = 10 °С, Tdb = 21 °С, Рь =
— 1,032 кГ/см2, если все величины определены без ошиб ки, за исключением Pst и Twb, которые могут иметь не* определенность ±6%.
3.5. Коэффициент истечения С мерного отверстия
определяется по |
формуле |
|
|
|
|
р _- и |
- (A M ] 1'2 |
|
|
|
4 |
A2(2ghÿ» |
* |
|
где q — объемный |
расход, равный |
9440 см2/сек |
(точное |
|
значение); Ах — площадь |
поперечного сечения |
трубы, |
равная 64,5 см2; А2 — площадь мерного отверстия, рав ная 32,25 см2, Аг и А2 определены с вероятной ошибкой 0,65 см2; g = 9,81 м/сек2; h — изменение давления в по токе вдоль мерного отверстия на каждые 5 см потока при рА = 0,25 см. Найдите ошибку в определении С и ука жите, какую величину необходимо измерять с большей точностью для повышения точности С.
3.6. Стойка с шарнирным соединением испытывает
сжимающую нагрузку Р = 450 ± |
20 кГ, эксцентриситет |
||||
е равен 0,25 |
± 0,025 мм, осевой момент инерции / состав |
||||
ляет 41,6 |
см*, |
модуль |
упругости Е =7*10® ± |
||
± 3,5* 104 кГ/см2, длина стойки L |
= 30,5 см. Прогиб оп |
||||
ределяется по формуле |
|
|
|
||
|
- и |
- я |
ч |
м |
- |
Какой будет ошибка в определении прогиба?
3.7.Проверьте правильность уравнения ошибки, по лученного в задаче 3.5.
3.8.По измерениям угла падения 0,- и угла преломле ния 0, требуется вычислить коэффициент преломления N
всреде по формуле
Л Г = - ^ . sinOz-
При каком значении угла вг следует проводить экспери мент, если показатель преломления составляет ~1,5, угол падения может принимать любое значение в интер вале от 0 до 90° и неопределенность для обоих углов при любом их значении составляет ±0,2°?
3.9. Среднелогарифмическая разность температур оп ределяется по формуле
л'г |
А7*2 |
|
лог—1п(Д^/дг,) • |
Пусть АТх = 2ДТ2 и каждая разность характеризуется одной и той же относительной ошибкой. Какой должна быть эта ошибка, чтобы ошибка в определении среднело гарифмической разности температур не превышала 5%?
3.10. Истинная разность давлений в испытательной аппаратуре, которая лежит в интервале от 0 до 2,5 см вод. cm., определяется с помощью двухжидкостного манометра. Разность h в высоте столбов жидкостей опре
деляется с ошибкой 4%; |
dx — удельный |
вес более лег |
кой жидкости; d2 — удельный вес более |
тяжелой жид |
|
кости; R — отношение |
площади поперечного сечения |
трубки к площади поверхности сосуда, R =0,10. Имею щийся прибор измеряет удельный вес жидкости с точ ностью ±5%. Получены следующие значения удельного
веса |
жидкостей в г/см?: dA = 0,86; dB = 1,0; dc = |
1,08; |
|
dD = |
1,56; dE =2,2; dF = 3,0 . Работа |
манометра |
опи |
сывается уравнением АР = h(d.2 — dx |
+ R-dx). |
Выбе |
рите две жидкости, обеспечивающие наиболее точное измерение АР в требуемом интервале.
3.11. Уравнение |
R = R0(l + а Т ) |
выражает зависи |
мость сопротивления |
от температуры, |
где R0 и ос — по |
стоянные, которые необходимо определить эксйериментальным путем. Если R = 10,3 ом при Т = 10 °С и R = = 11,7 ом при Т = 66 °С, р, = ±0,1 ом и pt = ±0,7 °С, то какова ошибка в определении R0 и а?
3.12. При неопределенностях, указанных в задаче 3.4, оцените суммарную неопределенность для h в области
Р= 35 кГ/см2 и Т = 540 °С.
3.13.Какова ошибка в определении вязкости, удель ной теплоемкости, теплопроводности и плотности воды при температуре 38 °С, если ошибка в определении тем пературы составляет ±1,1 °С? Решите эту же задачу для воздуха при атмосферном давлении 0,989 кГ/см2. Необ ходимые данные для воды и воздуха возьмите из таблиц или графиков, имеющихся в учебниках.
3.14.При испытаниях теплоизлучающих панелей теп ловая энергия <7 , подводимая к панели, принята равной 270 кал/см?-час (точная величина). Температура панели
составляет 316 °К и при теплоотдаче понижается до 272 °К. Полагая, что абсолютная .ошибка измерения тем пературы одинакова во всем интервале, определите ее
величину, если максимальная ошибка в определении коэффициента теплоотдачи панели е не должна превы шать ±10%. Уравнение имеет вид
q={FAoa)-e'(T*p- T Î ) ,
где |
Тр — температура |
панели, |
Ts — температура |
после |
||||
теплоотдачи, |
F, А, |
о |
и а — постоянные, |
известные |
||||
без |
ошибки. |
Произведение |
этих постоянных |
равно |
||||
9,8-10~8 кал/см2-час-°К4. Заметим, |
что е — безразмерный |
|||||||
коэффициент, |
значение |
которого |
заключено |
между 0 |
и1,0.
3.15.Средняя площадь поперечного сечения трубы в системе фильтрации выражается через площади попереч ного сечения входной (Л^ и выходной (Л2) труб следую щим образом:
Ах = Л2/2 и, согласно оценке, ошибка в определении каждой из этих величин составляет 7%. Какова резуль тирующая ошибка в определении Лср, обусловленная наличием этих ошибок?
3.16. Аппаратура, применяемая при проведении экспе римента, измеряет отношение поверхностного натяжения при температуре T(S) к поверхностному натяжению при 0 °С (S0) и отношение температуры поверхностной плен
ки Г к критической температуре жидкости Т*. Эти дан |
||
ные связаны уравнением |
|
|
JL_(l_ Л\" |
||
S« |
у |
т* ) • |
Цель эксперимента состоит в том, чтобы найти важный безразмерный параметр п. Максимальная ошибка в опре делении 5/50 составляет 0,05, а максимальная ошибка для Т/Т* равна 0,03. Какой будет максимальная ошибка для п в области, где S/S0 — Т/Т* = 0,5? Определите, является ли данный эксперимент практически целесооб разным, и укажите, каким путем его можно улучшить.
3.17. Предполагается, что рост кристалла происходит по следующему закону:
T — Cdn/mo,
где Т — время роста, С — некоторая временная постоян ная, связанная с концентрацией раствора, a m/m0 — от-
носительное |
изменение массы кристалла. Если |
при |
|
m/m0 = 2,0 ошибка в определении m/m0 составляет |
1 %, |
||
а С = 0,3 |
± |
0,05 час, то какова ожидаемая ошибка в оп |
|
ределении |
77 |
|
3.18. Сток через щелевой водослив W является функ цией измеренного напора Я:
W = 3,33 (В + 0,2Я) Я3/2,
где В — ширина водослива; предполагается, что эта ве личина известна точно. Найдите уравнение для ошибки в определении № как функции ошибки в определении Я при условии отсутствия других ошибок. Используя эту формулу, определите, какой из двух водосливов (при одной и той же производительности) имеет лучшую конст рукцию. Для водослива ХВ = 43 см и Я =61 см, а для водослива Y В = 92 см и Я = 31 см. Полагаем, что ошиб ка в определении Я более или менее постоянна при любом напоре.
3.19. Напряжение аккумулятора определяется подфор муле
£ = £ о+ 0.081п -£ч
где £ 0 = —0,2 в (точное значение); Ск — молярная кон центрация кислоты, равная 5 моль/л , известная с вероят ной ошибкой 0,6 моль/л-, Св — концентрация восстанови теля, равная 1 моль/л, известная с вероятной ошибкой 0,2 моль/л. Какова вероятная ошибка в определении £?
3.20. Для обработки результатов эксперимента, свя занного с теплопередачей, должны использоваться сле дующие три уравнения:
|
|
N TU =ln _L _, |
(А) |
|||
|
|
NTU |
UA |
|
(В) |
|
|
|
wCp ’ |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
л ____ |
7 с,В Ы Х |
T C f ВХ |
(Q |
|
|
|
8 — |
Th - T |
CtBX |
|
|
|
|
|
|
|||
а) |
Найдите |
ошибку е |
по |
формуле(С), если |
Th = |
|
= 100 °С |
(точная |
величина), |
Те вх = 15,6 ± 0,7 °СГ |
|||
Т’с.вых =82,2 ± 0 ,7 °С. |
|
|
|
|
7—168
б) Найдите выражение для ошибки в определении NTU по формуле (А) при известной ошибке е и исполь зуйте результаты вычислений, выполненных в п. «а», для оценки ошибки в определении NTU (безразмерная величина).
в) Цель эксперимента состоит в том, чтобы^найти U
по формуле (В). |
При w = 200 ± 2 кг/час, С. = |
= 2,5 ккал/кг-град |
(точная величина) найдите ошибку в |
определении U, учитывая уже найденную ошибку для е. Изучите возможность проведения более точного экспе римента.
3.21. В задаче 2.20 рассматривалось двувершинное распределение. Какой будет результирующая ошибка, если среднее квадратическое отклонение данного распре деления совместно со средним квадратическим отклоне нием распределения, изображенного на фиг. 2.11, а, образуют функцию типа'суммы [формула (3.24)]? Допу стим теперь, что в задаче 2.20 среднее квадратическое отклонение было вычислено через вероятную ошибку при
допущении, |
что распределение f является нормальным |
[по формуле |
(3.25)]. Какое значение примет sr} и какова |
ошибка в оп ределении этой величины? Какой будет фор мула, эквивалентная (3.26), для распределения, рассмо
тренного |
в |
задаче |
2.20? |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ЛИТЕРАТУРА |
|
|
||||
1. |
В i r g e |
|
R. T., |
|
Am. Phys. Teacher, |
7, |
351—357 (1939). |
|||||||
2. |
D e ш i n g |
W. E., |
Statistical Adjustment of Data, Ch. 3, Wiley, |
|||||||||||
3. |
N Y |
1943 |
H., |
O 1 s e n^L., |
A m . J. Phys., 18,^51 (1950). |
|||||||||
F l e ’i s h e r |
||||||||||||||
4. |
H a n a u |
R., |
A m . |
J. Phys., 19, 382 (1951). |
||||||||||
5. |
K e e n a n |
J. H., |
K e y e s |
F. G., |
Thermodynamic Properties |
|||||||||
6. |
of Steam, Wiley, N.Y., 1936. |
|
|
|
|
|
||||||||
K l i n e |
|
S. J., |
Обсуждение статьи Трешера и Байндера, Trans. |
|||||||||||
7. |
ASM E , Vol. 79, |
No 2 (February |
1957). |
|
Describing Uncertainties |
|||||||||
K l i n e |
|
S. J., |
M c C l i n t o c k |
F., |
||||||||||
8. |
in Single Sample Experiments, Mech. Eng. (January 1953). |
|||||||||||||
R о w 1 e s |
W., |
|
A m . J. Phys., |
27, 62 (1959). |
||||||||||
9. |
V o l k |
W., |
Applied Statistics for Engineers, McGraw-Hill, N .Y ., |
|||||||||||
10. |
1958. |
|
|
W. A., |
Design of Power-plant Tests to Insure Reliabi |
|||||||||
W i l s o n |
|
|||||||||||||
11. |
lity |
of |
Results, |
Trans. ASM Et 77 (4), |
405—408 (May 1955). |
|||||||||
W o r t h i n g |
A. G., |
G e f f n e r |
J., |
Treatment of Experimen |
||||||||||
|
tal |
Data |
Ch. 9, |
Wiley, |
N.Y., |
1943. |
|
|
Г л а в а 4
УМЕНЬШЕНИЕ НАБОРА ПЕРЕМЕННЫХ. АНАЛИЗ РАЗМЕРНОСТЕЙ
Безусловно, наиболее важным и решающим аспектом планирования экспериментов является изучение неопре деленностей отдельных измерений и их комбинаций, что и рассматривалось в двух предыдущих главах. Если по тенциальные ошибки чрезмерно велики, то ни изобрета тельность, проявляемая при составлении плана экспери мента, ни применение самых совершенных статистических методов не спасут положения. Однако если анализ неопре деленностей показывает, что все обстоит хорошо, то иссле дователь может обратиться к более тонким аспектам пла нирования эксперимента. Цель такого планирования мож но сформулировать следующим образом: получить макси мальный объем полезных данных при наилучшем контроле и минимальных затратах времени на их обработку и вы числения.
Как мы увидим, существует несколько довольно про стых способов добиться компактности плана эксперимен та без потери общности или контроля. Самым известным и наиболее эффективным (для инженера) способом является анализ размерностей. Около 50 лет назад анализ размер ностей применялся главным образом при проведении экс периментов, и в частности как способ объединения не скольких переменных эксперимента в одну. Анализ раз мерностей широко применялся в таких областях, как гидромеханика и теплотехника. Почти все крупные экспе рименты в этих областях проводились с применением дан ного метода. Анализ размерностей стали включать в про граммы технических учебных заведений, и постепенно он утратил свое первоначальное назначение. Часто анализ размерностей рассматривался не как принцип, с по мощью которого можно существенно усовершенствовать
7*
методику работы, а как педагогический прием или истори ческий курьез. Еще 30 лет назад анализ размерностей широко применялся в экспериментальной работе либо использовался как простой и быстрый способ вывода функ циональных соотношений без применения сложной тео рии1.
Теперь же молодые инженеры часто смотрят на анализ размерностей не иначе, как на простой способ получения некоторых уже известных результатов либо как на исто рический курьез, не имеющий отношения к современной технике. Назначение данной главы — поколебать в неко торой степени такие представления. С этой целью анализ размерностей будет освещен в том плане, как он первона чально применялся, а именно как метод, сокращающий объем многих экспериментов без потери контроля. Для многих работ по изучению солнечной активности, термо ядерной энергии и космических полетов данный метод может оказаться не менее полезным, чем для решения за дач гидравлики, судостроения или холодильной техники.
4.1. Теорема Букингема
Для правильного применения анализа размерностей исследователь должен знать характер и число фундамен тальных переменных в его эксперименте. Фундаменталь ной переменной называют любую величину, оказывающую влияние на эксперимент и способную изменяться неза висимо от других переменных. Фундаментальные перемен ные необходимо отличать от регулируемых переменных. Например, ускорение силы тяжести можно изменить не зависимо от других переменных, рассматриваемых при проведении эксперимента, отправив аппаратуру на Луну, однако мы представляем себе, что в обычных лаборатор ных экспериментах это сделать невозможно.
Если экспериментатору действительно известны все переменные, то он может сразу же преобразовать их,
1 Некоторые примеры, иллюстрирующие эту сторону анализа
размерностей, можно найти в работе [2]. [См. |
также книгу: |
С е |
д о в Л. И., Методы подобия и размерности |
в механике, |
изд-во |
«Наука», 1967,— Прим, ред.) |
|
|