книги / Теория и методы принятия решений, а также Хроника событий в Волшебных Странах

терия, шкала которого содержит три оценки, таких возможно­ стей уже три, из которых лишь одна реализуется в рассматри­ ваемом примере (р=2, q=3).

В зависимости от типа задачи либо может быть построена упорядоченная шкала всех оценок по данному критерию, либо могут быть упорядочены КСа, встречающиеся только в данной конкретной задаче. В общем случае для шкалы критерия с N оценками существует N(N —1)/2 возможностей, которые необ­ ходимо проанализировать.

Обратимся к рассматриваемому примеру. Пусть ЛПР, ана­ лизируя назначения {Ci - Oi},{C2 - 02},{Сз - Оз} с векторами со­ ответствия 100, 010 и 001, упорядочил ценности КСа следую­ щим образом:

f(KC.11’1)=>f(KC121>1) и f(KCa2M)=>f(KC,32’1),

что для первой пары интерпретируется в виде: вектор соответ­ ствия, у которого первый компонент равен 1 при оценке по шкале требований, равной 1, а остальные компоненты равны нулю, предпочтительнее вектора, второй компонент которого при тех же требованиях равен 1, а остальные компоненты рав­ ны нулю; а для второй пары —в виде: вектор соответствия, у которого второй компонент равен 1 при оценке по шкале требо­ ваний, равной 1, а остальные компоненты равны нулю, пред­ почтительнее вектора, третий компонент которого равен 1 при оценке по шкале требований, равной 2 , а остальные компонен­ ты равны нулю.

При выполнении условия независимости, учитывая транзи-

11 2 1

тивность (из которой следует (f(KCai ’ )=>f(KCa3 ’ )), эти ре­

зультаты можно использовать для упорядочения ряда назначе­ ний без обращения к ЛПР.

Рис. 12.1. Граф упорядочения назначений по качеству (пример)

На основании такого рода отношений большинство назначе­ ний могут быть упорядочены по качеству. Так, для приведенного выше примера можно построить граф, показанный на рис. 1 2 .1 .

В рассматриваемом примере формально остается невыяс­ ненным лишь отношение между назначениями {С2—Oi} и {С3—Ог}, определение которого требует обращения к ЛПР. Од­ нако и это отношение может быть получено, если будет выясне­ но, что условие независимости выполняется. Тогда, поскольку F(f(KCaiM),0,0) => F(0,0,f(KCa32,1)) и это отношение не может измениться от наличия одинакового КСа по второму критерию у сравниваемых векторов, имеем

F(f(KCaiM), f(KCa2M),0) => F(0,f(KCa21’1),f(KCa32'1)), т. е. F{C2, OI}=>F{C3, 02}.

Аналогичные графы могут быть построены и в общем слу­ чае. Назовем их графами частичного упорядочения векторов со­ ответствия по их ценности для ЛПР. Графы частичного упоря­ дочения векторов соответствия позволяют перейти к ранжиро­ ванию этих векторов по ценности.

Выделим в графе все недоминируемые векторы и назовем их первым ядром. Среди векторов, оставшихся после удаления первого ядра, выделим второе ядро, состоящее из недомини­ руемых векторов в редуцированном пространстве. Этот процесс повторяется до исчерпания графа [17]. Вектору, входящему в i-e ядро, присваивается i-й ранг, если над ним доминирует вектор из (i—1 )-го ядра, а он сам доминирует над вектором из (i+l)-ro ядра. Если вектор входит в i-e ядро и доминирует над вектором из (i+p)-ro ядра, то его ранг размыт и находится в пределах от (i+1 ) до (i+p—1 ).

Процедура ранжирования для рассматриваемого примера приводит к следующему результату:

332

Получим для рассматриваемого примера табл. 12.5, отра­ жающую упорядочение назначений по качеству (высшее каче­ ство —идеальное назначение —имеет высший ранг, которому присвоено значение 0, при снижении качества уменьшается ранг назначения и соответственно увеличивается его номер, т. е. число, отображающее качество).

В результате выполнения основной и вспомогательной про­ цедур выявления предпочтений назначения ранжируются по их ценности для ЛПР.

Выше была проиллюстрирована основная процедура выяв­ ления предпочтений ЛПР для абсолютных критериальных от­ клонений. Покажем, каким могло бы быть решение рассматри­ ваемого примера при анализе относительных критериальных отклонений. Первый этап такого анализа прост и не требует участия ЛПР. Действительно, из анализа таблицы сходства (см. табл. 12.2) и учета свойств функции ценности следует упорядо­ чение всех объектов по отношению к каждому из субъектов, и наоборот. Суммируя полученные при таком ранжировании ран­ ги (высший ранг равен 0), получаем табл. 12.6.

Т а б л и ц а 12.6

Ранги назначений при относительных соответствиях

В соответствии с критерием оптимальности ЛПР утвержда­ ет очевидное решение: [{Ci - О2} {С2 - О3} {С3 - Oi}].

Как правило, количество вопросов к ЛПР при анализе от­ носительных критериальных соответствий меньше, чем при анализе с использованием абсолютного индекса соответствия.

333

9. Поиск окончательного решения многокритериальной задачи о назначениях

На предыдущем этапе получено упорядоченное по качеству множество назначений, представленное в виде таблицы, эле­ ментами которой являются оценки качества назначений. Эта таблица служит исходной информацией для поиска оконча­ тельного решения МЗН (см., например, табл. 12.5 и 12.6).

Напомним введенное ранее понятие ценности решения МЗН для ЛПР как функции совокупности назначений, формирую­ щих решение МЗН: F({Ci - Oj}).

Далее предлагается несколько различных процедур поиска окончательного решения МЗН, выбор которых зависит от типа рассматриваемой задачи [12]. СППР лишь рекомендует воз­ можные подходы для тех или иных типов задач. Однако выбор процедуры поиска решения остается за ЛПР —он может учи­ тывать рекомендации системы, но волен поступать, исходя из своих реальных возможностей и потребностей. Любой из вы­ бранных путей приведет к цели, но некоторые будут более бы­ стрыми и потребуют меньших затрат. Эти соображения и по­ зволяют рекомендовать следующие стратегии выбора процедур поиска решений МЗН.

9.1. Поиск решения МЗН типа А

При малом числе критериев, объектов и субъектов проце­ дура решения МЗН может выглядеть следующим образом:

1)анализ данных;

2)основная и, если необходимо, вспомогательная процеду­ ры выявления предпочтений ЛПР.

Второй этап является завершающим для данного типа задач.

9.2. Поиск решения МЗН типа В

При большом числе критериев и сравнительно небольшом числе объектов и субъектов рекомендуется следующий порядок поиска решения МЗН:

1)анализ данных;

2)формирование области допустимых решений (ОДР);

334

3)формирование структуры предпочтений ЛПР —основная

ивспомогательные процедуры (рекомендуется упорядочивать КСа по ценности лишь для реально существующего пространст­ ва КС, что позволяет существенно уменьшить нагрузку на ЛПР; эта рекомендация особенно касается уникальных задач);

4)ранжирование векторов соответствия по ценности;

5)формирование ранговой матрицы «объекты—субъекты», элементами которой являются числа, отражающие ранги век­ торов соответствия;

6)решение однокритериальной задачи о назначениях на ранговой матрице с оптимизацией по критерию максимального числа наилучших назначений.

Заметим, что в общем случае полученное при таком подходе решение МЗН не является единственным. Однако указанный критерий оптимальности позволяет формировать эффективное решение с максимально возможным для заданной ОДР качест­ вом, определяемым заданным критерием.

9.3. Поиск решения МЗН типа С

При большом числе объектов и субъектов, но малом числе критериев рекомендуются два подхода к поиску решения МЗН.

Первый подход аналогичен стратегии поиска решения, применяемой для задач типа В. Отличие заключается в том, что на этапе формирования структуры предпочтений ЛПР ре­ комендуется проводить упорядочение КСа по ценности для всего критериального пространства, что в данном случае позволит существенно уменьшить нагрузку на ЛПР. Эта рекомендация в первую очередь касается повторяющихся задач, поскольку один раз сформированная единая шкала ценностей КСа может затем использоваться многократно.

Второй подход рекомендуется для уникальных задач типа С. Этот подход основан на идеях, предложенных в [5,9], и оп­ ределяет следующий порядок поиска решения МЗН.

1.Формальный анализ.

2.Формирование структуры предпочтений ЛПР.

На втором этапе таблица соответствия анализируется ЛПР дважды —сначала по строкам, затем по столбцам. Построчный

335

анализ позволяет ранжировать предпочтения ЛПР, отражаю­ щие степень удовлетворенности субъекта характеристиками объектов, т.е. получить собственную ранжировку для каждой строки таблицы соответствия. Результаты проведенного анализа отражаются в первой из двух ранговых матриц. Аналогично при анализе таблицы соответствия по столбцам формируется вторая ранговая матрица.

В j-м элементе i-й строки первой ранговой матрицы нахо­ дится ранг вектора соответствия {Q - Oj}, в j-м элементе i-й строки второй таблицы —ранг вектора соответствия {Oj - Q}. В результате строки первой таблицы отражают точку зрения ЛПР на предпочтения каждого субъекта относительно каждого из объектов, а строки второй —на предпочтения каждого объекта относительно каждого из субъектов.

Ранги в таблицах замещаются соответствующими числа­ ми —высший ранг замещается нулем.

Процедуры этого этапа требуют от ЛПР существенно меньше информации, чем при формировании порядка на всем простран­ стве ОДР (см. пример, приведенный выше). При этом применяет­ ся основная процедура выявления предпочтений ЛПР.

3. Автоматическое формирование единой ранговой матрицы «объекты — субъекты», элементами которой являются числа, отражающие ранги векторов соответствия. В каждой клетке единой -матрицы находится сумма чисел, расположенных в со­ ответствующих элементах двух ранговых матриц.

4.Поиск решения однокритериальной задачи о назначени­ ях на единой ранговой матрице с оптимизацией по критерию максимального числа наилучших назначений.

5.Предъявление назначений одинакового ранга ЛПР для дополнительного анализа. СППР предупреждает о последствиях принимаемых решений.

6.Уменьшение размерности задачи и редуцирование таблиц за счет удаления сделанных назначений, изменение рангов в каждой из исходных таблиц, т. е. присвоение в каждой отдель­ ной строке нулевого значения высшим из оставшихся в строке рангов.

336

7. Повторение этапов 4—6 до получения полного решения МЗН.

На этом процедуры поиска решений МЗН заканчиваются. Заметим, что вмешательство ЛПР требовалось лишь на втором и пятом этапах; последующие этапы могут выполняться без его участия. Вариантом предложенного подхода является процеду­ ра, при которой поиск предпочтений ЛПР совмещается с выяв­ лением наилучших назначений.

В [5] доказана теорема о существовании наилучшего (нуле­ вого) элемента ранговой матрицы на каждом цикле процесса, т.е. сходимости рассмотренного процесса при условии, что упо­ рядочения векторов соответствия транзитивны.

Процесс обеспечивает эффективное решение, соответствую­ щее максимальной ценности решения для ЛПР (критерию оп­ тимальности).

9.4. Поиск решения МЗН типа D

При многих критериях и большом числе элементов двух множеств задача становится малообозримой для ЛПР. Можно рекомендовать следующую процедуру ее решения.

1.Аанализ данных.

2.Формирование ОДР.

Второй этап играет решающую роль для задач очень боль­ шой размерности. Рекомендуется, чтобы ЛПР уделил ему мак­ симум внимания и постарался сузить ОДР для облегчения своей последующей работы.

Желательно, чтобы в процессе формирования ОДР был найден удовлетворительный для ЛПР тип решения МЗН. За­ тем, за счет введения дополнительных ограничений, желатель­ но сформировать ОДР, которая приводила бы к почти одно­ значному решению МЗН. Средства быстрого поиска решений СППР при формальном индексе соответствия позволяют найти решение при минимуме усилий. Необходимо помнить, однако, что эти средства работают при предположении равноценности критериев и шкал.

3. Дальнейший поиск может идти путями, предложенными для задач других типов. Предлагаемая процедура не гарантиру-

337

ет достижение оптимального по ценности для ЛПР решения. Однако, поскольку решение находится в ОДР, сформированной ЛПР на основе своих предпочтений, а процедуры поиска при­ водят к эффективному решению, в котором присутствует мак­ симально возможное для выбранной ОДР число идеальных на­ значений, то окончательное решение МЗН находится в про­ странстве приемлемых для ЛПР решений.

10. Практическое применение

При практическом приложении данного метода в редакци­ онном отделе издательства [2] решалась задача о назначениях типа С для 30 субъектов.

Рукописи имели оценки по следующим критериям: 1) слож­ ность, 2) тематика, 3) важность. Сотрудники характеризовались оценками по критериям: 1) квалификация, 2) специализация по тематике, 3) качество выполняемых работ, 4) соблюдение технологической дисциплины. Критерии имели шкалы с дву­ мя —тремя оценками.

Как видим, два первых критерия оценки рукописей и со­ трудников имеют «зеркальный характер». Лучшие оценки по критериям качества выполняемых работ и соблюдения техноло­ гической дисциплины определяют возможность сотрудников работать над особо важными рукописями.

Решение задачи потребовало всего 50—70 обращений к ЛПР при проведении операций сравнения.

Следует отметить, что введение многокритериальности в классическую задачу о назначениях в значительной степени приближает модель к реальным жизненным ситуациям. Взаи­ модействие ЛПР и компьютера позволяет решать МЗН в реаль­ ном масштабе времени.

Выводы

1.В отличие от типичных задач принятия индивидуальных реше­ ний, в многокритериальной задаче о назначениях ЛПР не зани­ мает позицию диктатора, а выступает как посредник в тех слу­ чаях, когда без его вмешательства решение задачи заходит в тупик. В предлагаемых алгоритмах используются предпочтения

338

ЛПР. Однако ЛПР вмешивается в ход решения насколько можно осторожно, разрешая локальные конфликты между возможными назначениями.

2.Решение МЗН в реальной ситуации невыполнимо без помощи СППР. СППР МЗН имеет все характерные черты компьютерной системы, выступающей в роли помощника ЛПР. В ее структуру включены базы данных (описание проблемы, сведения об объ­ ектах и субъектах, критерии и их шкалы, оценки элементов двух множеств) и базы моделей (модели близости, алгоритмы поиска максимальных паросочетаний, модели выявления предпочте­ ний ЛПР).

Всистеме учитывается влияние объективных и субъектив­ ных факторов на процедуры поиска решения. Развитый интер­ фейс позволяет руководителю с минимальной предваритель­ ной подготовкой работать с системой. Важно, что система по­ зволяет ЛПР поэтапно анализировать проблему и вырабаты­

вать свои предпочтения в процессе интерактивной работы с системой. Ответы системы на вопросы типа: что произойдет, если предъявить определенные требования к решению зада­ чи, - позволяют ЛПР изучить область допустимых решений при различных вариантах определения ограничений.

3.Процедуры ускоренного поиска решений дают возможность вы­ брать тип решения. Поэтапные сравнения характеристик эле­ ментов (объектов и субъектов) позволяют шаг за шагом делать наиболее адекватные, с точки зрения ЛПР, назначения.

На наш взгляд, именно такие системы - советчики и помощ­ ники - помогают руководителю более качественно формиро­ вать, обосновывать и объяснять другим свою политику, повы­ шая шансы принятия разумных и дальновидных решений.

Библиографический список

1.Blanco Т ., Hillery С. A Sea Story: Implementing the Navy’s Personnel Assignment System / / Oper. Res. 1994. V. 42. №. 5

2.Черняк JL, Сердечкина H., Кожухаров А., Патрикеева T. Модель про­ цесса подготовки рукописей в издательстве / / Алгоритмы и модели управления в технических и организационных системах. М: Наука, 1976.

3.Larichev О., Stem in М. Knowledge-based approach for solving the multicriteria assignment problem. Linster M. (Ed.). Sisyphus 92. Models of problem solving. Arbeitspapiere der GMD 630. March 1992.

4. Вагнер Г. Основы исследования операций. М.: Мир,1973.

5.Кожухаров А. Н., Ларичев О. И. Многокритериальная задача о назначе­ ниях / / Автоматика и телемеханика. 1977. № 7.

6.Стернин М.Ю. Система поддержки решения задачи о назначениях / / Сис­ темы и методы поддержки принятия решений. М: Сб. тр. ВНИИСИ, 1986.

339