книги / Теория анализа хозяйственной деятельности

Для оценки существенности расхождений между частота­ ми эмпирического и теоретического распределений примем показатель % Пирсона: % = 8,4. В нашем примере число степе­ ней свободы для экспоненциального распределения v = п - - 2 = 6. По таблицам находим Рб(%2 > 8,4) = 0,24. Так как Р6(% ^ 8,4) > 0,05, то принимаем гипотезу об экспоненци­ альном распределении времени обслуживания.

Таким образом, задав систему массового обслуживания с помощью трех (Х/\х/п) или четырех (Х/\х/п/тп) шифров, можно установить основные операционные показатели, ха­ рактеризующие эффективность работы той или иной систе­ мы. В частности, среднее число простаивающих кщ!алов, коэффициент загрузки (простоя) каналов, средний процент обслуживаемых (или получающих отказ) заявок, среднее время ожидания в очереди, среднее время пребывания заяв­ ки в системе обслуживания, среднюю длину очереди, сред­ ний доход (или потери) в единицу времени и т.д.

Приведем следующий пример. На минском производ­ ственном объединении «Горизонт» для контроля за качеством готовой продукции (телевизоров) разрабатывается новая сис­ тема. Она будет включать некоторое количество испытатель­ ных стендов и помещения для хранения поступающих на контроль телевизоров. Вследствие ограниченной площади помещения одновременно в очереди может находиться не бо­ лее чем т изделий. Если доставляемый на контроль телеви­ зор попадет в ситуацию, когда все места для ожидания заняты, он отгружается, не проходя контроля.

Исследование моментов транспортировки телевизоров на контроль показало, что они случайны и распределены по за­ кону Пуассона с параметром X тел./ч. Время, затрачиваемое на контроль телевизора, также случайно со средним значени­ ем |i тел./ч. Необходимо при заданных т = 3 тел., X = 2 тел./ч, ц = 1 тел./ч выяснить минимальное число испытательных стендов, чтобы было проконтролировано не менее 95% вы­ пускаемой продукции, а затем для полученного п провести полный анализ системы.

Итак, имеем систему (X/\i/n/m) массового обслуживания с ограниченным числом мест для ожидания и неизвестным числом обслуживающих устройств. По условию задачи отно-

сительная пропускная способность системы должна быть не менее 95% (g > 0,95). Тогда доля неудовлетворенных заявок

должна составлять не более 0,05 (Ротк ^ 0,05).

Из математической теории массового обслуживания из­ вестно, что когда число мест в очереди ограничено, то

где р = Х/р,

-1

В соответствии с условием задачи необходимо подобрать такое я, при котором будет справедливо неравенство

где р = X/\i = 2; т =3.

Для отыскания п последовательно присвоим ему значе­ ния 1, 2, 3 и т.д., до тех пор, пока не будет выполняться при­ веденное выше неравенство. Результаты вычислений при различных п представлены в табл. 4.35.

Из таблицы видно, что при п = 3, Ротк = 0,0481 < 0,05, то есть необходимо установить три испытательных стенда.

Определим основные параметры системы:

(Х/ц/п/т) = (2/1/3/3).

Следовательно, в среднем примерно 1 стенд будет проста­ ивать.

2. Коэффициенты занятости и простоя:

тельная пропускная способность, или доля продукции, кото­ рая пройдет контроль, будет равна q = 1 - 0,0481 = 0,9519.

4. Общее число телевизоров, проходящих контроль в еди­ ницу времени (относительная пропускная способность), сос­ тавит:

А = Х q = 2 х 0,9519 = 1,9038.

5. Среднее число телевизоров, находящихся в очереди:

6. Среднее число телевизоров, находящихся одновремен­ но в системе:

А ж , = La4 + N3aB = 0,397 + 1,90 = 2,397.

7. Среднее время ожидания в очереди:

X2

8.Среднее время прохождения телевизором контроля:

И

В данной системе условие существования решения имеет вид р/п ф 1. Если же р/п = 1, вероятность того, что все стен­ ды свободны, устанавливается следующим образом:

-1

а средняя длина очереди определяется по формуле

В данном примере исследована система, когда число мест в очереди ограничено. Теперь приведем пример, когда число мест в очереди не ограничено.

Пусть на автомобильном заводе решили выяснить опти­ мальную численность служащих инструментальной кладовой, выдающей инструмент. Исследования показали, что среднее число рабочих, обратившихся за инструментом в кладовую, составляет 1,6 раб./мин, то есть X = 1,6. Поток поступающих заявок удовлетворяет пуассоновскому распределению, а интен­ сивность обслуживания равна 0,9 раб./мин, то есть \х= 0,9 и удов­ летворяет показательному распределению. Потери от простоя рабочего достигают С2 = 5 руб. в единицу времени, а содержа­ ние кладовщика — Сг = 4 руб. в единицу времени.

Необходимо определить оптимальное число кладовщиков (л), при котором суммарные потери от простоя рабочих и со­ держания кладовщиков были бы минимальны.

Получаем многоканальную систему массового обслужи­ вания без ограничений на очередь (Х/\х/п/оо). Условие реше­

Задача состоит в нахождении такого л, при котором фун­ кция общих потерь достигает минимума:

Из полученных результатов следует, что в инструмен­ тальной кладовой выгоднее иметь трех кладовщиков (п = 3), поскольку общие затраты и потери (Z) будут наименьши­ ми — 7,42 руб. в единицу времени.

4.7. Балансовые методы и модели в анализе связей внутризаводских подразделений

и в расчетах затрат и цен

Балансовая модель — это система уравнений, характеризу­ ющих наличие ресурсов (продуктов) в натуральном или денеж­ ном выражении и направления их использования. При этом наличие ресурсов (продуктов) и потребность в них количес­ твенно совпадают. В основу решения таких моделей положе­ ны методы линейной векторно-матричной алгебры. Поэтому балансовые методы и модели называют матричными мето­ дами анализа. Наглядность изображений различных эконо­ мических процессов в матричных моделях и элементарные способы разрешения систем уравнений позволяют применять их в различных производственно-хозяйственных ситуациях.

Пусть, например, известно, что каждое предприятие наря­ ду с основным производством имеет вспомогательное, вклю­

Приведенные соотношения представляют собой систему двух групп неизвестных: себестоимости единицы продук­ ции, работ, услуг и общего размера затрат по каждому струк­ турному подразделению предприятия.

Чтобы решить такую систему, приведем ее к стандартно­ му виду, для чего выражение переменных yt подставим в вы­ ражение переменных х г В результате получим:

После соответствующих преобразований полученную сис­ тему уравнений можно записать в матричной форме, для че­ го введем некоторые виды матриц: