Тензор обобщенных напряжений, в отличие от истинного, является сим метричным
=
Р ы^
=
<з«6“
•
(44.21)
Если теперь составим квадратичную форму
й/2 = Р^йа1йа? = Ь^&х^&х*,
(44.22)
то, дифференцируя ее по времени п раз, получим
(ар) = Ш я ЛаШ =
1Шх°-<1х\
(44.23)
ЛХП
'
йХП
аЭ
’
V
/
где
к
^(т
Эук^
(44.24)
^ (*а&) + ^
т
йгт~к
дх**
к=о
ах
Из соотношения (44.22) легко видно, что
П ( П ) __ йПР ц
__
4(п) да1
да?
(44.25)
13 ~
ахп
~~
01,3 дХа дх&'
§45. Общий постулат изотропии и уравнения связи между напряжениями и деформациями
При составлении уравнений состояния необходимо учитывать два основ ных принципа. Во-первых, уравнения не должны зависеть от выбранной системы координат, во-вторых, должны учитывать симметрию свойств ма териала. Если некоторые характеристики среды можно выразить через другие на основании общих уравнений механики сплошной среды (44.12) — (44.16), то их следует исключить из уравнений состояния [88]. Другими словами, в уравнения состояния должны входить только независимые ве личины.
Для достаточно широкого класса вязко-упругих изотропных материа лов сформулируем общий постулат изотропии [1 ]. Уравнения состояния задаются в виде шести функций процесса, т. е. шести функционалов по времени от следующих величин: Рц (т)— тензора напряжений; дх^/да1(т) — тензора дисторсии [89]; Т — температуры и других скалярных парамет ров, характеризующих процесс
I
1КЬ { ^ (Т), Ру (X), Т (т),. ..} = 0.
(45.1)
т—о
Если функционалы (45.1) таковы, что уравнения (45Л) разрешимы явно относительно напряжений Р что выполняется в некоторой области; если потребовать, например, существование непрерывных функциональных
производных д{кь1дР1] и существование обратного оператора [д1кь1дРц\~ху
то уравнения состояния (45.1) примут вид
{
дха (Т)
(45.2)
да1
Уравнения состояния, как указывалось, должны быть инвариантны отно сительно вращения эйлеровой системы координат как твердого целого, т. е. уравнения состояния не зависят от наблюдателя и должны быть ин вариантны относительно преобразований
'ха (т')
=
(т)
(т),
т' = т —
(45.3)
ГД^ <2ае
=
ф /
(2*р = 6“. На
основании требования
(45.3) и теоремы
о том,
что каждый
ортогональный четный полиномиальный инвариант,
зависящий от трех векторов в трехмерном пространстве, может быть пред ставлен в виде функции от шести скалярных произведений, а каждый не
четный инвариант—суммой скалярного тройного произведения
[90], урав
нения состояния (45.2) можно представить в следующем виде:
Р™(1) =
Ркь[ \ и (т),
Т (х) , ...}
(45.4)
ИЛИ
р кь{1) =
р кь I 8у(т)>
Т(х),...},
(45.5)
где запись (45.5) означает, что Ркь являются функциями метрического тен зора деформированного состояния (г) или недеформированного
Отнесем теперь выражение (45.5) к координатам недеформированного состояния. Согласно соотношениям (44.21), имеем
& =
Фу { в„ (т), Т (т),...} 5= рч
{ еу (х), Т (т)...
(45.6)
^
т=0
т=0
В фиксированной прямоугольной декартовой системе координат 8^ и будут квадратичными симметричными матрицами третьего порядка. Как уже было замечено ранее, в случае рассмотрения изотермических процес сов уравнения (45.6) замыкают систему уравнений теории вязко-упруго- сти.
Предположим теперь, что процесс является аналитическим, т. е. функ ции е^ (т) разлагаются в ряд Тейлора ^
0°
^
в« (т)= 2
(
г
)
(45. 7)
к=о
и принадлежат гильбертову пространству на отрезке [0, 2]. Ряд (45.7) мож но оборвать при’ некотором, достаточно большом тг. Это означает, что нуж но считать неразличимыми два процесса, для которых первые п членов ряда (45.7) совпадают, а остальные различаются.
Функциональная связь между напряжениями и деформациями изуча лась нами в седьмой главе, причем при выводе результатов § 33 предполо жение о малости деформации не было использовано. Таким образом, основ ной результат этого параграфа о представлении нелинейного функ ционала по времени в виде суммы интегралов возрастающей кратности справедлив, и в этом случае мы имеем
*) Разложение в ряд Тейлора можно заменить разложением в ряд Фурье [91, 92], чтобы избавиться от требования аналитичности процесса.
причем ядра Г1511*1'"л^ дп
тх, . . ., тп) в случае изотропной среды имеют
вид (29.1), (29.2) и т. п.,
где вместо тензора 6щ могут быть поставлены
соответствующие метрические тензоры [62].
Подставим теперь выражение (45.7) в разложение функционала (45.6) по полилинейным формам. В результате получим функцию от бесконечного или конечного числа п производных ец по времени
оо
(*), е(1>(I),
ей») (*), • •
(45.9)
= Р{1 * - т],
т = 0
Обозначим матрицу е$}через ек, а след матрицы
через <е&>. По теоре
ме Спенсера — Ривлина
[93] правая часть (45.9) представляет собой мат
ричный полином, базис которого будет состоять из следующих матриц:
7"» ^ , 8^8^, ^ 8^ 6^8^.; Ч~ ём&1,&к>
+ еМеьв|; вл.8^8м + 8м^Ск; 8^8^8м + 8^81У8|>
г кгЬгМ&к +
е| емСь8Лг; 8^8^8м6]у +
8д.8^8д|-8]у
С]у8^ 8^8^.*
~Ь
(4«).10)
а коэффициенты при полиномах будут зависеть
от
следов
матриц
в/*8^;
вх,8лх8^8р8|;
бремЕдгб?;
ЪьЪмг1>
гЬгк',
&к',
ЬцгЬгМгНгрЪ<з\ екеЬемё№р',
&кгЬеМ^1 гк&ЬгМ\
ек&ь\
&к9
&^8к8N&Р&к1
&Ь&М&к^Р^к>
^Ь^к^А'^ку
&М&Ь&к&Ь1
еке^е1 ; 4
(45.11)
и скаляров,
которые мы опустили;
числа &,
I/,
М,
ТУ, Р,
(? представ
ляют собой всевозможные различные наборы из п.
базис еа(а =
1,2,...
Введем в линейном шестимерном пространстве
. . . , 6). Тогда каждой квадратной симметричной матрице третьего порядка
8^ можно поставить
в соответствие шестимерный вектор э = эаеа, при
чем так, что каждой
компоненте матрицы
будет поставлена в соответст
вие компонента
эа. Потребуем теперь, чтобы метрика введенного
прост
ранства выражалась по формуле
= э*э. Тогда, положив
:11
“
Э1 »
812 ^
Э4/ V 2 »
'22
^
Э2»
82з =
эб/У 2 ,
(45.12)
'33
=
эз>
831 =
Э6/> 2,
мы устанавливаем взаимно однозначные соответствия между симметрич ными тензорами трехмерного пространства и векторами шестимерного евк лидова пространства, в котором имеется ортонормированный базис еа • е#= базПовторяя рассуждения работы [1], можем вывести обоб щенные формулы Френе для векторов репера, движущегося вдоль кривой в этом пространстве.
Устанавливая по формуле
8 = \ У Г^ - ^ ^ = \ У ^ Р ^
(45-13)
ИЛИ
« = <^Уи
(45.14)
взаимно однозначное соответствие между длиной дуги 5 в пространстве Е6 и временем г, имеем
о^\
(45.15)
<ип
2 Ат^ . . л п§-А*)к'(*)к2- - - ^ п>)
где суммирование ведется по всем индексам, причем кг + к2 + . . . + кп =
= 7тг, к± +
2&2 + . . . + пкп =
п. Составим из векторов
эп =
== йэп/й$п
(45.16)
скалярные
произведения этп =
эт *эп; тогда, введя
обозначения
А„
=
-^Еии'"'пэи1эи2. . . э1пП, (гь г......... гп =
1, 2.........п)г\
<п = 1,2 ........6>,
(45.17)
=
1 ЭАа
кП1=
4м 0&1П
У Эктхпкхпт
выразим векторы «присоединенного» ортонормированного репера р^ через
векторы э&; р„ = кп1э\
э* =
Для
этих векторов рл можно запи
сать обобщенные формулы Френе
= — И»-1Рп-1 + ИпРп+1.
(45.18)
где
— так называемые кривизны, для которых существуют рекуррент
ные соотношения
К
= К-г + ( ^ г
+ кпг-1) (%* +
+ 2х„ ^ п_1У) эЧ
(45.19)
О’.
/ = 1, 2, . ..,
п + 1),
кп0 = 0,
к1т= 0 ( т > / ) .
Теорема [94]. Производную по времени от тензора деформации любого порядка т ]> 6 еп можно выразить через первые шесть производных, и функционал (45.9) можно представить в виде полинома по базисным мат рицам (45.10), где К , Ь , М, — всевозможные различные наборы из чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6. В случае, если в уравнениях (45.9) участвует конеч ное число п производных 8г^, то коэффициентами при разложении функ ционала будут полиномы от следов матриц (45.11). В самом деле,
л61™
-
<ит \<и*)
+■•+ 5
}
+•••]•"+•••(45.20)
<итЫ*в
^
^
*
Заметим, что все этп являются
функциями
от <8^>
и производных 5,
причем последние являются
также функциями от <8*83>, что можно уста
новить последовательным дифференцированием (45.13). Отметим также, что все <е*е;> можно выразить через диагональные члены <ейей> и их производ ные, причем п-япроизводная от этп выражается через инварианты типа <е/с8/с>, где наибольшее из А; равно целой части от [6 + п12]. Производная по 5 от р п при п 6 будет выражаться через первые шесть по формулам (45.18). Дифференцирование к п и К 16 повысит порядок производной этп по 5. Итак, при дифференцировании 8^ по времени п раз для п > 6 мы
х) Символы Е н '-Лправны нулю в случае, если хотя бы два индекса совпадают. Если индексы образуют четную подстановку, символ означает + 1 , если нечетную, то —1.
выражаем все производные через первые шесть производных, причем ко эффициенты этих выражений являются функциями инвариантов <8^> . Если мы их разложим в ряд по <8^ ) и оставим только п членов, то, под ставляя эти выражения в разложение функционала и применяя снова теорему Спенсера — Ривлина, получаем доказательство теоремы. Все ска занное справедливо и для неаналитических процессов. В этом случае за э* (г = 1, 2, . . ., 6) требуется принять шесть независимых векторов.
§46. Главная физически и геометрически нелинейная теория вязко-унругости для изотропных материалов
Для изотропной среды в случае конечных деформаций справедливы со отношения между напряжениями и деформациями в виде (29.3). Эти соот ношения могут быть обращены с помощью теорем обращения § 34, так как при доказательстве этих теорем малость деформаций не предполагалась. Ядра релаксаций и ползучести можно представить в виде (30.6) для выяс нения их сингулярных свойств. Выделение главной части этих ядер (30.8) отражает свойство сильного затухания функций влияния по мере удале ния моментов времени %г, т2, . . ., хп от рассматриваемого момента I и приближения их к нулю. Это свойство является специфическим для вязкоупругих материалов и никак не использует понятие малости деформации. Поэтому уравнения состояния главной физически и геометрически нели нейной теории ползучести будут иметь вид (30.10) или (30.10)', а уравнения состояния главной физически и геометрически нелинейной теории релак сации — (36.12), причем и в этом случае для взаимности соотношений (30.10)' и (36.12) достаточно выполнение предпосылок двух теорем § 36.
Если главные оси тензора деформаций не поворачиваются в процессе деформирования (например, в задачах со сферической и цилиндрической симметрией) и компоненты тензора деформации изменяются пропор ционально одному параметру, то уравнения состояния главной физически и геометрически нелинейной теории релаксации запишутся в виде
5 (*) = §1 (/„ П и ///,) 1 + §2(/,, П и III,) Е (*) +
+ (А> Н и П1%) Е2(2) + ^ [рг (2— т; / т, II,, III,) I +
+ Р 2 (*—х; / т, //т, III,) Е (т) + Р з (* — /т, П „III,) Е2 (т)]с?т,
(46.1)
где 1%, II IIIг — три независимые инварианта тензора деформаций в мо мент времени I, а / т, II,, III, — те же инварианты в момент времени т, I — метрический тензор.
Аналогично уравнения состояния главной физически и геометрически нелинейной теории ползучести в случае соосности тензоров напряжения в процессе нагружения и изменения компонент этих тензоров пропорцио нально одному параметру будут иметь вид
Е (*) - А (Л, Пи Н1г) I + А (А, Пи ЯГ,) -5 (0 + /з (Г„ Пи 1Щ X
X З 2 (*) +
$ [<?! (< - т; 7Т, 77т, п и ) / + й (* -
г ; 7„ ТТ„ п и ) X
о
X 5 (тг) +
д3 (I- х; 7„ Ти, п и ) 8* (т)] йх,
(46.2)
где/, II, III — независимые инварианты тензора напряжений.
XIII. Тензор повреждений и теория прочности 1}
§47. Тензоры и меры повреждений
Вмеханике сплошной среды внутренние взаимодействия между частицами твердого тела характеризуются тензорами напряжений в Ь]- и моментов
различных порядков
деформации частицы — соответствующи
ми конфигурационными тензорами е*у, уцк,
. Процесс нагружения
частицы определяется заданием
функций
времени а^ (г), \1^ к (2),
. . .,
процесс деформации — заданием функций
(г), у ^ к (г), . . ..
[1]
Принцип макроскопической
определимости состояния частицы
утверждает, что если на некотором интервале времени О«С т ^ 2 задан процесс нагружения и немеханические параметры, то в момент I состояние частицы однозначно определено: в частности, тензоры е^-, у*д... в момент
I являются однозначными функционалами функций
(т),
(т),
Т (т) (Т — температура).
параметров микро
Нагружение частицы сопровождается изменением
структуры элементарных составляющих (кристаллов, кристаллитов, бло ков, цепочек), возникновением и развитием некоторых образований (микро дефектов, микротрещин), накопление которых в некоторый момент вре мени может привести к нарушению сплошности макрочастицы, ее разру шению.
В механике материалов известны два типа критериев макроскопическо го разрушения твердых тел. Первый и наиболее распространенный в инже нерной практике отражается различными механическими теориями проч ности [102]: предполагается, что при однократном нагружении или не большом числе нагружений состояние макрочастицы будет в момент I проч ным, если некоторые универсальные функции компонент тензоров напря
жений и деформаций
(а*у, гкг), т =
1 , 2, . . . (в случае изотропных
материалов — функции
их инвариантов
/ с, / с, /д, 1г» ...) меньше нуля;
если одна из этих функций достигает значения нуль, наступает разруше ние соответствующего номера функции вида. Неравенства типа
/ ж (<Уфе*1) < Ст .
(47.1)
как показывают разнообразные опыты, действительно являются критерия ми прочности материалов, обладающих линейными или нелинейными склерономными упругими свойствами вплоть до разрушения. Естественно, что для таких материалов функции / могут быть выражены через Оц
г) Содержание этой главы полностью соответствует работе [101].
либо через и значит макроскопической характеристикой возникающих при разрушении микродефектов в частице является сам тензор напряжений (или деформаций). Очевидно, однако, что тензор напряжений не может быть характеристикой при многократных нагружениях, так как одно и то же напряженное состояние после некоторого числа циклов приведет к разрушению. Для вязко-упругих тел условия типа (47.1) не могут быть критериями прочности даже для простых видов нагружения, и в тех мно гих практических случаях, когда они применяются, указывается вид или время нагружения. Например, при мгновенном нагружении, поскольку такой процесс является упругим, условия (47.1) могут быть критерием прочности.
Второй тип критериев макроскопического разрушения отражает реономность механических свойств твердых тел, но относится к одному из простейших напряженных состояний, обычно к простому растяжению — сжатию цилиндрического образца[15, 103]. Предполагается, что существу ет положительная возрастающая во времени функция X] (г), называемая повреждением (дефектом), приращение которой пропорционально некото рой универсальной функции напряжения а (г), причем разрушение насту пает, как только V достигает характерного для данного материала (и тем пературы) значения С/разр. Отсюда следует, что время разрушения I для данного закона нагружения а (т) 0 ^ т ^ I определяется уравнением
дХ
(47.2)
*г [зМ] =
1,
где 1Г (а) — время
разрушения образца в условиях ползучести (при по
стоянном напряжении о). Соотношение (47.2) также является удовлетвори тельным критерием разрушения для некоторого класса функций а (т), хотя исходная гипотеза произвольна и не учитывает очевидного влияния
истории
нагружения в интервале 0 ^ т ^ I на величину приращения
дефекта
II в момент I.
Обобщение критерия (47.2) на случай сложного напряженного состоя ния и сложного нагружения макрочастицы, как и обобщение критерия (47.1), требует более полного и общего определения объекта, который ха рактеризует накопление повреждений макрочастицы.
Пусть х г по-прежнему (I = 1, 2, 3) — система декартовых ортогональ ных координат, связанная с макрочастицей. Состояние частицы в момент 2 — 0 будем называть начальным и считать известным; это значит, что
начальные напряжения о^-, моменты р,^, деформации е?,-, уф при задан ной начальной температуре 2!° имеют стандартные начальные значения, внешние воздействия отсутствуют, и без приложения внешних сил и изме нения температуры частица сколь угодно большое время сохраняет состоя ние. Предполагается, что если одинаковые внешние воздействия на две макрочастицы приводят к одинаковым деформациям, одинаковым и одно временным разрушениям, словом, к одинаковым макроэффектам, то началь ные состояния частиц одинаковы. Для любого момента 0 ^ т ^ I предпо лагается, что состояние макрочастицы является однородным. Это сущест венное предположение оправдывается, например, тем, что стадия накоп ления дефектов до начала образования магистральной трещины при уста лостных испытаниях сталей составляет около 90% полного времени до разрушения и даже при наличии концентраторов (в образцах с надрезами) порядка 50% [104]; но в последнем-случае не исключено, что 40% времени
образец
продолжает сопротивляться при наличии уже произошедшего
в месте
концентрации макроразрушения.
Если при I = 0 частица анизотропна и обладает определенной симмет рией, то известна группа преобразований симметрии Г; для изотропной ча стицы эта группа представляет любые преобразования вращения и отра жения системы координат я*.
Ниже мы будем предполагать, что начальное состояние макрочастицы
является естественным, т. е. ау = 0,
= 0, а также
= 0, у?# =
= 0, . ... Последние
равенства следует
понимать так: если
начальные
стандартные значения
. . . отличны от нуля и известны, то в качестве
параметров процесса можно взять разности их текущих и начальных зна чений, причем влияние начальных значений будет отражаться только груп пой преобразований Г.
Постулируем существование макрообъекта П (г, #*), называемого по вреждением (дефектом), характеризуемого в системе координат в момент I числами (компонентами) Пх, П2, . . ., Пп и обладающего следующими свойствами:
1.П является функцией состояния макрочастицы, т. е. однозначно
определяется процессом нагружения а ц (т),
(т), . . ., Т (т); функцио
нал
П { в«(т),
(47.3)
Т=0
предполагается вполне непрерывным на некотором классе достаточно гладких функций нагружения вплоть до состояний, как угодно близких
кразрушению.
2.П характеризует накопление повреждений (дефектов) и состояние, непосредственно предшествующее разрушению макрочастицы: существуют некоторые неотрицательные меры, называемые мерами повреждений
м т (п ) = /т (П1’ П2.---> Пп! Т), то = 1 , 2 , . . . , то, < п, (47.4)
которые являются функциями компонент П и Г, инвариантными относи тельно группы преобразований симметрии Г, и существуют соответствую щие положительные константы материала Сш (пг = 1 , 2, . . ., пг/) такие, что если для любого пг
М т (П) < с т,
(47.5)
то состояние макрочастицы прочно, если для какого-нибудь пг — к
м к (П) = Ск
(47.6)
(для
остальных М т <С Сш),
то происходит разрушение типа «Ь>.
3.
П является нулевым на интервале 0 ^ т ^ 2, т. е. все его компо
ненты П1? . . ., Пп и меры М т (П), (пг = 1 , 2, . . ., т ) равны нулю, если
на этом интервале равны нулю параметры нагружения
(т),
(т),....
Повреждение П в момент I как функционал трехмерных
тензоров
(т)> И'гД (т), ... (47.3) может быть только трехмерным тензором или совокупностью тензоров некоторых порядков. В последнем случае и меры повреждения М ш (П) определяются по совокупности компонент этих тен зоров.
Простейший вариант теории накопления повреждений макрочастицы строится в предположении, что тензор П является симметричным тензо ром второго порядка. При этом не исключается, что он может быть и скаля ром, который в различных вариантах может быть построен на основе такого тензора, но учитывается недостаточность одного только скаляра, «ели, в соответствии с опытом, допустить возможность хотя бы двух раз
личных видов разрушения (от отрыва и от сдвига) и, следовательно, необ ходимость хотя бы двух мер тензора П. Учитываются также изложенные выше соображения относительно критериев разрушения первого типа, которые хотя бы для частных видов нагружений и свойств тел требуют про порциональности тензора П тензору напряжений о^, и потому в этом частном случае П является тензором второго порядка.
Необходимо выбрать еще тензор моментов в выражении (47.3) для учета влияния концентрации напряжений и масштабного эффекта. В про стейшем случае речь может идти о моментах первого порядка (трехиндексных характеризующих среднее значение градиента напряжений мак рочастицы, и моментах второго порядка (четырехиндексных р ,^ ), харак теризующих среднее значение вторых производных от истинных напряже ний по координатам в макрочастице («пилообразность» эпюр). Поскольку тензор П должен отражать накопление микродефектов, т. е. в среднем од нородное состояние макрочастицы, выбор делается в пользу моментов вто рого порядка. При решении вопроса о скорости прохождения через мак рочастицу магистральной трещины, напротив, главную роль играли бы моменты первого порядка. Другое соображение в пользу выбора в выражении (47.3) является формальным: для квазиизотропной макрочасти цы, обладающей центральной симметрией, на основе этого тензора можно построить истинный тензор второго порядка (каковым предполагается П),
тогда как на основе псевдотензора
этого сделать нельзя.
В дальнейшем мы будем считать,
что задача теории вязко-упруг ости
решена и тензоры напряжений и моментов заданы как функции координат точки тела хг и момента времени I
Оц = (7ц (^, 2^), \*>Цк1 — Щ./к/ (^> Я'г)* (47.7)
Заметим лишь, что в ряде случаев, как, например, для тела с шероховатой поверхностью, в качестве моментов можно взять просто вторые частные производные от истинных напряжений а*/, если только соответствующее число производных от них имеет смысл,
^ дхкдхг ’ (47.8)
причем, очевидно, вследствие симметрии (47.8) и при отсутствии массовых сил на основе уравнений равновесия
Ичда — \*>лы = Iхфк — Рим — 0- (47.9)
По принципу Сен-Венана, эти моменты будут существенны только вблизи поверхности тела, что и будет указывать на преимущественно быстрый рост дефектов на поверхности.
Для вполне упругих хрупких тел критерий прочности первого типа
может быть записан с учетом моментов
/' (оц, Рытп) < о!,
(47.10)
где сх0 — константа материала, имеющая размерность напряжения.
Из (47.8) и теории размерности следует, что существует характерный линейный масштаб Ь и два типа безразмерных независимых параметров
ау = аи/а0, [1'т = \хак1Ь21о0
(47.11)
и соотношение (47.10) приводится к виду
В случае линейно-упругого изотропного тела все тензоры второго по рядка, получающиеся линейными свертками и ^ , выбираемыми в виде- (47.8), т. е.
на основании уравнений Ляме сводятся к единственному тензору
Ри = ^ 2<ту,
(47.12)
и потому простейший моментный критерий прочности с учетом тензора моментов второго ранга [л*у
/
т ) < о 2
(47.13)
должен выражаться через инварианты тензоров а^, р'щ. Ограничиваясь представлением / (сг^-, \1щ) в виде квадратичной формы (что соответствует основным вариантам статических критериев прочности), заключаем, что в простейшем случае она является линейной функцией восьми инвариант ных величин
/ = А гокк + А2 (акк)2 + Аго^аи + Ь2 ( А ^ кк + А ъокк\1тт +
4“
[-47(М'^^)2 -48^17^ 17*1.
(47.14)
Обычно в критериях вовсе не учитываются моменты, и потому в первом приближении последние два слагаемых, имеющие малость порядка Ь4, следует отбросить; функция / содержит шесть существенных констант
Аг, . . ., Аб.
Вобщем случае тензор повреждений
П - (П„)
мы будем считать функционалом симметричных тензоров второго порядка
<*и (т) и Ри (*)
П = П { о*, (т), №(*)}•
(47.15)
т=0
В применении к рассмотренному выше случаю изотропного упругого хрупкого материала и однократного нагружения П будет функцией р*7, причем линейная часть разложения компонент будет содержать четыре константы
П*7 = Сгаи + (С20м + Ь2С^хкк) 64у + Ь*С$.ф
(47.16)
Согласно постулату, мера повреждения должна быть функцией инвариан тов П. Если ограничиться только линейным представлением (47.16), а меру М (П) представить только квадратичной формой, то в нее войдут только два первых инварианта П^б^- = П^, П*Д1^ и всего шесть сущест венных констант
М (П) = Пкк + Сь (П**)2 + С ,иип и .
(47.17)
Отбрасывая, как и выше, малые порядка I/4, получим выражение, с точ ностью до обозначений констант совпадающее с (47.14). Это существенно: квадратичные представления критериев хрупкого разрушения, непосред ственно построенного по совокупности двух тензоров Оц и и на основе меры повреждения, вычисляемой с помощью тензора, являю щегося линейной функцией тензоров а^ ир,^*, совпадают с точностью до1Л
