книги / Оптимальные методы передачи сигналов по линиям радиосвязи

На рис. 4.1 показана построенная по ф-ле (4.2) зависимость, ха­ рактеризующая вероятность превышения порогового значения В. При этом В выражено в децибелах по отношению к медианному значению Амед, определяемому по формуле

Рис. 4.1

Аналогичным образом на рис. 4.2 по ф-ле (4.4) построена зави-

симость рп= 1—S п от отношения------ при приёме на одну, две, три,

Амед

четыре, шесть и восемь разнесённых антенн. Здесь Амед — медиан­ ное значение сигнала при приёме на одну антенну.

Рисунок 4.2 даёт наглядное представление об эффективности приёма на разнесённые антенны как метода борьбы с замираниями. Так, например, если при ординарном приёме в течение 99,9% вре­ мени напряжение не падает ниже 28 дб по отношению к медианно­ му уровню, то при приёме на четыре разнесённые антенны (в прак­ тике большая кратность разнесения не применяется) в течение того же времени напряжение не падает ниже 6 дб. Выигрыш в отноше­ нии с/ш при прочих равных условиях при этом достигает 22 дб. Кстати сказать, при дальнейшем увеличении кратности разнесения выигрыш растёт значительно медленнее, что ясно видно из распо­ ложения кривых на рис. 4.2.

41 —

20

4.2. ПЕРЕДАЧА С АМПЛИТУДНОЙ МОДУЛЯЦИЕЙ

Так же, как и при отсутствии замираний, вероятность ошибочно­ го приёма сигналов определяется ф-лой (3.1).

Вероятность ложной тревоги р ' т , т. е. вероятность регистрации

«посылки» при отсутствии передаваемого сигнала, естественно, оп­ ределяется той же ф-лой (3.3), как и в ранее рассмотренном случае, когда замирания во внимание не принимались.

Как было показано в разделе 3.7, результирующая амплитуда сигнала при замираниях подчиняется"рэлеевскому распределению. Такому же закону, как это следует из раздела 2.3, подчиняется ре­ зультирующая амплитуда белого шума. Поскольку и сигнал и по­ меха подчиняются этому закону по той причине, что каждая из них является результатом интерференции большого числа напряжений

закону Рэлея, причём роль мощности шумов а2 будет играть сумма мощности сигнала и мощности шумов.

где Wo среднеквадратичное значение амплитуды огибающей напря­ жения шума (эта величина аналогична введённой в разделе 4.1 ве­ личине AQ — для напряжения сигнала), для функции распределе­ ния результирующего напряжения будем иметь

в*

— 42 —

Формула (4.6) выражает вероятность того, что суммарное на­ пряжение (сигнал+ помеха) превышает пороговое значение. Ошиб­ ка, однако, будет происходить тогда, когда суммарное напряжение окажется меньше В, т. е.

Обозначая, как и раньше, отношение мощности сигнала к мощ­ ности шумов через R [ф-ла (3.7)]

и выражая амплитуду порогового напряжения, как и раньше, через коэффициент а [ф-ла (3.2)]

Найдём значение коэффициента а, при котором р достигает ми­ нимума. Дифференцируя (4.8а) по а и приравнивая производную нулю, находим

Подставляя оптимальные значения а в ф-лу (4.8а), последнюю можно представить в виде

На рис. 4.3 нанесена построенная по ф-ле (4.12) зависимость ве­ роятности ошибочного приёма сигналов от отношения с/ш (верхняя кривая). Нижняя кривая повторяет зависимость, построенную на рис. 3.2 при отсутствии замираний. Сопоставление этих кривых на­ глядно показывает, сколь сильно влияют замирания на надёжность

передачи сигналов.

Приём на разнесённые антенны при соответствующем сложении сигна­ лов уменьшает глубину замираний, и кривые распределения вероятности ошибок при приёме на разнесённые ан­ тенны будут располагаться внутри за­ штрихованной области тем ближе к нижней границе, чем выше кратность разнесения.

4.3. ПРИЁМ НА РАЗНЕСЁННЫЕ АНТЕННЫ КАК СРЕДСТВО БОРЬБЫ

СЗАМИРАНИЯМИ ПРИ ПЕРЕДАЧЕ

САМПЛИТУДНОЙ МОДУЛЯЦИЕЙ

Применение разнесённого приёма (понимая под этим как пространствен­ ное, так и частотное разнесение) при соответствующем методе сложения сигналов в приёмном устройстве, как известно, позволяет снизить глубину замираний.

В дальнейшем изложении, совершенно не касаясь технических приёмов осуществления сложения сигналов, будем считать, что эф­ фект «-кратного разнесения эквивалентен тому, что к одному приёмному устройству подводится сигнал, функция распределения которого выражается формулой

где величина S n определяется ф-лой (4.4) и представляет вероят­ ность того, что на входах всех п приёмных устройств сигнал одно­ временно упадёт ниже порогового значения В.

Подставляя указанное выражение в ф-лу (4.13) и заменяя фик­ сированное значение порогового напряжения В переменным зна­ чением А, для функции распределения получаем следующее выра­ жение:

Нетрудно убедиться, что это выражение действительно обладает всеми свойствами функции распределения. При А -+ 0 величина Я. (А) -> 1. При возрастании А величина qn (А) монотонно убывает,

— 44 —

Обозначим через dp Авероятность того, что при /г-кратном-разне­

сении амплитуда результирующего напряжения на входе вообра­ жаемого эквивалентного приёмника (в смысле, который придавал­ ся этому понятию выше) заключена в интервале от А до A+dA. По определению плотности вероятности, из ф-лы (4.14) имеем

А* \ п—1

А2 Вводя новую переменную' х= — , ф-лу

Ао

(4.19) удобно представить в виде dpА = К (х) dx =

Вероятность ошибки в течение того проме­ жутка времени, когда амплитуда результиру­ ющего напряжения заключена в интервале от А до A+dA, пользуясь введённым обозначе­ нием, может быть определена по формуле

dp = Рмгк'dpA = (0,5 е - ™ + 0,25 [Ф ((1 +

Полная вероятность ошибочного приёма двоичных знаков может быть определена инте­ грированием выражения (4.20) при измене­ нии А, а следовательно, и х в пределах от 0 до оо. Опуская промежуточные выкладки, при п =4 приходим к формуле

4.4.ПЕРЕДАЧА С АМПЛИТУДНОЙ МОДУЛЯЦИЕЙ ПРИ ИСПОЛЬЗОВАНИИ СИНХРОННОГО ДЕТЕКТИРОВАНИЯ И ПРИ ЗАМИРАНИЯХ

Как было показано в разделе 3.3, при отсутствии замираний ве­ роятность возникновения ошибки при приёме двоичных знаков оп­ ределяется ф-лой (3.15), причём под R здесь понимается выраже­ ние (4.7).

Для определения вероятности ошибки при наличии замираний необходимо определить мгновенное значение р мгн, что может быть

— 46 —

сделано заменой входящего в ф-лу (3.15) значения R его мгновен­ ным значением RMZH, определяемым ф-лой (4.9):

При написании последней формулы мы воспользовались введён-

Аа

ным в предыдущем параграфе обозначением х = - т.

К

После соответствующей подстановки для мгновенного значения

Предполагая, что замирания подчиняются рэлеевскому распре­ делению, плотность которого определяется ф-лой (4.1а), вероят­ ность того, что амплитуда А заключена в интервале от А до A+dA, может быть представлена выражением

Аг

Вероятность ошибки в течение того промежутка времени, когда амплитуда подверженного замираниям сигнала заключена в интер­ вале от А до A+dA, может быть определена по формуле

Полная вероятность ошибочного приёма сигналов вычисляется путём интегрирования ф-лы (4.24) при изменении А, а следователь­ но, и х, в пределах от 0 дооо.

Окончательно получаем

Зависимость вероятного значения ошибочно принятых знаков от величины R представлена на рис. 4.5 верхней кривой. Нижняя кри­ вая воспроизводит соответствующую зависимость для синхронно­ го приёма сигналов при отсутствии замираний из рис. 3.2. Сопостав­

— 47 —

ление расположения этих кривых наглядно показывает, что под дей­ ствием замираний надёжность приёма сигналов существенно умень­ шается.

Как и при амплитудной модуляции; применение разнесённого приёма, при соответствующем сложении сигналов, позволяет в зна­

чительной мере снизить глубину замираний сигналов, а следова­ тельно, и уменьшить вероятное значение ошибочно принятых двоич­ ных знаков. Кривые, характеризующие зависимость ожидаемых значений ошибок от отношения с/ш, будут располагаться в заштри­ хованной зоне рис. 4.5, причём тем ближе к нижней кривой, чем выше кратность разнесения.

Выражение для вероятности ошибок при применении я-кратного разнесения может быть получено заменой в ф-ле (4.16) величины dpAвеличиной, определяемой ф-лой (4.19). Производя эту замену и

пользуясь обозначениями раздела 4.3, находим

о

— 48 —

После преобразований ф-лу (4.26) можно представить при /г=4 в виде

Построенная по ф-ле (4.27) зависимость вероятности ошибок от отношения с/ш показана на рис. 4.6. Для сравнения с ранее рас­ смотренной системой AM на рис. 4.6 нанесена соответствующая за­ висимость, взятая из рис. 4.4.

4.5. ПЕРЕДАЧА С ЧАСТОТНОЙ МАНИПУЛЯЦИЕЙ

Нахождение вероятности ошибочного приёма двоичных сигна­ лов производится точно таким же способом, как и в разделе 4.4. При фиксированном значении уровня приходящего сигнала вероят­ ность ошибки определяется ф-лой (3.16а). Пользуясь приёмом, опи­ санным в разд. 4.3, эту формулу можно представить в виде

Вероятность dpA того, что амплитуда А заключена в интервале

от А до A-\-dA по-прежнему определяется ф-лой (4.23а). Вероятность dpa определяется выражением

Интегрируя (4.29), находим искомую вероятность

Х*=* оо

Соответствующая зависимость представлена на рис. 4.7 верхней кривой. Нижняя кривая нанесена по графику 3.2 и характеризует вероятность ошибок при отсутствии замираний. В заштрихованной области располагаются кривые, соответствующие случаям приме­ нения разнесённого приёма.

Нахождение вероятности ошибки при использовании в качестве средства борьбы с замираниями /г-кратного разнесения осуществ­ ляется методом, описанным в предыдущих разделах.

Используя в ф-ле (4.29) в качестве величины dpA вместо выра­ жения (4.23а) выражение (4.19а), находим