книги / Непараметрическая статистика

Можно показать, что класс предельных распределений для сумм независимых случайных величин совпадает с клас­ сом так называемых безгранично-делимых законов'4. Наибо­

делом равномерно сходящейся последовательности таких за­ конов.

Таким образом, любое предельное распределение суммы независимых случайных величин как бы составлено из пуас­ соновского и нормального законов. К числу безгранично-де­

классом статистик, они, конечно, не исчерпывают всех ста­ тистик, применяемых для вынесения решений. Поэтому ес­ тественны поиски предельных теорем для других типов статистик. Для ряда статистик эти поиски оказались успеш­ ными; например, для таких статистик неаддитивной струк­ туры, как порядковые статистики и выборочные интервалы, соответствующие результаты приведены в главах III и IV. Известны и другие результаты, но систематической теории пока не построено.

■* Закон F(x) называется безгранично-делимым, если при любом N его

характеристическая функция является /V-й степенью некоторой другой ха­ рактеристической функции.

123

ДОБАВЛЕНИЕ

О НЕКОТОРЫХ ОБЩИХ СВОЙСТВАХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ

§Д.1. ВВЕДЕНИЕ

Впредыдущих главах данной Части наше внимание было сосредоточено на отыскании и рассмотрении непараметриче­

все эти статистики обладают некоторыми свойствами, не за­ висящими от конкретного вида распределения, из которого взята выборка (правда, в ряде случаев такие свойства про­ являются лишь асимптотически). Никакая обработка выбо­ рочных значений не может дать информации, которая не со­ держалась бы в этих значениях. Раз уж мы обнаруживаем непараметрические свойства у статистик, значит таковыми обладает и сама выборка, а следовательно, и ее распределе­ ние. Способ обработки выборки (построение статистик) есть лишь преобразование, позволяющее извлечь нужную нам ин­ формацию, представить ее в удобном для использования ви­ де. Очевидно, информация, необходимая нам для решения статистических задач, есть информация о различиях между распределениями. В непараметрических задачах речь может идти только о таких различиях, которые не связаны с кон­ кретным функциональным видом распределений, т. е. о раз­ личиях между классами, типами, семействами распределений. Естественно попытаться как-то конкретизировать характер таких различий. Трудность здесь заключается в том, что говорить о «различиях вообще» кажется малоперспективным: для одних задач данное различие является существенным, другие задачи являются по отношению к нему инвариантны­ ми. Тем не менее, мы обсудим некоторые возможные типы различий между распределениями безотносительно к зада­ чам, лишь иногда вспоминая, что каждому из этих типов соответствует определенный класс задач.

§ Д.2. НЕКОТОРЫЕ НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ КЛАССЫ ОДНОМЕРНЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ

Первым основанием классификации распределений само собой напрашивается разделение их на с и м м е т р и ч н ы е и

121

н е с и м м е т р и ч н ы е . Формально распределение называется симметричным относительно точки р, если его функция рас­ пределения G(x) удовлетворяет соотношению

Отметим, что задание точки р обязательно: распределение, симметричное относительно р, не будет симметричным отно­ сительно любой другой точки pi=?^p.

Следующим, иногда полезным признаком классификации является разбиение на классы по числу максимумов (супре­ мумов) у плотности. В случае одного максимума распреде­ ление называется о д н о в е р ш и н н ы м (или одномодовым); точка из X, соответствующая положению максимума, назы­

I g(x)dx— \, то плотность g(x) называется усиленно одно­

вершинной (Я. Гаек и 3. Шидак [1]). Все распределения, описанные в следующем параграфе, удовлетворяют условию усиленной одновершинности.

Обобщение указанных выше двух классификаций на мно­ гомерные распределения представляется очевидным.

§ Д.З. ТИПЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ

Будем говорить, что распределения F(х) и G(x) принад­ лежат к одному типу, если для всех х е Х

где р е ( —оо, оо), а > 0 . При существовании плотностей они

принадлежат к одному типу, если для всех х е !

Константы р и a называются параметрами расположения (сдвига) и масштаба соответственно. Таким образом, любое распределение данного типа может быть получено из друго­ го распределения того же типа с помощью линейного пре­ образования аргумента.

Класс однотипных распределений не обязательно является параметрическим семейством — в том смысле, что мы можем

125

данного типа будет параметрическим. Так как численные ха­ рактеристики качества статистических процедур могут быть получены лишь для конкретных типов распределений, то по­ лезно перечислить наиболее употребительные из распреде­ лений. Ниже мы приводим такой список; графики, представ­ ляющие вид соответствующих плотностей, приведены на рис. Д.3.1.

1. Равномерная в [0, 1] плотность;

3. Логистическая плотность:

е~х /(* ) = —оо^Х^Соо.

(1

126

/ ( Х ) = — • — -— , — о о < Х < о о .

г.1-f-X2

§Д.4. УПОРЯДОЧИВАНИЕ СИММЕТРИЧНЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ ПО ЗАТЯНУТОСТИ ХВОСТОВ

Многочисленность непараметрических процедур для ре­ шения одной и той же задачи выдвигает проблему их срав­ нения между собой. Такое сравнение можно провести, на­ пример, рассмотрев, насколько устойчивыми окажутся те или иные количественные характеристики процедур при пе­ реходе от одного типа распределения выборки к другому.

Общность такого сравнения, его целенаправленность резко возросли бы, а необходимое количество перебираемых при этом типов распределений уменьшилось, если бы удалось у п о ­ р я д о ч и т ь типы распределений по некоторым конкретным признакам различия между ними. Вопрос о существовании таких признаков отпал: Ван-Цвету [1] и Гаеку [1] удалось показать, что для симметричных распределений по крайней мере один такой признак существует; интригующим являет­ ся вопрос, существуют ли другие признаки различия, допус­ кающие упорядочивание типов распределений.

Первым необходимым шагом для выявления искомых при­ знаков является стандартизация параметров сдвига и мас­ штаба распределений сравниваемых типов. Естественными и всегда существующими (в отличие, например, от моментов) характеристиками сдвига и масштаба являются квантили и ичтерквантильные интервалы. Для симметричных распреде­ лений достаточно задание всего двух квантилей. Сдвиг у сравниваемых распределений будет одинаковым, если мы по­ требуем одинаковости их медиан (которые без потери общ­ ности можно положить равными нулю), а масштаб симмет­ ричных распределений автоматически стандартизуется, если потребовать одинаковость квантилей некоторого уровня, от­ личного от 0,5. Для определенности потребуем, кроме равен­ ства медиан, равенства 95% квантилей. При этом вместо ис­ ходных плотностей f(x), приведенных в § Д.З, необходимо

127

При таком определении р и а все сравниваемые распреде­ ления будут иметь те же медиану и 95%-ный квантиль, что и стандартное нормальное распределение. При этом перечис­ ленные в § Д.З плотности будут иметь параметры р и а, при­ веденные ниже в таблице.

Рис Д.4.1

Оказывается, что после такого приведения распределений ь одинаковым сдвигу и масштабу все типы распределений упо рядочиваются по з а т я н у т о с т и их х в о с т о в (см рис. Д.4.1). Самые короткие хвосты имеет равномерное рас пределение, затем по порядку идут нормальное, логистиче

128

ское, двойное экспоненциальное; распределение Коши имеет наиболее затянутые хвосты. Это качество распределений можно описать и аналитически. Говорят (Гаек [1]), что F (х) имеет более затянутые хвосты, чем G(x), если

где а (и) —- неубывающая функция.

Может показаться, что упорядочивание типов распределе­ ний по затянутости хвостов носит частный характер, описыва­ ет свойства только самих хвостов. Покажем, что такое упо­ рядочивание затрагивает свойства распределений в целом.

Т е о р е м а Д.4.1. Все распределения Fh, входящие в класс непрерывных и симметричных, имеющих одновершин­ ные плотности fi и равные медианы (которые без потери

общности положим равными нулю), при любых « е ( у , 1

однозначно упорядочиваются по значениям плотностей в точ­ ке хи, соответствующей квантилю заданного уровня м, если потребовать, чтобы для всех хи было одним и тем же:

•■■>/. ( F , 1( u ) > f 2(F - 1( u ) ) ^ . . . > f k(F„'(u))>...y(JXA.3)

где равенства выполняются, если и только если соответству­ ющие плотности принадлежат одному типу.

(Последнее утверждение является следствием Леммы

129

зал на пример, показывающий необходимость дополнитель­ ного условия для обратного утверждения.

Результаты данного параграфа будут использованы в дальнейшем, в частности, в главе IX.

§ Д .5 . к а н о н и ч е с к о е п р е д с т а в л е н и е п а р р а с п р е д е л е н и и

Даже если тест рассчитан на проверку сложных гипотез, многие суждения о его свойствах могут быть сделаны при задании конкретных пар гипотетического и альтернативного распределений и совокупностей таких пар. Во многих слу­ чаях полезно пользоваться некоторым унифицированным представлением пар распределений. Одно из таких представ­ лений (называемое к а н о н и ч е с к и м ) мы рассмотрим в дан­ ном параграфе.

Пусть заданы распределение F(x), соответствующее ги­ потезе, и альтернативное распределение G(x). Выборке оди­ наково распределенных и независимых величин хи ..., xN по­

казать, что если выборка взята из распределения G(x), то функция распределения приведенной выборки выразится как

тернативы. Очевидно, гипотеза в канонической форме всегда есть равномерное в [0, 1] распределение.

Полезность канонического представления распределений можно продемонстрировать на ряде примеров. Предположим, что мы рассматриваем пары распределений F и G одного

130

типа, отличающиеся только сдвигом, т. е. G(x)— F(x—ц). Если теперь зафиксировать сдвиг ц и перебрать известные нам типы распределений, то обнаружит,ся, что канонические альтернативы упорядочатся по степени отличия от канони­ ческой гипотезы точно в том же порядке, в каком исходные альтернативы упорядочены по хвостам (см. рис. Д.5.1). И на-

Рис. Д.5.1

оборот, если рассматривать масштабные альтернативы вида G(x)—F(Xx), то при одном и том же X канонические аль­ тернативы будут тем сильнее отличаться от гипотезы, чем менее затянут хвост распределения (рис. Д.5.2). Эти приме­ ры еще раз показывают, что классификация по затянутости хвостов затрагивает такие различия между распределения­ ми, которые существенным образом влияют на свойства тес­ тов. Для удобства читателя приведем аналитические выра­ жения канонических альтернатив, графики которых представ­

131

1 - 1 [ 2 ( 1 - й)]«,

132