книги / Многомерный анализ и дискретные модели

нуальными. Именно благодаря нормировке видно, что при упомянутом сопоставлении, связанном с размельче­ нием (ЛГ-^-оо), скалярному произведению, (2) будет со­

ответствовать интеграл, а элемент ех (или УNex) превра- тится-^в 6-функцию, уже не являющуюся элементом гильбертова пространства. Разложение (4) теряет при этом непосредственный смысл, но использование . его в дискретном варианте весьма поучительно.

Если ввести в Н оператор умножения

М: Д - * # , Mf(x)— mJ(x),

где шх --некоторое комплексное число, то ех будет соб­ ственным элементом, оператора Л/, отвечающим соб­ ственному значению шх. Другими словами, считая, как обычно, что в конечномерном линейном пространстве операторам соответствуют. (при фиксированном: базисе) матрицы, получим, что в естественном базисе Ж задает­ ся диагональной матрицей с элементами m -h rri-i+.u . . .

•. m .

До сих пор мы никак не использовали специальную структуру £2 — расположение точек ж на окружкости, на равном расстоянии друг от друга. С формальной точки зрения эта структура сводится к наличию в £2 операции сдвига

подразумевающей отождествление «точки» I + 1 с точкой

—I: Сдвиг этот порождает, в свою очередь, отображение пространства функций над £2, которое принято задавать правилом

т. е. он/ является унитарным.

Центральная тема рассмотрений, относящихся к вве­ денной модели, связана с использованием базиса Н\ со­ стоящего из собственных векторов оператора т.

С помощью аналогичной проверки (или непосред­ ственно из утверждения 4). получается

Ут в е р ж д е н и е 5. Справедливо равенство

До к а з а т е л ь с т в о .

r*g = N~1'£'f(k — p)rg(p) =

/•«о = уОУ/*<?0 = f * Y N е0= /.

Как и можно было ожидать, преобразование Фурье, использующее разложение до собственным функциям оператора сдвига, оказывается естественным инструмен­ том исследования широких классов разностных уравне­ ний. Простейшим является уравнение (система)

с неизвестной функцией и(х). Полагая

u ( x y = i\r 1/22 w ( % vh*

к

(позволительно, очевидно, менять ролями операторы F, F~l) и записывая аналогичное представление для /(я), получим

где' f = F~lf(x) — известная функция. Записав (5) в операторной форме

Lu — Xu — /,

видим, что значения X

- 1 , * - 1 , N,'

суть собственные значения оператора L. При

k = evho— 1

однородное уравнение (5) имеет нетривиальное решение

u0 = evk**.

Из (6) следует, что, в соответствующем смысле, пре­ образование Фурье сопоставляет оператору взятия разно­ сти операцию «умножения на независимое переменное».

G другой стороны, утверждения 4, 5 показывают, что' переход от и к гг является очевидным способом решения уравнений в свертках

А

Будем иметь

u * g = N~uhig = Д

и если й — Fu, то и = F~x (l/Nf/g).

Одновременно можно заметить трудность, возникаю­ щую при попытке использовать описанный подход для решения уравнений вида (5), содержащих «переменный

Г Л А В А I

ФОРМАЛЬНЫЕ СТРУКТУРЫ

§ 0. Введение

Ни в коей мере не предполагается, что данная глава может заменить учебники и монографии, содержащие подробное изучение рассматриваемых ниже структур. Автор лишь надеется, что предлагаемое изложение мо-' жет служить конспектом необходимых сведений; места­ ми весьма формальным, но содержащим одновременно ряд неформальных замечаний, подчеркивающих специ­ фику выбранной точки зрения. Дополнительные разъяс­ нения по этому поводу вынесены в пункты «0», пред­ шествующие каждому, параграфу.

В приводимых определениях неоднократно исполь­ зуются такие термины, как «множество» и «соответствие» (или их синонимы: «совокупность», «набор»— для мно­ жества и «функция», «отобрая^ение»— для соответствия). При этом, отправляясь от «наивной» точки зрения, мы

дальнейшему логическому анализу. Замечания об ис­ пользуемой теоретико-множественной символике приве­ дены в п. 1.0.

Исключительную роль при конструировании тех или иных абстрактных объектов или при задании на ших ка- кой-'либо дополнительной структуры (делающей эти объекты более содержательными) играют два классиче­ ских множества: множества К и С вещественных и комплексных чисел. Свойства их мы будем считать при­ вычными и хорошо известными.

Ссылки на литературу, представляющуюся наиболее удобной для необходимых справок, даны внутри пара­ графов.

§ И ТОПОЛОГИЯ И МЕТРИКА 27

§ 1. Топология и метрика

1.0. Предварительные замечания. Поскольку основ­ ным предметом нашей книги является классический ма— тематический >анализ (многомерный) , . оперирующий с функциями, заданными на подмножествах евклидова

более богатыми, чем задаваемая лишь введением тополо­ гии. Тем не менее такой объект, как топологическое пространство и соответствующее общее определение не­ прерывности (непрерывного отображения), являются весьма удобными исходными понятиями, неоднократно упоминаемыми в дальнейшем. К примеру, попытка опре­ делить дифференцируемое многообразие, обходя термин «хаусдорфово топологическое пространство», приводит к довольно громоздкой конструкции.

Одновременно, в дополнение, к сказанному во введе­ нии, отметим следующее: Предполагается, что в примене­ нии к множествам X й Y не нуждается в комментариях

не является, строго говоря^ отображением. Если заданы

пространством называется множество X, в котором выделепо семейство подмножеств {Ос*}, называемых откры­ тыми Ж\ удовлетворяющее следующим требованиям:

открытое в топологии {Оа}, является открытым в топо­ логии {Ор}. Самая сильная топология в X — дискретная

Две топологии эквивалентныг еели каждая из них силь­ нее-другой. Отметим, что две различные топологии в X не обязаны быть сравнимыми.

Подмножество S топологического пространства замк­ нуто, если X \S открыто., Чтобы подчеркнуть геометриче­ ский подтекст формальных определений, элементы топо­

окрестность точки х содержит по крайней мере одну точ­ ку y ^ S , отличную ОТ X.

У тв ер ж д е н и е „ 1. Замкнутое множество содержит все свои предельные точки*

Минимальное замкнутое множество, содержащее дан­ ное множество S с Д , называется замыканием S (обозна­ чается, обычно clS или S).

Последовательность точек сходится к точке х & <= X, если для любой окрестности Ux точки х существует число N- такое, что xk е Ux при к > N.

0-Н. Топологическое пространство X хаусдорфово/ес­ ли любые две различные его точки имеют непересекающиеся окрестности.

Аксиома 0-Н обеспечивает е д и н с т в е н н о с т ь пре­ дела сходящейся последовательности.

Пусть X, Г — топологические пространства. Отобра­ жение /: Х'-г* Y непрерывно, если для любого открытого множества U<=.Y его прообраз f~l(U)cz X является от­ крытым множеством. Отображение /: X У называется гомеоморфизмом, если оно взаимно однозначно, отобра­ жает X на всё пространство Y и оба отображения /, /-1 непрерывны. Пространства, связанные гомеоморфизмом,

топологически эквивалентных (гомёоморфных) про­ странств.; Свойства топологического пространства, сохра­ няющиеся чпри произвольном гомеоморфизме (присущие каждому элементу соответствующего класса), называют­ ся топологическими инвариантами.

ществует по крайней мере одно множество Ua такое, что

х ^ Uo,:

Множество, S я X компактно, если из любого откры­ того покрытия ,S мржно выбрать конечное. Топологиче­ ское , пространство, локально-компактно, если каждая его точка обладает окрестностью, замыкание которой ком­ пактно.

Подмножества А, В топологического пространства X

раздеденцых'подмножеств.

*1.2. Метрическое пространство. Несмотря на логиче­ скую стройность определении, приведенных в п. 1,1, ана­

М, в котором определена вещественная неотрицательная функция р (я, JA) пары элементов х, у ^ М, удовлетворяю­ щая требованиям:

Функция; р называется метрикой, а ее значение на паре элементов х, у — расстоянием между этими элемент тами.

Задание метрики 'естественным образом определяет

Две^метрики в М эквивалентны, если они порождают эквивалентные топологии*

Метрическое пространство автоматически хаусдорфово. Отличие. метрического пространства от произвольного топологического проявляется в возможности введения не­ которых дополнительных понятий. Так, последователь-'

ность {яъ}Г элементов М называется последовательностью Коши (или фундаментальной) , если для любого е > 0 существует число N = = N ( s ) такое, что р(х^ х^)<в при любом выборе к, / > N\

Метрическое пространство М полно, если в нем для любой фундаментальной последовательности существует пределу принадлежащий Ж

Интересно отметить, что свойство последовательности быть фундаментальной не является топологически ин­ вариантным. Так,. гомёоморфйое отображение" /: х

Л/х пространства положительных вещественных чисел, (с естественной топологией) переводит последователь­

ность {1/п}% в последовательность {п}5°. Не является то­ пологически инвариантным и понятие о г р а н и ч е н н о г о м н о ж е с т в% имеющее очевидный естественный смысл

вметрическом пррстранстве.

Вдальнейшем мы встретимся с большим числом раз­ личных способов задания метрики на множествах, обла­

дающих той или иной дополнительной структурой;

§ 2. Группы и комплексы

2.0. Предварительные замечания. Хотя параграф на­ чинается со стандартного общего определения группы, в дальнейшем, как правило, в качестве одной из важней­ ших «промежуточных» структур, входящей в основные определения, используется группа с коммутативной груп­ повой операцией (коммутативная или абелева). Исклю­ чение составляют некоторые построения гл. IV и отдель­ ные замечания.

Абелева групца входит в определение линейного про­ странства (§ 3), а в данном параграфе используется для определения комплекса — алгебраического эквивалента геометрического образования, на котором задаются функ­ ции, интересующие аналитика. Следует оговорить, что комплексы, являющиеся моделями областей евклидова пространства, играющие основную роль в гл. III, весьма