книги / Многомерный анализ и дискретные модели

§ 4] ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ИНВАРИАНТНЫХ СИСТЕМ 121

вом случае и нечетной во втором. Остановимся, для опре­ деленности, на ч е т н ы х формах, выяснив, при каких условиях они будут сохранять непрерывность на ребре.

Пользуясь равенствами (1), (3) (опуская индекс о), будем иметь, согласно тензорному закону преобразования форм (ср. ниже примеры в п. 4.3):

вторяющимся индексам производится суммирование. Вы­ ясним условия непрерывности со*/(£). Согласно (5) на ги­ перплоскости I 1= 0 будем иметь

сюда следует, что необходимым и достаточным условием непрерывности в окрестности ребра четной формы явля­

Аналогичные рассуждения показывают, что для нечет­ ных форм условия непрерывности даются равенствами

Отметим, что из обратимости отображений (1) , (3) сле­

п. 2.2, сохраняет смысл для построенного мномобразйя М: липшиц-непрерывности метрического тензора в окрест­ ности ребра как раз достаточно. Кроме того,, в силу про­ стой структуры М (полученного «удвоением» области евклидова пространства и гомеоморфном. шару), неравен­ ство (13), § 2 является на М следствием простейшей классической теоремы вложения, а базис подпространства 91а состоит и з пары форм <о(0), <о(тП., задаваемых констан­ тами. Для форм, принадлежащих ТУ(У')(сужению W(M) на У'), условия вида (6), (7) сохраняют смысл, что по­ зволяет сформулировать

ловиям (7)).

Утверждения эти достаточно очевидны. Педантичная проверка их приведена в [14]. ■

Под обобщенным решением в У' систем (L), (L*), удовлетворяющим условиям (6) или (7), будем понимать формы (Ох, (0 ц из ТУ(Уудовлетворяющие (в соответ­ ствующем смысле) уравнениям и граничным, условиям.

Основную теорему сформулируем, для определенности,

жая правые части на М четным образом, можем утверж­ дать существование на Л/ решения сох уравнений (L)

при четных га, выполняется автоматически в силу чет­

Действительно, если существует другое решение, при­ надлежащее ТУ(У') и удовлетворяющее (6), то, будучи продолжено четным образом, оно даст другое решение системы (L) на М< ш

Аналогичная теорема справедлива для (L) при усло­ виях (7) и для (L*) при условиях (6) или (7). Надо1

следить только за соответствующими видоизменениями условий разрешимости и единственности.

Использованные построения являются, по, существу, обобщением классического принципа симметрий, сводя­ щегося, в простейшей форме, к следующему. Если

получений теорем существования и единственности ре­ шений граничных задач для правильных систем, опи­

(13). Для записи законов преобразований нужны про­

Учитывая, что в координатах (#) метрический тензор

Для ©(2), учитывая кососимметричность ©гг——©12, по­ лучим

©х/2/ = (^х/ф ^з'ф 2 + Я Г Ф ^ 'Ф 1) ®12 = (1 + Г) <*12‘

Обращаясь к виду граничных условий, обеспечиваю­ щих, согласно результатам предыдущего пункта, суще­ ствование и единственность обобщенных решений систем

При первом условии (для системы (L)) правая часть должна быть подчинена условию (8). При втором (для системы (L*)) (0 (0) определится с точностью до посто­

янной.

как и в примере З.А. Аналогами отображений (11) будут

х х= (1 + г) cos # cos ф,

х3= (1 + г) sin Ф. (18)

х2= (1 + г) cos O' sin ф,

Для координат (у) 1 + г заменяется на 1 —г и отобра­ жение Для у1 берется со знаком «—» (ср. (14)). Области изменений значений параметров, при которых обеспечи­ вается покрытие окрестности рёбра, могут быть без тру­

жения для щ ^ Ыъ'у, (Ох^'з^исходц из (18). В случае чет­

на ковектор co(i) всегда могут быть приведены к клас­ сической форме условий на «нормальную составляющую». Пусть уравнение границы может быть разрешено в рас­

Отметим попутно, что, как нетрудно заметить, лишь для (0 (0) (и в некоторых случаях для со(П)) вид исполь­ зуемых граничных условий не зависит от формы грани­ цы (от задающих ее уравнений).

З.С?,Куб. В ряде случаев использованные построе­ ния допускают модификацию, позволяющую описать гра­ ничные задачи для инвариантных систем и в областях с кусочно гладкой границей. Остановимся на случае, ког­

да У' — куб евклидова пространства,

У': £=1* п.

Определим, до той же схеме, что и выше, куб У" и мно­ гообразие M — V' U У", не являющееся теперь гладким (например, в окрестности точки (1, ...\ 1)).

Гладкость М была выше использована в двух пунк­ тах: при проверке эквивалентности слабых я сильных определений операторов- d, б и при определении про­ странства W (М) . Оказывается, тем не менее, возможным распространение результатов п. 4.2 и на случай введен­ ного негладкого М специального вида, за счет некоторых вспомогательных построений.

Пусть Р: |£*1 < 3, i = 1, ..., /г,— куб евклидова про­ странства, отнесенного к координатам (£). Разобьем Р

гиперплоскостями

7

на 3” равных кубов. Каждый из этих кубов Рс может быть, получен конечным числом последовательных отра­ жений в гиперплоскостях (19) из центрального: 1Г1 < 1, i==l, ..., п. При этом четность или нечетность числа использованных отражений не зависит от последователь­ ности, в которой они выполнялись. Кубы Ра, полученные четным числом отражений, отождествим с У', а. нечет­ ным—-с У". Вводя в каждом из Ра локальные коорди­ наты (£а), получаемые параллельным переносом основ­ ной системы (£) в центр Ра, и устанавливая соответст­ вующим образом бвязь (£а) с t(x) или (у), можем отож­ дествить четные (или нечетные) формы на М (подчи­ ненные граничным условиям, обеспечивающим непрерыв­ ность) с соответствующими формами в Р, рассматри­ ваемыми в окрестности |£г| <'3/2 центрального куба. Одновременно окрестность границы центрального ..куба отождествляется с окрестностью ребра Ж, что и позволя­ ет преодолеть отмеченные выше затруднения. Получаем таким образом

У т в е р ж д е н и е 3. Теорема 1 и ее аналоги остаются справедливыми в рассмотренной области V'. Ш

Выясним явный вид граничных условий, присоеди­

ние операторов А , Ах: Н(М)-*М(М) аналогично выше­ приведенному* с той разницей, что роль поверхностей 5* играют граничные поверхности b X M 2l 0 Х М 2. Доказа­ тельство теоремы существования и единственности ре­ шения соответствующей задачи Коши, основанное на ме­ тодике, используемой в теории симметричных систем, приведено в [14]. Возможен, разумеется, и другой под­ ход, применяемый при изучении операторных уравнений

§ 4] ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ИНВАРИАНТНЫХ СИСТЕМ 129

вида

DiW —Fw = /

с эллиптическим оператором F. .

c) С м е ш а н н ы е з а д а ч и в е в к л и д о в о м , ц и ­

п. 2. После этого подклеиванйе дубля" сводит смешанную задачу к задаче Коши рассмотренного случая Ь).

d) З а д а ч а Г у р с а . Специфика рассматриваемых систем наиболее ярко проявляется в .возможности поста­ новки для них задачи Гурса. В этом случае рассматри­

на гладких функциях, подчиненных на' нижней ноле ха­ рактеристического конуса _ линейным соотношениям, в количестве 2й-1, определяемым структурой матриц Ah (см. (20)) и геометрией конуса. С помощью аналогич­ ных условий на верхней поле определяется оператор Л1. Соответствующие рассмотрения подробно изложены в [14], rai III, §>4, вместе со следующей теоремой.

то граничные условия на нижней поле конуса для ги­ перболической системы, получаемой из (15) заменой —Dtty на .О/'ф, примут вид

1 |)(0) cos 'б — ty(2) sin'd + cpi = 0, *ф(0) sin'd — ^ (2) cos'd1+ ф2‘г 80.

Построения данного пункта распространяются, есте­ ственным образом на системы, возникающие из приве­ денных в п. ЗД при переходе к Лоренцевой метрике [14]. Было бы небезынтересно рассмотреть в приведенном кон­ тексте проблему изменения типа.

ваемой на гладком многообразии без границы, индекс совпадает с эйлеровой характеристикой. При переходе к многообразию с границей и граничным задачам само определение индекса (теперь — индекса граничной зада­ чи) не нуждается в модификации, но рассуждения, по­ зволяющие его вычислить, как правило, усложняются.

Для введенного в § 4 класса задач возникающие ос­ ложнения сравнительно,невелики. Устанавливаемый ре­ зультат совпадает, по существу, р установленным в п. 3.2. Мы сформулируем его, считая^-У' произвольным гладким многообразием с границей. Как отмечалось, все построе­ ния § 4 (относившиеся, в основном, к случаю сферы) автоматически сохраняют смысл и~в этой более общей

(и определением решения), введенными в § 4, опреде­ ляется формулой

( 1)

З а м е ч а н и е . С точки зрения сформулированной теоремы, теорема 3, § 4 описывает класс задач, индекс которых, в соответствии с (1), принимает значения ±1.

Утверждение сформулированной теоремы, разумеется, далеко не очевидно. Уточним его смысл и приведем схе­ му доказательства.

Равенство (1) является следствием Ьоответствующего равенства для M = V' Uy", но переход требует привле­ чения ряда вспомогательных понятий и результатов. Ока­ зывается, базис группы гомологий для М в размерности /^состоит из циклов Г(Р), £ = 1, . . . , являющихся не­ гомологичными нулю-циклами У' и, кроме того, из цик­

лов У(Р),. k = 1 , __ , Вр, возникающих при «удвоении» У' (переходе к М) из так называемых относительных (не гомологичных нулю) циклов У', порождаемых цепями, граница которых принадлежит границе У'.