книги / Механика сплошной среды

носительное движение которых однородно

(аффинно)

и полностью

определяется удлинениями

ребер и изменениями

относительных

углов наклона

граней

косоугольного

параллелепипеда, в форме

которого кубик пребывает в любой

момент

t> t0.

Следовательно,

содержимое частицы представляет

как бы замкнутую

равновес­

ную систему в смысле статистической механики

(гл. I). Состоя­

ние такой системы зависит от внешних параметров

и температу­

ры, т. е. от положения и движения

границ

частицы, т. е. от эво­

люции во времени векторов лагранжева репера 9i(t)

(i= 1

2, 3)

или эволюции

аффинора A(t). Но

ясно, что эг-(£) и A (t),

кроме

собственно деформации

частицы (параллелепипеда),

включают и

переносное движение, что собственно

деформация

определяется

метрическим тензором лагранжева

репера эг(£)

(£= 1

2, 3)

с сим­

метричной квадратной матрицей

Ъ = А Т A = \\gn\\,

^ / = э гэ/.

Квадрат длины любого волокна,

которое при

t = tQопределяет­

ся вектором |,

согласно

(4.4), (4.6) равен

( d x f = ^ ~ -^Г d r d\l= gi/ d r dxl,

(4.14)

или, иначе,

р2==ргр= |г я г

Скалярные произведения векторов

(i, /,

m = l,

2, 3)

и симмет­

ричная матрица ЛТА

S /i= g u = 9 i9i= A i,A'Jt,

$ = А ТА = || £г/1|=m et х (х,

t)

(4.15)

образуют так называемый ковариантный

метрический

тензор

о6

ovo

о

о

(р=1,

2, 3).

(4.30)

d2

= d 2

vp,

vp=vep

В результате

деформации

векторы (l)i

превратятся

в

(р){

площадки

d2a—в

dS",

площадка

dSv—в dSv= d S vv,

где

v —

единичная

нормаль;

тетраэдр

преобразуется

в косоугольный

тет­

dSv = d2vv = £

dS“=

Y g Y

d S V

a=l

a=l

(4.31)

_________

/

о

о

gg^dS'dZ1.

Это векторное уравнение определяет

и единичную

нормаль v =

= d2v/^2v и размер косой площадки dSv в которую

преобразует-

0V

Умножая

(4.31)

на

и используя (4.20') и

ся площадка d2

(4.27), найдем выражение величины деформированной

площадки

d2p через dSv:

d2p = Vgg№ d2p=

Y

dSv-vp,

(4.32)

v3=V3p,

v=

vi3,'==v'3i.

Здесь vp — ковариантная компонента

вектора

единичной

норма­

ли V.

координатного

'параллеле­

Объем начального прямоугольного

пипеда, построенного на векторах (|)ь

(|)г,

(1)з, равен

dVо = (l)a (|)р X (l)y= l a^ V p X ev= D i2i3=dx1dx2dx*.

(4.33)

Объем этого же параллелепипеда, после деформации

(т. е. в мо­

мент t) ставшего косоугольным, образуется векторами

(p)a= .9aS;a

и, следовательно, равен

dV= (p)a (Р)рX (р)Y=

dVо эаэ$ XЭу,

или на основании (4.20'), (4.22)

dV=dV0V g .

(4.34)

Рассмотрим теперь два вектор-волокна

и

с направляющи­

ми косинусами

1 \ = -

/2 =

II2 I

i = 1, 2,

3.

(4.40)

l ll l

о

Косинус угла 0i2 между ними равен

о

5i6a

S

O.0.

(4.41)

cos 012-

m i

\h\\l2

i- 1

(4.6)

преобра­

Эти вектор-волокна после деформации

согласно

зуются в вектор-волокна

Pi—^li» Р2—

с компонентами

Р1

=

,

Р2= А}%2

и направляющими косинусами

/{= —

4 = — ,

* = 1, 2,

3.

Ipll

Ipll

Но из (4.36) [ pi | , |р2|

выражаются

через

относительные

удлине­

ния этих волокон ей е2 формулами

iPil = (l+ ei)l$ ,l,

|р2| =

(1+е2) ||2|,

и потому с учетом (4.37)

получим

т

.

.0.

i\-

Щ

(4.42)

I Pi I

(l+*i)

’

Причем /2* получается заменой

индекса 1 на 2. Косинус

угла 0i2

между деформированными волокнами pi, р2 будет равен

•

.0т0

А1А1I

1п

cos 0

я т Г п 1\

*2

(1 + ei) (1 + ez)

или, на основании соотношений

(4.15),

(4.18)

и

(4.41),

о

о

0

0

0

а

1т

1п

cos 012 “Ь 2гтп1^11*2

&тп М

12

(1 + е!) (1 + ег)

О +3L) (1 + ег)

Выберем теперь в качестве начальных волокон

коорди-

натные (6)а= | аеа и (^)p = l pes; для

о

и

отличны от

них cos0ap = O

нуля только /а“= 1 и

= 1; из (4.43)

получаем

cose

__________

.

(4.44)

“Р

(1 + ^ )(1+gp)

Л _ —/<е. =

___Pte>

1+«8

| р |

‘

1 6 1 ( 1 + « 8)

где

О

(1=

— направляющие косинусы волокна \ до деформации

о

косинусы этого волок­

= Щ/'е*). Следовательно, направляющие

на после деформации равны

V

(4.45)

В частности, для координатного

волокна

(^)a= ^aea имеем

о

1,

о6

О И потому

1а =

1а--

\+е

:А1

(4.46)

1 п

У8а

CLCL а* 2eap=cos0ap=sin

(f

ар.

метрический тензор

*§ или тензор деформации <§. В дальнейшем

необходимо учитывать выражения тензоров А

<§

либо через те­

кущий радиус-вектор

х(х, /), либо через вектор

перемещения

u(x, t)= x—х; все эти функции при движении

среды являются ис­

тор х(х, t) и вектор перемещения и(х, /).

мы

рассматриваем

Векторы

х и и=х—х в этом

параграфе

только в декартовых ортогональных координатах

(в неподвижном

репере е*). По индексам

(i, /, k, m, п= 1

2, 3),

повторяющимся

как сверху, так и снизу, сохраняем правило

суммирования и по-

прежнему обозначаем

греческими

буквами

(а, р, у = 1, 2, 3)

ин­

дексы, по которым суммирование не производится.

Компоненты аффинора А согласно

(4.9)

имеют выражения

Л?=6Г + ^<3х‘.

(4.47)

Компоненты метрического тензора 9 согласно (4.15)

ё и =АТАГ=8{/ + 2еи

(4.48)

и, следовательно, компоненты тензора деформаций

о

С

д№

,

duj

dum

dum

(4.49)

dx£

dxi

Тензоры S,< ё представляются матрицами

llgijll, Itajll,

причем

им соответствуют

симметричные

квадратичные

формы

(4.14),

(4.19), а значит, и центральные поверхности второго порядка

2Q)e= g iiXiXi =

const,

2Ф8= е г/Х'Х/= const,

(4.50)

где Х(Х*)— вектор

произвольного

масштаба,

отложенный

вдоль

волокна |

в точке х. Поскольку gaа= (эа)2, то поверхность 2ФЙ=

=const — эллипсоид;

поверхность

263e=const — центральная,

и,

(§и—§}Ai/) Х;= 0

(i= l, 2, 3).

(4.52)

Для поверхности 2d>e=const аналогично получаем

grad Ф8= ег/Х'ег= ехХ = е ^ /Х ^ ,

(4.51')

(ег/- е х6г/)Х '= 0 ,

или на основании (4.18)

( ^ /- (2 е х+ 1)б ,/)Х /= 0 .

(4-52')

Определители систем (4.52),

(4.52')

равны нулю:

I g u— ёхЬц | = 0,

| gi,— (2ех + 1)бг/| = 0,

(4.53)

откуда

находятся одинаковые значения параметров gx и 2ех+ 1

£ х = 2 е х + 1 .

(4.54)

Значит,

уравнения (4.52), (4.52') совпадают и определяют одни и

те же главные векторы X. Развертывая определитель

\ga—

по степеням gx, из (4.53) получим вековое уравнение:

— g3x + ^eigx~ /«2^х + /£з= 0 .

(4.55)

IgL — g ift1 = gll + ё 22 + ёзз= ё! + ё 2 + ёз>

(4-56)

Ig2= Y ^ l~ gingim6im8'n)=

ёи8^ = gl§2 + gig8 + gsgl •

Ig3— I S i / I

— ёгёзёз — ё'

образования поворота

системы координат

квадратичные

формы

можно преобразовать

к главным

осям тензоров

<§. Обозначая

через gi0 (i= l,

2, 3) координаты

волокна

§(|»‘) в главном

орто­

нормированием

репере

е,0 получим канонические

представления